Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)/Vorlesung 15

Normale Körpererweiterungen

Ein irreduzibles Polynom ${}F\in K[X]$ hat in dem Erweiterungskörper

${}K\subseteq L:=K[X]/(F)\,$

eine Nullstelle, nämlich die Restklasse ${}x$ von ${}X$ und damit in ${}L[X]$ auch den Linearfaktor ${}X-x$. Es besteht aber kein Grund, warum das Polynom ${}F$ über ${}L$ in Linearfaktoren zerfallen sollte. Vielmehr handelt es sich um eine erweiterungstheoretische Besonderheit, wenn mit einer Nullstelle bereits schon alle Nullstellen vollzählig vorhanden sind.

Definition

Eine Körpererweiterung ${}K\subseteq L$ heißt normal, wenn es zu jedem ${}x\in L$ ein Polynom ${}F\in K[X]$, ${}F\neq 0$, mit ${}F(x)=0$ gibt, das über ${}L$ zerfällt.

Eine normale Körpererweiterung ist insbesondere algebraisch. Wir werden gleich noch dazu äquivalente Eigenschaften kennenlernen. Einfache Eigenschaften von normalen Erweiterungen werden im folgenden Lemma zusammengefasst.

Lemma

1. Die Identität ist eine normale Körpererweiterung.
2. Jede quadratische Körpererweiterung ist normal.
3. Wenn ${}K\subseteq L$ eine normale Körpererweiterung ist und ${}K\subseteq M\subseteq L$ ein Zwischenkörper, so ist auch ${}M\subseteq L$ normal.
4. Eine Erweiterung von endlichen Körpern ist normal.

Beweis

(1) ist trivial.
(2). Sei ${}x\in L$ mit dem Minimalpolynom ${}F$, das den Grad ${}1$ oder ${}2$ besitzt. In ${}L[X]$ besitzt ${}F$ einen Linearfaktor, der andere Faktor ist wegen der Gradbedingung konstant oder auch ein Linearfaktor.
(3). Zu jedem ${}x\in L$ gibt es ein Polynom ${}F\in K[X]$, ${}F\neq 0$, mit ${}F(x)=0$, das über ${}L[X]$ zerfällt. Wegen ${}K[X]\subseteq M[X]$ gilt diese Eigenschaft auch für ${}M\subseteq L$.
(4). Nach (3) können wir sofort eine Körpererweiterung ${}\mathbb {Z} /(p)\subseteq {\mathbb {F} }_{q}$ mit einer Primzahl ${}p$ und einer Primzahlpotenz ${}q=p^{e}$ betrachten. Jedes Element ${}x\in {\mathbb {F} }_{q}$ ist nach dem Satz von Lagrange eine Nullstelle des Polynoms ${}X^{q}-X$, sodass dieses Polynom über ${}{\mathbb {F} }_{q}$ zerfällt.

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Beispiel

Das Polynom ${}X^{3}-3X+1\in \mathbb {Q} [X]$ ist irreduzibel nach Aufgabe 3.17 und definiert daher eine Körpererweiterung

${}\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} [X]/{\left(X^{3}-3X+1\right)}=:L\,$

vom Grad ${}3$. Die Restklasse von ${}X$ in ${}L$ sei mit ${}\alpha$ bezeichnet. Nach Aufgabe 11.7 sind auch die Elemente aus ${}L$

${}\beta =\alpha ^{2}-2\,$

und

${}\gamma =-\alpha ^{2}-\alpha +2\,$

Nullstellen der definierenden Gleichung und daher zerfällt das Polynom bereits über ${}L$. Daher ist die Körpererweiterung normal nach Satz 15.4  (3).

