Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2015-2016)/Teil II/Vorlesung 43/kontrolle

Polynome in mehreren Variablen und Nullstellenmengen

Als eine Anwendung der Diagonalisierbarkeit von symmetrischen Matrizen bzw. der Hauptachsentransformation besprechen wir, wie man einfache polynomiale Gleichungen in mehreren Variablen von niedrigem Grad auf eine besonders einfache Form bringen kann. Dazu führen wir kurz Polynome in mehreren Variablen ein.

Definition Referenznummer erstellen

Zu einer Variablenmenge ${}X_{1},\ldots ,X_{n}$ und einem ${}n$- Tupel ${}(\nu _{1},\ldots ,\nu _{n})\in \mathbb {N} ^{n}$ nennt man einen Ausdruck der Form ${}X_{1}^{\nu _{1}}\cdots X_{n}^{\nu _{n}}$ ein Monom in den ${}X_{i}$.

Der Grad eines Monoms ist die Summe der Exponenten, also gleich ${}\nu _{1}+\nu _{2}+\cdots +\nu _{n}$.

Definition Referenznummer erstellen

Unter einem Polynom ${}F$ in den Variablen ${}X_{1},\ldots ,X_{n}$ über einem Körper ${}K$ versteht man eine endliche Linearkombination von Monomen

${}F=\sum _{\nu }c_{\nu }X^{\nu }\,$

mit ${}c_{\nu }\in K$.

Der Grad eines Polynoms ist das Maximum der Grade der beteiligten Monome (also derjenigen Monome, die mit einem von ${}0$ verschiedenen Koeffizienten wirklich vorkommen). Ein Polynom ${}F=F(X_{1},\ldots ,X_{n})$ in ${}n$ Variablen über ${}K$ definiert durch Einsetzen eine Funktion

$K^{n}\longrightarrow K,\,(x_{1},\ldots ,x_{n})\longmapsto F(x_{1},\ldots ,x_{n}).$

Dies sind wichtige Funktionen in der höherdimensionalen Analysis. Die Variable ${}X_{i}$ in diesem Sinne interpretiert repräsentiert einfach die ${}i$-te Projektion, und die Addition und die Multiplikation von Polynomen entspricht dann der Addition und der Multiplikation von Funktionen, bei der die Werte in ${}K$ addiert bzw. multipliziert werden.

Definition Referenznummer erstellen

Zu einem Körper ${}K$ und einer Variablenmenge ${}X_{1},\ldots ,X_{n}$ besteht der Polynomring

$K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$

aus allen Polynomen ${}F(X_{1},\ldots ,X_{n})$ in diesen Variablen, wobei diese Menge durch die komponentenweise Addition und die Multiplikation, die sich durch die distributive Fortsetzung der Regel

${}X_{1}^{r_{1}}\cdots X_{n}^{r_{n}}\cdot X_{1}^{s_{1}}\cdots X_{n}^{s_{n}}:=X_{1}^{r_{1}+s_{1}}\cdots X_{n}^{r_{n}+s_{n}}\,$

ergibt, zu einem kommutativen Ring gemacht wird.

Definition Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}F\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ ein Polynom in ${}n$ Variablen. Dann nennt man

${\left\{P\in K^{n}\mid F(P)=0\right\}}$

das Nullstellengebilde (oder Nullstellenmenge) zu ${}F$.

Das Nullstellengebilde zu ${}F$ ist also einfach die Faser zu der durch ${}F$ gegebenen Funktion

$F\colon K^{n}\longrightarrow K.$

Bei ${}n=1$ ist dies einfach eine endliche Ansammlung von einzelnen Punkten, den Nullstellen von ${}F$, (bei ${}F=0$ handelt es sich um ganz ${}K$), bei ${}n\geq 2$ entstehen aber zunehmend interessantere und kompliziertere geometrische Gebilde. Das Studium dieser Gebilde heißt algebraische Geometrie. Bei ${}n=2$ spricht man von algebraischen Kurven.

