Kurs:Lineare Algebra/Teil I/50/Klausur mit Lösungen


Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Punkte 3 3 3 4 5 4 6 5 12 0 5 2 0 6 0 2 60




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Die Hintereinanderschaltung der Abbildungen

    und

  2. /Definition/Begriff
  3. /Definition/Begriff
  4. /Definition/Begriff
  5. /Definition/Begriff
  6. /Definition/Begriff


Lösung

  1. Die Abbildung

    heißt die Hintereinanderschaltung der Abbildungen und .

  2. /Definition/Begriff/Inhalt
  3. /Definition/Begriff/Inhalt
  4. /Definition/Begriff/Inhalt
  5. /Definition/Begriff/Inhalt
  6. /Definition/Begriff/Inhalt


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. /Fakt/Name
  2. /Fakt/Name
  3. /Fakt/Name


Lösung Lineare Algebra 1/Gemischte Satzabfrage/50/Aufgabe/Lösung


Aufgabe (3 Punkte)

Erläutere das Prinzip Beweis durch Fallunterscheidung.


Lösung Beweis durch Fallunterscheidung/Erläuterung/Aufgabe/Lösung


Aufgabe (4 (1+3) Punkte)

In einer Höhle befinden sich im Innern am Ende des Ganges vier Personen. Sie haben eine Taschenlampe bei sich und der Gang kann nur mit der Taschenlampe begangen werden. Dabei können höchstens zwei Leute gemeinsam durch den Gang gehen. Die Personen sind unterschiedlich geschickt, die erste Person benötigt eine Stunde, die zweite Person benötigt zwei Stunden, die dritte Person benötigt vier Stunden und die vierte Person benötigt fünf Stunden, um den Gang zu durchlaufen. Wenn zwei Personen gleichzeitig gehen, entscheidet die langsamere Person über die Geschwindigkeit.

  1. Die Batterie für die Taschenlampe reicht für genau Stunden. Können alle vier die Höhle verlassen?
  2. Die Batterie für die Taschenlampe reicht für genau Stunden. Können alle vier die Höhle verlassen?


Lösung


Aufgabe (5 Punkte)

Beweise die allgemeine binomische Formel, also die Formel

für und beliebige Elemente in einem Körper .


Lösung

Wir führen Induktion nach . Für steht einerseits und andererseits . Es sei die Aussage bereits für bewiesen. Dann ist


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ein Körper und sei der Polynomring über . Betrachte die Abbildungen, bei der ein Polynom auf seine entsprechende Polynomfunktion abgebildet wird. Geben Sie einen Körper an, sodass die Abbildung injektiv ist und einen, für den sie es nicht ist. Und beweisen Sie dies.


Lösung Polynomring/Nullfunktion/Aufgabe/Lösung


Aufgabe (6 (3+1+2) Punkte)

  1. Bestimme diejenigen reellen Polynomfunktionen, die bijektiv sind und für die die Umkehrfunktion ebenfalls polynomial ist.
  2. Man gebe ein Beispiel für eine bijektive reelle Polynomfunktion, für die die Umkehrfunktion kein Polynom ist.
  3. Zeige, dass durch das Polynom eine bijektive Abbildung

    gegeben ist. Ist die Umkehrabbildung polynomial?


Lösung

  1. Die einzigen reellen Polynome mit polynomialer Umkehrfunktion sind die Polynome der Form mit

    Für diese ist die Umkehrfunktion, da ja wegen

    und

    diese Funktionen invers zueinander sind. Wir zeigen, dass es darüberhinaus keine weiteren Polynome mit polynomialer Umkehrfunktion gibt. Ein konstantes Polynom ist nicht bijektiv. Es sei also ein Polynom, das zumindest einen Grad besitzt. Wenn man darin ein weiteres nichtkonstantes Polynom einsetzt, ergibt sich aber ebenfalls ein Polynom vom Grad und nicht . D.h., dass keine polynomiale Umkehrfunktion besitzen kann.

  2. Die Funktion

    ist bijektiv nach Fakt *****, nach Teil (1) kann aber die Umkehrfunktion nicht polynomial sein.

  3. Die vollständige Wertetabelle zu dieser Funktion ist

    also ist die Funktion bijektiv. Diese Funktion ist offenbar zu sich selbst invers, also ist die Umkehrfunktion polynomial.