Satz

Es sei ${}K\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

1. Die Körpererweiterung ist normal.
2. Wenn ein irreduzibles Polynom ${}P\in K[X]$ eine Nullstelle in ${}L$ besitzt, so zerfällt es in ${}L[X]$.
3. Es gibt ein ${}K$- Algebraerzeugendensystem ${}x_{i}\in L$, ${}i\in I$, von ${}L$ und über ${}L$ zerfallende Polynome ${}F_{i}\in K[X]$, ${}F_{i}\neq 0$ , ${}i\in I$, mit ${}F_{i}(x_{i})=0$.
4. Für jede Körpererweiterung ${}L\subseteq M$ und jeden ${}K$- Algebrahomomorphismus

   $\varphi \colon L\longrightarrow M$

   ist ${}\varphi (L)\subseteq L$.

Beweis

${}(1)\Rightarrow (2)$. Es sei ${}P\in K[X]$ irreduzibel und ${}P(x)=0$. Dann ist ${}P$ nach Lemma 7.12 das Minimalpolynom zu ${}x$. Nach (1) gibt es ein über ${}L$ zerfallendes Polynom ${}F$ mit ${}F(x)=0$. Da ${}F$ ein Vielfaches von ${}P$ ist, muss auch ${}P$ über ${}L$ zerfallen.
${}(2)\Rightarrow (1)$. Zu ${}x\in L$ gehört das Minimalpolynom ${}P$, das nach Lemma 7.12 irreduzibel ist und nach Voraussetzung (2) über ${}L$ in Linearfaktoren zerfällt.
${}(2)\Rightarrow (3)$. Die Familie aller Elemente mit ihren Minimalpolynomen besitzt diese Eigenschaft.
${}(3)\Rightarrow (4)$. Seien ${}L\subseteq M$ und ${}\varphi \colon L\rightarrow M$ gegeben. Es sei ${}x_{i}\in L$ ein Element aus der erzeugenden Familie und sei ${}F_{i}\neq 0$ das zugehörige zerfallende Polynom mit ${}F_{i}(x)=0$, das wir als irreduzibel annehmen dürfen. Es ist

${}F_{i}(\varphi (x_{i}))=\varphi (F_{i}(x_{i}))=\varphi (0)=0\,,$

daher ist ${}\varphi (x_{i})\in M$ eine Nullstelle des über ${}L$ zerfallenden Polynoms ${}F_{i}$. Das heißt aber, dass ${}\varphi (x_{i})\in L$ ist. Diese Zugehörigkeit gilt dann für alle ${}x\in L$, da sie für ein Algebraerzeugendensystem gilt.
${}(4)\Rightarrow (2)$. Es sei ${}P\in K[X]$ irreduzibel und sei ${}x\in L$ mit ${}P(x)=0$. Wir können nach Lemma 7.12 annehmen, dass ${}P$ das Minimalpolynom von ${}x$ ist. Wir setzen ${}x_{1}=x$ und ergänzen dies zu einem endlichen ${}K$- Algebraerzeugendensystem von ${}L$, sagen wir

${}L=K[x_{1},\ldots ,x_{n}]\,.$

Es seien ${}P_{1}=P,P_{2},\ldots ,P_{n}$ die Minimalpolynome von ${}x_{i}$ über ${}K$. Wir betrachten das Produkt ${}F=P_{1}\cdots P_{n}$ und den Zerfällungskörper ${}M$ von ${}F$ über ${}L$, der zugleich der Zerfällungskörper über ${}K$ ist. Es sei ${}y\in M$ eine Nullstelle von ${}P$. Wir müssen ${}y\in L$ zeigen. Es gibt einen ${}K$- Isomorphismus

$\varphi \colon K[x]\cong K[X]/(P)\longrightarrow K[y]$

mit ${}\varphi (x)=y$. Der Körper ${}M$ ist der Zerfällungskörper von ${}F$ über ${}K[x]$ als auch über ${}K[y]$. Daher gibt es nach Satz 11.6 ein kommutatives Diagramm

${\begin{matrix}K[x]&{\stackrel {\varphi }{\longrightarrow }}&K[y]&\\\downarrow &&\downarrow &\\M&{\stackrel {\tilde {\varphi }}{\longrightarrow }}&M&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

mit einem ${}K$-Isomorphismus ${}{\tilde {\varphi }}$. Nach Voraussetzung ist dabei ${}{\tilde {\varphi }}(L)\subseteq L$, also ist ${}y=\varphi (x)\in L$.