Bei beliebigem ${}n$ hat ein Polynom vom Grad ${}\leq 1$ die Gestalt

${}F=a_{1}X_{1}+\cdots +a_{n}X_{n}+b\,$

und das zugehörige Nullstellengebilde ist einfach die Lösungsmenge der inhomogenen linearen Gleichung

${}a_{1}x_{1}+\cdots +a_{n}x_{n}=-b\,,$

also ein affin-linearer Raum.

Reelle Quadriken

Die Polynome vom Grad zwei und ihre Nullstellenmengen sind weitgehend mit Mitteln der linearen Algebra beherrschbar.

Definition Referenznummer erstellen

Unter einem quadratischen Polynom ${}F\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ über einem Körper ${}K$ versteht man ein Polynom vom Grad ${}2$, also einen Ausdruck der Form

${}F=\sum _{i\leq j}a_{ij}X_{i}X_{j}+\sum _{i=1}^{n}b_{i}X_{i}+c\,$

mit ${}a_{ij},b_{i},c\in K$.

Beispiel Referenznummer erstellen

Zu einem quadratischen Polynom ${}aX^{2}+bX+c$ in einer Variablen ${}X$ mit ${}a,b,c\in K$ und ${}a\neq 0$ findet man die Nullstellen durch quadratisches Ergänzen. D.h. man schreibt (die Charakteristik des Körpers sei nicht ${}2$)

${}aX^{2}+bX+c=a{\left(X^{2}+{\frac {b}{a}}X+{\frac {c}{a}}\right)}=a{\left({\left(X+{\frac {b}{2a}}\right)}^{2}-{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}+{\frac {c}{a}}\right)}\,.$

Dies ist genau dann gleich ${}0$, wenn

${}X=\pm {\sqrt {{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}-{\frac {c}{a}}}}-{\frac {b}{2a}}\,$

und die Wurzel

${}{\sqrt {{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}-{\frac {c}{a}}}}={\frac {1}{2a}}{\sqrt {b^{2}-4ac}}\,$

in dem Körper existiert. Je nachdem gibt es keine, eine oder zwei Lösungen.

Wir stellen nun den Zusammenhang zwischen quadratischen Polynomen und Bilinearformen her.

Definition Referenznummer erstellen

Zu einer Bilinearform ${}\left\langle -,-\right\rangle$ auf einem ${}K$- Vektorraum ${}V$ nennt man die Abbildung

$V\longrightarrow K,\,v\longmapsto \left\langle v,v\right\rangle ,$

die zugehörige quadratische Form.

Zu einer fixierten Basis ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ wird eine Bilinearform durch ihre Gramsche Matrix

${}G={\left(g_{ij}\right)}_{ij}\,$

beschrieben, und die zugehörige quadratische Form ${}V\rightarrow K$ wird, wenn man ${}X_{i}$ für die ${}i$-te Projektion (die zugehörige Dualbasis) schreibt, durch das quadratische Polynom

${}\left(X_{1},\,\ldots ,\,X_{n}\right)G{\begin{pmatrix}X_{1}\\\vdots \\X_{n}\end{pmatrix}}=\sum _{1\leq i,j\leq n}g_{ij}X_{i}X_{j}=\sum _{i}g_{ii}X_{i}^{2}+\sum _{i<j}{\left(g_{ij}+g_{ji}\right)}X_{i}X_{j}\,$

beschrieben. Im symmetrischen Fall ist dies

$\sum _{i}g_{ii}X_{i}^{2}+\sum _{i<j}2g_{ij}X_{i}X_{j}.$

Umgekehrt kann man jedes rein-quadratische Polynom in ${}n$ Variablen in dieser Weise mit einer symmetrischen Gramschen Matrix ausdrücken. Die Theorie der reell-symmetrischen Bilinearformen erlaubt es, durch eine geeignete Koordinatentransformation (einen Basiswechsel) die gemischten Terme wegzukriegen.

Beispiel Beispiel 43.8 ändern

Wir erstellen eine Liste von reellen quadratischen Polynomen in den zwei Variablen ${}X$ und ${}Y$ mit den zugehörigen Nullstellenmengen, wobei wir die Koeffizienten auf ${}0,1,-1$ beschränken. Wenn nur die eine Variable ${}X$ vorkommt, so hat man im Wesentlichen die drei folgenden Möglichkeiten.