Aufgabe (5 Punkte)

Bestimme die Übergangsmatrizen und für die Standardbasis und die durch die Vektoren

gegebene Basis im .


Lösung

Es ist

Für die umgekehrte Übergangsmatrix müssen wir diese Matrix invertieren. Es ist

Es ist also


Aufgabe (12 Punkte)

Beweise den Charakterisierungssatz für eine Basis in einem - Vektorraum .


Lösung

Wir führen einen Ringschluss durch. . Die Familie ist ein Erzeugendensystem. Nehmen wir einen Vektor, sagen wir , aus der Familie heraus. Wir müssen zeigen, dass dann die verbleibende Familie, also kein Erzeugendensystem mehr ist.  Wenn sie ein Erzeugendensystem wäre, so wäre insbesondere als Linearkombination der Vektoren darstellbar, d.h. man hätte

Dann ist aber

eine nichttriviale Darstellung der , im Widerspruch zur linearen Unabhängigkeit der Familie. . Nach Voraussetzung ist die Familie ein Erzeugendensystem, sodass sich jeder Vektor als Linearkombination darstellen lässt.  Angenommen, es gibt für ein eine mehrfache Darstellung, d.h.

wobei mindestens ein Koeffizient verschieden sei. Ohne Einschränkung sei . Dann erhält man die Beziehung

Wegen kann man durch diese Zahl dividieren und erhält eine Darstellung von durch die anderen Vektoren. Nach Aufgabe 6.25 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)) ist auch die Familie ohne ein Erzeugendensystem von , im Widerspruch zur Minimalität. . Wegen der eindeutigen Darstellbarkeit besitzt insbesondere der Nullvektor nur die triviale Darstellung, d.h. die Vektoren sind linear unabhängig. Nimmt man einen Vektor hinzu, so besitzt dieser eine Darstellung

und daher ist

eine nichttriviale Darstellung der , sodass die verlängerte Familie nicht linear unabhängig ist. . Die Familie ist linear unabhängig, wir müssen zeigen, dass sie auch ein Erzeugendensystem bildet. Es sei dazu . Nach Voraussetzung ist die Familie nicht linear unabhängig, d.h. es gibt eine nichttriviale Darstellung

Dabei ist , da andernfalls dies eine nichttriviale Darstellung der allein mit den linear unabhängigen Vektoren wäre. Daher können wir

schreiben, sodass eine Darstellung von möglich ist.


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (5 (2+3) Punkte)

Es sei ein Körper und sei der Polynomring über . Es sei ein fixiertes Element.

a) Zeige, dass

ein Ideal ist.

b) Bestimme ein Polynom mit


Lösung

a) Es ist . Für ist

also . Für und ist

also .

b) Wir behaupten

Das Polynom gehört offenbar zu und damit gehört auch das von erzeugte Hauptideal zu . Es sei umgekehrt . Die Division mit Rest ergibt

wobei konstant ist. Aus folgt

und da konstant ist, folgt . Also ist .


Aufgabe (2 Punkte)

Beweise, dass der Polynomring kein Körper ist.


Lösung

In einem Körper besitzt jedes Element ein multiplikatives Inverses. Dies ist beim Polynomring nicht der Fall, dort besitzen nur die Konstanten ein Inverses.


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (6 (2+2+2) Punkte)

Wir betrachten die Matrix

über .

a) Bestimme die jordansche Normalform von .

b) Bestimme die kanonische Zerlegung von in einen diagonalisierbaren Anteil und einen nilpotenten Anteil.

c) Welche Eigenschaften der kanonischen Zerlegung erfüllt die Zerlegung

welche nicht?


Lösung

a) Es ist

eine Matrix mit Rang , daher ist der Eigenraum zum Eigenwert zweidimensional. Daher hat die jordansche Normalform die Gestalt

b) In der Basis, in der die jordansche Normalform vorliegt, ist

Dabei ist der Summand links in Diagonalgestalt, also insbesondere diagonalisierbar, und der Summand rechts ist nilpotent. Ferner ist

und

sodass auch die Vertauschbarkeitsbeziehung gilt.

c) Die Summanden sind diagonalisierbar bzw. nilpotent. Ferner ist

und

und somit ist dies ebenfalls die kanonische Zerlegung (allerdings bezüglich einer anderen Basis).


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme, ob im der Ausdruck

eine baryzentrische Kombination ist.


Lösung

Wegen

liegt keine baryzentrische Kombination vor.