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Bemerkung  

Insbesondere die zweite Eigenschaft von Satz 15.4 zeigt, dass es sich hierbei um eine recht starke Eigenschaft handelt. Wenn man mit einem Primpolynom ${}P\in K[X]$ startet und sich den Restklassenkörper ${}L=K[X]/(P)$ anschaut, so besitzt ${}P$ in ${}L$ eine Nullstelle, nämlich die Restklasse ${}x$ von ${}X$. Daher gilt in ${}L[X]$ die Beziehung ${}P=(X-x)Q$ mit einem Polynom ${}Q\in L[X]$. Es gibt aber keinen allgemeinen Grund, warum ${}Q$ über ${}L$ in Linearfaktoren zerfallen sollte.

Wir geben ein Beispiel, das zeigt, dass die Verkettung von normalen Körpererweiterungen nicht normal sein muss.

Beispiel

Wir betrachten die Körperkette ${}\mathbb {Q} \subseteq M\subseteq L$, wobei ${}M=\mathbb {Q} ({\sqrt {3}})$ und ${}L=M({\sqrt {1+{\sqrt {3}}}})$ ist. Das sind zwei quadratische Körpererweiterungen, die beide nach Lemma 15.2  (2) normal sind. Wir setzen ${}u={\sqrt {1+{\sqrt {3}}}}$, und dieses Element erzeugt ${}L$ über ${}\mathbb {Q}$. Wir können ${}L$ als einen Unterkörper von ${}\mathbb {R}$ auffassen, indem wir für ${}{\sqrt {3}}$ und dann für ${}{\sqrt {1+{\sqrt {3}}}}$ die positiven reellen Wurzeln wählen. Wir haben

${}u^{4}-2u^{2}-2=(u^{2}-1)^{2}-3=0\,,$

d.h. das Polynom ${}X^{4}-2X^{2}-2$ wird von ${}u$ annulliert. Dieses Polynom besitzt über ${}L$ die Zerlegung

${}{\begin{aligned}X^{4}-2X^{2}-2&={\left(X^{2}-1\right)}^{2}-3\\&={\left(X^{2}-1-{\sqrt {3}}\right)}{\left(X^{2}-1+{\sqrt {3}}\right)}\\&={\left(X^{2}-u^{2}\right)}{\left(X^{2}-1+{\sqrt {3}}\right)}\\&=(X-u)(X+u){\left(X^{2}-1+{\sqrt {3}}\right)}.\end{aligned}}$

Wegen ${}L\subseteq \mathbb {R}$ und ${}{\sqrt {3}}-1>0$ ist das hintere quadratische Polynom über ${}L$ unzerlegbar. Dieses Polynom zerfällt also über ${}L$ nicht in Linearfaktoren und somit ist ${}\mathbb {Q} \subseteq L$ nicht normal.

Wir setzen weiterhin voraus, dass eine endliche Körpererweiterung vorliegt. Dann sind die normalen Körpererweiterungen genau die Zerfällungskörper von Polynomen.

Satz

Es sei ${}K\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung.

Dann ist ${}K\subseteq L$ genau dann eine normale Körpererweiterung, wenn ${}L$ Zerfällungskörper eines Polynoms ${}F\in K[X]$ ist.

Beweis

Sei ${}K\subseteq L$ normal. Wegen der vorausgesetzten Endlichkeit ist ${}L=K[x_{1},\ldots ,x_{n}]$. Zu ${}x_{i}$ sei ${}F_{i}\in K[X]$ das Minimalpolynom. Wegen der Normalität zerfällt jedes ${}F_{i}$ in ${}L[X]$ in Linearfaktoren. Daher ist ${}L$ der Zerfällungskörper des Produktes ${}F=F_{1}\cdots F_{n}$.
Es sei nun ${}L=Z(F)$ ein Zerfällungskörper, und sei ${}F=(X-\alpha _{1})\cdots (X-\alpha _{n})$ die Faktorzerlegung zu den Nullstellen ${}\alpha _{i}\in L$, die den Körper ${}L$ erzeugen. Wir werden das Kriterium Satz 15.4  (4) anwenden. Es sei also ${}L\subseteq M$ eine Körpererweiterung und sei