• ${}X^{2}\,$ ${}\,$ ${}\,$ Das Nullstellengebilde ist eine „verdoppelte Gerade“.

• ${}X^{2}-1\,$ ${}\,$ ${}\,$ Das bedeutet

${}X=\pm 1$, das Nullstellengebilde besteht also aus zwei parallelen Geraden.

• ${}X^{2}+1\,$ ${}\,$ ${}\,$ Das Nullstellengebilde ist leer.

In diesen Fällen ist das Nullstellengebilde einfach die Produktmenge eines nulldimensionalen Nullstellengebildes (endlich viele Punkte) und einer Geraden.

Nun betrachten wir die Polynome, wo beide Variablen vorkommen.

• ${}Y^{2}-X\,$ ${}\,$ ${}\,$ Das Nullstellengebilde ist eine Parabel.

• ${}Y^{2}-X^{2}\,$ ${}\,$ ${}\,$ Das bedeutet

${}(Y-X)(Y+X)=0$, das Nullstellengebilde besteht also aus zwei sich kreuzenden Geraden.

• ${}Y^{2}+X^{2}\,$ ${}\,$ ${}\,$ Die einzige Lösung ist der Punkt ${}(0,0)$, das Nullstellengebilde ist also ein einziger Punkt.

• ${}Y^{2}-X^{2}-1\,$ ${}\,$ ${}\,$ Das bedeutet

${}(Y-X)(Y+X)=1$, das Nullstellengebilde ist also eine Hyperbel.

• ${}Y^{2}+X^{2}-1\,$ ${}\,$ ${}\,$ Das Nullstellengebilde ist der Einheitskreis.

• ${}Y^{2}+X^{2}+1\,$ ${}\,$ ${}\,$ Das ist wieder leer.

Das Polynom ${}XY-1$ taucht in dieser Liste nicht direkt auf, da es in den Variablen ${}X=U+V$ und ${}Y=U-V$, also

${}U^{2}-V^{2}=1\,$

geschrieben werden kann. In dieser Form ist es also doch in der Liste. Der folgende Satz sagt unter anderem, dass bis auf Verzerrungen die Liste vollständig ist.

Ein Paraboloid.

Ein hyperbolisches Paraboloid, auch eine Sattelfläche genannt.

Ein Ellipsoid. Die Oberfläche ist eine Quadrik.

Ein Doppelkegel.

Ein einschaliges Hyperboloid.

Ein zweischaliges Hyperboloid.

Satz Satz 43.9 ändern

Jedes reelle quadratische Polynom

${}F=\sum _{i\leq j}a_{ij}X_{i}X_{j}+\sum _{i=1}^{n}b_{i}X_{i}+c\,$

besitzt in einer geeigneten (verschobenen) Orthonormalbasis die Form (mit $k\leq n$)

${}F=\sum _{1\leq i\leq k}r_{i}U_{i}^{2}+s\,$

oder die Form (mit $k\leq n-1$)

${}F=\sum _{1\leq i\leq k}r_{i}U_{i}^{2}+sU_{k+1}\,.$

Beweis

Wir betrachten die quadratische Matrix

${}M={\left(\alpha _{ij}\right)}_{1\leq i,j\leq n}\,$

mit

${}\alpha _{ij}={\begin{cases}a_{ij}{\text{ für }}i=j\,,\\{\frac {a_{ij}}{2}}{\text{ für }}i<j\,,\\{\frac {a_{ji}}{2}}{\text{ für }}i>j\,.\end{cases}}\,$

Damit hat der rein-quadratische Term des Polynoms die Gestalt

$\left(X_{1},\,\ldots ,\,X_{n}\right)M{\begin{pmatrix}X_{1}\\\vdots \\X_{n}\end{pmatrix}}.$

Diese Gleichung gilt für jede Ersetzung für ${}X_{i}$ durch Elemente aus ${}K$ und als Gleichung in ${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$. Nach Definition ist die Matrix ${}M$ symmetrisch. Nach Satz 42.12 gibt es eine Orthonormalbasis ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ des ${}\mathbb {R} ^{n}$, bezüglich der die neue Gramsche Matrix