$\varphi \colon L\longrightarrow M$

ein ${}K$- Algebrahomomorphismus. Es ist dann

${}F(\varphi (\alpha _{i}))=\varphi (F(\alpha _{i}))=0\,,$

da sich die Koeffizienten von ${}F$ nicht ändern (vergleiche Lemma 10.15), und somit gehört ${}\varphi (\alpha _{i})$ zur Nullstellenmenge ${}\{\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}\}$ und damit insbesondere zu ${}L$. Daher gilt generell ${}\varphi (L)\subseteq L$.

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Korollar

Es sei ${}K\subseteq L$ eine endliche normale Körpererweiterung und ${}M$, ${}K\subseteq M\subseteq L$, ein Zwischenkörper. Es sei ${}\varphi \colon M\rightarrow L$ ein ${}K$- Algebrahomomorphismus.

Dann besitzt ${}\varphi$ eine Fortsetzung zu einem Automorphismus auf ${}L$.

Beweis

Aufgrund von Satz 15.7 wissen wir, dass ${}L$ der Zerfällungskörper eines Polynoms ${}F\in K[X]$ ist. ${}L$ ist auch der Zerfällungskörper von ${}F\in M[X]$. Es sei ${}M'=\varphi (M)$ das isomorphe Bild von ${}M$ in ${}L$ unter ${}\varphi$. Somit ist ${}L$ auch der Zerfällungskörper von ${}F\in M'[X]$. Daher gibt es nach Satz 11.6 einen Isomorphismus ${}{\tilde {\varphi }}\colon L\rightarrow L$, der mit den Abbildungen ${}M\rightarrow L$ und ${}M{\stackrel {\varphi }{\rightarrow }}M'\rightarrow L$ verträglich ist.

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Korollar

Es sei ${}K\subseteq L$ eine endliche normale Körpererweiterung und es seien ${}\alpha ,\beta \in L$.

Dann sind ${}\alpha$ und ${}\beta$ genau dann konjugiert, wenn es einen ${}K$- Automorphismus ${}\varphi \colon L\rightarrow L$ mit ${}\varphi (\alpha )=\beta$ gibt.

Beweis

Wenn es einen ${}K$-Automorphismus ${}\varphi$ mit ${}\varphi (\alpha )=\beta$ gibt, so induziert dieser einen Isomorphismus ${}K[\alpha ]\rightarrow K[\beta ]$. Da diese erzeugten Unterkörper jeweils durch die Minimalpolynome von ${}\alpha$ bzw. ${}\beta$ festgelegt sind, müssen die Minimalpolynome übereinstimmen. Also sind ${}\alpha$ und ${}\beta$ konjugiert.
Wenn umgekehrt die beiden Elemente konjugiert sind, so gibt es einen ${}K$-Isomorphismus ${}K[\alpha ]\rightarrow K[\beta ]$. Mit der Inklusion ${}K[\beta ]\subseteq L$ führt dies zu einem ${}K$-Homomorphismus

$K[\alpha ]\longrightarrow L,$

den man nach Korollar 15.8 zu einem Automorphismus auf ${}L$ fortsetzen kann.

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In der nichtnormalen Erweiterung ${}\mathbb {Q} \subseteq L$ aus Beispiel 15.6 sind ${}{\sqrt {3}}$ und ${}-{\sqrt {3}}$ zueinander konjugiert (und es gibt einen Automorphismus ${}\mathbb {Q} [{\sqrt {3}}]\rightarrow \mathbb {Q} [{\sqrt {3}}]=\mathbb {Q} [-{\sqrt {3}}]$, der ${}{\sqrt {3}}$ in ${}-{\sqrt {3}}$ überführt), es gibt aber keinen Automorphismus ${}L\rightarrow L$, der ${}{\sqrt {3}}$ in ${}-{\sqrt {3}}$ überführt. Aufgrund der Faktorzerlegung des Minimalpolynoms zu ${}u$ sind die Identität und die durch ${}u\mapsto -u$ festgelegte Abbildung die einzigen Automorphismen, und beide sind eingeschränkt auf ${}\mathbb {Q} [{\sqrt {3}}]$ die Identität.