${B^{\text{tr}}}MB$

Diagonalgestalt besitzt, wobei ${}B$ den Basiswechsel bezeichnet. Es seien ${}V_{1},\ldots ,V_{n}$ die Variablen bezüglich des neuen Orthonormalsystems, die ${}V_{i}$ beschreiben also als Funktionen die Linearformen zu dieser neuen Basis, also die Dualbasis dazu. In den neuen Variablen fallen die gemischten quadratischen Ausdrücke weg, d.h. das Polynom bekommt die Gestalt

${}F=\sum _{1\leq i\leq k}e_{i}V_{i}^{2}+\sum _{j=1}^{n}f_{j}V_{j}+g\,,$

mit einem gewissen ${}k$ zwischen ${}1$ und ${}n$, wobei die ${}e_{i}\neq 0$ seien. Die Summanden

$e_{i}V_{i}^{2}+f_{i}V_{i}$

können durch quadratisches Ergänzen mit den neuen Variablen ${}U_{i}=V_{i}+h_{i}$ auf die Gestalt

$e_{i}U_{i}^{2}+g_{i}$

gebracht werden. Abgesehen vom nun rein quadratischen Term bleibt entweder eine Konstante oder ein lineares Polynom übrig, welches als Variable ${}U_{k+1}$ angesetzt werden kann.

$\Box$

Die im vorstehenden Satz auftretende Darstellung nennen wir die Standardgestalt einer quadratischen Form. Bei ihr kommen nur rein-quadratische Terme sowie allenfalls eine Variable in der ersten Potenz vor. Der Satz besagt also, dass jede quadratische Form in geeigneten orthonormalen Koordinaten auf eine solche Standardgestalt gebracht werden kann. Für das Nullstellengebilde bedeutet eine solche Koordinatentransformation lediglich, dass eine affin-lineare Isometrie angewendet wird.

Bemerkung   Referenznummer erstellen

Eine quadratische Form in Standardgestalt

$\sum _{1\leq i\leq k}r_{i}U_{i}^{2}+s\,\,{\text{ bzw. }}\,\,\sum _{1\leq i\leq k}r_{i}U_{i}^{2}+sU_{k+1},$

wie sie nach Satz 43.9 stets erreicht werden kann, kann weiter vereinfacht werden, wobei man allerdings Verzerrungen in Kauf nehmen muss. In den neuen Koordinaten

${}Z_{i}={\sqrt {\vert {r_{i}}\vert }}U_{i}\,$

bzw.

${}U_{i}={\frac {1}{\sqrt {\vert {r_{i}}\vert }}}Z_{i}\,$

für ${}i=1,\ldots ,k$ besitzt die quadratische Form eine Darstellung der Form

$\sum _{1\leq i\leq k}\pm Z_{i}^{2}+s\,\,{\text{ bzw. }}\,\,\sum _{1\leq i\leq k}\pm Z_{i}^{2}+sZ_{k+1},$

wobei die Vorfaktoren jetzt gleich ${}1$ oder gleich ${}-1$ sind. Man spricht von einer normierten Standardgestalt der quadratischen Form. Durch Vertauschen der Reihenfolge kann man erreichen, dass die ersten Variablen den Vorfaktor ${}1$ und die hinteren den Vorfaktor ${}-1$ besitzen. Bei diesem Übergang erfäht das Nullstellengebilde Verzerrungen, aus einer Ellipse wird beispielsweise ein Kreis gemacht oder eine Parabel wird gestaucht. Da sich das Nullstellengebilde nicht ändert, wenn man die Form mit ${}-1$ multipliziert, kann man davon ausgehen, dass die Anzahl des Vorfaktors ${}1$ mindestens so groß ist wie die Anzahl des Vorfaktors ${}-1$.

Beispiel Referenznummer erstellen

Wir betrachten das quadratische Polynom

${}F=3X^{2}-4XY+5Y^{2}+6X+2Y-7\,.$

Wir müssen zunächst die Matrix

${}M={\begin{pmatrix}3&-2\\-2&5\end{pmatrix}}\,$

diagonalisieren. Das charakteristische Polynom ist

${}(X-3)(X-5)-4=X^{2}-8X+11=(X-4)^{2}-5\,.$

Somit sind die Eigenwerte gleich

$x_{1}={\sqrt {5}}+4{\text{ und }}x_{2}=-{\sqrt {5}}+4.$

Eigenvektoren sind

${\begin{pmatrix}-2\\{\sqrt {5}}+1\end{pmatrix}}\,\,{\text{ und }}\,\,{\begin{pmatrix}2\\{\sqrt {5}}-1\end{pmatrix}}.$

Daher bilden

${\frac {1}{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}}{\begin{pmatrix}-2\\{\sqrt {5}}+1\end{pmatrix}}\,\,{\text{ und }}\,\,{\frac {1}{\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}}{\begin{pmatrix}2\\{\sqrt {5}}-1\end{pmatrix}}.$

eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren.

Beispiel Beispiel 43.12 ändern

Wir erstellen eine Liste von reellen quadratischen Polynomen in den drei Variablen ${}X,Y$ und ${}Z$ mit den zugehörigen Nullstellenmengen, wobei wir die Koeffizienten auf ${}0,1,-1$ beschränken. Ferner betrachten wir nur solche Polynome, wo sämtliche Variablen vorkommen und deren Nullstellengebilde nicht leer ist.

• ${}Y^{2}+X^{2}-Z\,$ ${}\,$ ${}\,$ Das Nullstellengebilde ist ein Paraboloid.

• ${}Y^{2}-X^{2}-Z\,$ ${}\,$ ${}\,$ Das Nullstellengebilde ist eine Sattelfläche.

• ${}X^{2}+Y^{2}+Z^{2}$ ${}\,$ ${}\,$ Die einzige Lösung ist der Punkt ${}(0,0,0)$, das Nullstellengebilde ist also ein einziger Punkt.

• ${}X^{2}+Y^{2}+Z^{2}-1$ ${}\,$ ${}\,$ Das Nullstellengebilde ist eine Sphäre, also die Oberfläche einer Kugel.

• ${}X^{2}+Y^{2}-Z^{2}$ ${}\,$ ${}\,$ Das Nullstellengebilde ist die Lösungsmenge zur Gleichung ${}Z^{2}=X^{2}+Y^{2}$. Das ist ein runder (Doppel)-Kegel.

• ${}X^{2}+Y^{2}-Z^{2}-1$ ${}\,$ ${}\,$ Das Nullstellengebilde ist ein einschaliges Hyperboloid.

• ${}X^{2}+Y^{2}-Z^{2}+1$ ${}\,$ ${}\,$ Das Nullstellengebilde ist ein zweischaliges Hyperboloid.

Beispiel Referenznummer erstellen

Wir betrachten die quadratische Form

${\frac {3}{2}}x^{2}+2y^{2}+2xy-2yz.$

Die zugehörige symmetrische Matrix ist

${\begin{pmatrix}{\frac {3}{2}}&1&0\\1&2&-1\\0&-1&0\end{pmatrix}}.$

Wir möchten eine Orthonormalbasis des ${}\mathbb {R} ^{3}$ finden, bezüglich der die Form Diagonalgestalt besitzt. Dazu müssen wir die Eigenwerte (Hauptwerte) der Matrix bestimmen. Das charakteristische Polynom der Matrix ist

${}{\begin{aligned}\det {\begin{pmatrix}X-{\frac {3}{2}}&-1&0\\-1&X-2&1\\0&1&X\end{pmatrix}}&={\left(X-{\frac {3}{2}}\right)}{\left(X^{2}-2X-1\right)}-X\\&=X^{3}-{\frac {7}{2}}X^{2}+X+{\frac {3}{2}}\\&=(X-1){\left(X^{2}-{\frac {5}{2}}X-{\frac {3}{2}}\right)}\\&=(X-1)(X-3){\left(X+{\frac {1}{2}}\right)},\end{aligned}}$

die Eigenwerte sind also

$1,3,-{\frac {1}{2}}.$

Die zugehörigen Hauptgeraden berechnen sich folgendermaßen.