Korollar

Es sei ${}K\subseteq L$ eine endliche normale Körpererweiterung und sei ${}M$, ${}K\subseteq M\subseteq L$, ein Zwischenkörper.

Dann ist ${}K\subseteq M$ genau dann normal, wenn für jeden ${}K$- Algebraautomorphismus

$\varphi \colon L\longrightarrow L$

die Beziehung ${}\varphi (M)\subseteq M$ gilt.

Beweis

Wenn ${}K\subseteq M$ normal ist, so gilt die Homomorphismuseigenschaft aufgrund von Satz 15.4  (4).
Zur Umkehrung verwenden wir das Kriterium Satz 15.4  (2). Es sei also ${}P\in K[X]$ ein irreduzibles (normiertes) Polynom, das in ${}M$ eine Nullstelle, sagen wir ${}\alpha$, besitzt. Dieses Polynom zerfällt über ${}L$ in Linearfaktoren, und wir müssen zeigen, dass die zugehörigen Nullstellen zu ${}M$ gehören. Es sei ${}\beta \in L$ eine weitere Nullstelle von ${}P$. Wegen der Irreduzibilität und Lemma 7.12 ist ${}P$ das Minimalpolynom von ${}\alpha$ und auch von ${}\beta$, d.h. die beiden Elemente sind konjugiert. Nach Korollar 15.9 gibt es daher einen ${}K$-Automorphismus ${}\varphi \colon L\rightarrow L$ mit ${}\varphi (\alpha )=\beta$. Nach Voraussetzung ist ${}\beta \in M$.

$\Box$

Beispiel

Wir betrachten die Körpererweiterung

${}\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} [{\sqrt[{3}]{7}},{\sqrt {-3}}]=\mathbb {Q} [{\sqrt[{3}]{7}},\eta ]=:L\,,$

wobei

${}\eta ={\frac {-1+{\sqrt {3}}{\mathrm {i} }}{2}}\,$

die dritte primitive Einheitswurzel ist und wobei wir mit ${}{\sqrt[{3}]{7}}$ die reelle Zahl meinen. Dies ist eine Erweiterung vom Grad ${}6$, wie die Kette

${}\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} [{\sqrt[{3}]{7}}]=:M\subseteq L\,$

zeigt. Die Erweiterung ${}\mathbb {Q} \subseteq M$ ist nicht normal, da die beiden anderen dritten Wurzeln der ${}7$, nämlich ${}{\sqrt[{3}]{7}}\eta$ und ${}{\sqrt[{3}]{7}}\eta ^{2}$, nicht zu ${}M$ gehören, weil sie nicht reell sind. Sie gehören aber zu ${}L$ und da mit ${}{\sqrt {-3}}$ auch ${}-{\sqrt {-3}}$ zu ${}L$ gehört ist nach Satz 15.4  (3) die Gesamterweiterung ${}\mathbb {Q} \subseteq L$ normal. Nach Korollar 15.10 muss es ${}\mathbb {Q}$- Automorphismen ${}\varphi \colon L\rightarrow L$ mit ${}\varphi (M)\neq M$ geben. In der Tat gibt es einen Automorphismus ${}\varphi$ auf ${}L$, der ${}\eta$ auf sich selbst und ${}{\sqrt[{3}]{7}}$ auf ${}{\sqrt[{3}]{7}}\eta$ abbildet. Dabei ist

${}M'=\varphi (M)=\mathbb {Q} [{\sqrt[{3}]{7}}\eta ]\neq M\,.$

Fußnoten

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