Zu ${}x=1$ ist der Kern der Matrix

${\begin{pmatrix}-{\frac {1}{2}}&-1&0\\-1&-1&1\\0&1&1\end{pmatrix}}$

gleich ${}{\begin{pmatrix}2\\-1\\1\end{pmatrix}}$, ein normierter Erzeuger ist

${\begin{pmatrix}{\frac {2}{\sqrt {6}}}\\-{\frac {1}{\sqrt {6}}}\\{\frac {1}{\sqrt {6}}}\end{pmatrix}}.$

Zu ${}x=3$ ist der Kern der Matrix

${\begin{pmatrix}{\frac {3}{2}}&-1&0\\-1&1&1\\0&1&3\end{pmatrix}}$

gleich ${}{\begin{pmatrix}2\\3\\-1\end{pmatrix}}$, ein normierter Erzeuger ist

${\begin{pmatrix}{\frac {2}{\sqrt {14}}}\\{\frac {3}{\sqrt {14}}}\\-{\frac {1}{\sqrt {14}}}\end{pmatrix}}.$

Zu ${}x=-{\frac {1}{2}}$ ist der Kern der Matrix

${\begin{pmatrix}-2&-1&0\\-1&-{\frac {5}{2}}&1\\0&1&-{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}}$

gleich ${}{\begin{pmatrix}-{\frac {1}{2}}\\1\\2\end{pmatrix}}$, ein normierter Erzeuger ist

${\begin{pmatrix}-{\frac {1}{4{\sqrt {21}}}}\\{\frac {1}{2{\sqrt {21}}}}\\{\frac {1}{\sqrt {21}}}\end{pmatrix}}.$

Wir bezeichnen diese Eigenvektoren mit ${}u_{1},u_{2},u_{3}$, sie bilden eine Orthonormalbasis. In den neuen Koordinaten ${}y_{1},y_{2},y_{3}$ bezüglich der neuen Orthonormalbasis schreibt sich die quadratische Form als

$y_{1}^{2}+3y_{2}^{2}-{\frac {1}{2}}y_{3}^{2}.$

Dies weiß man allein aufgrund der Eigenwerte, dazu muss man die Eigenvektoren nicht ausrechnen.

Zwischen den beiden Basen besteht die Beziehung

${}{\begin{pmatrix}u_{1}\\u_{2}\\u_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {2}{\sqrt {6}}}&-{\frac {1}{\sqrt {6}}}&{\frac {1}{\sqrt {6}}}\\{\frac {2}{\sqrt {14}}}&{\frac {3}{\sqrt {14}}}&-{\frac {1}{\sqrt {14}}}\\-{\frac {1}{4{\sqrt {21}}}}&{\frac {1}{2{\sqrt {21}}}}&{\frac {1}{\sqrt {21}}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}e_{1}\\e_{2}\\e_{3}\end{pmatrix}}\,$

Nach Lemma 14.13 ergibt sich für die Koordinaten (die Dualbasen) ${}x_{1},x_{2},x_{3}$ bezüglich der Standardbasis (die eingangs mit $x,y,z$ bezeichnet worden waren) und den Koordinaten ${}y_{1},y_{2},y_{3}$ bezüglich der neuen Orthogonalbasis der Zusammenhang

${}{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {2}{\sqrt {6}}}&{\frac {2}{\sqrt {14}}}&-{\frac {1}{4{\sqrt {21}}}}\\-{\frac {1}{\sqrt {6}}}&{\frac {3}{\sqrt {14}}}&{\frac {1}{2{\sqrt {21}}}}\\{\frac {1}{\sqrt {6}}}&-{\frac {1}{\sqrt {14}}}&{\frac {1}{\sqrt {21}}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\\y_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {2}{\sqrt {6}}}y_{1}+{\frac {2}{\sqrt {14}}}y_{2}-{\frac {1}{4{\sqrt {21}}}}y_{3}\\-{\frac {1}{\sqrt {6}}}y_{1}+{\frac {3}{\sqrt {14}}}y_{2}+{\frac {1}{2{\sqrt {21}}}}y_{3}\\{\frac {1}{\sqrt {6}}}y_{1}-{\frac {1}{\sqrt {14}}}y_{2}+{\frac {1}{\sqrt {21}}}y_{3}\end{pmatrix}}\,.$