Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)/Teil I/Arbeitsblatt 16/kontrolle
- Die Pausenaufgabe
Aufgabe Referenznummer erstellen
- Übungsaufgaben
Aufgabe Referenznummer erstellen
Berechne die Determinante der Matrix
Aufgabe Referenznummer erstellen
Berechne die Determinante der Matrix
Aufgabe Referenznummer erstellen
Wir betrachten die Matrix
- Berechne die Determinante von .
- Bestimme die Determinante zu jeder Matrix, die entsteht, wenn man in eine Zeile und eine Spalte weglässt.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Zeige durch Induktion, dass bei einer oberen Dreiecksmatrix die Determinante gleich dem Produkt der Diagonalelemente ist.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Zeige durch Induktion, dass bei einer unteren Dreiecksmatrix die Determinante gleich dem Produkt der Diagonalelemente ist.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei ein Körper, und seien - Vektorräume und
sei eine - lineare Abbildung. Zeige, dass multilinear und alternierend ist.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Aufgabe Referenznummer erstellen
Aufgabe * Aufgabe 16.10 ändern
Es sei ein Körper und seien und endliche Indexmengen. Zeige, dass die Abbildung
mit
multilinear ist.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Überprüfe die Multilinearität und die Eigenschaft, alternierend zu sein, direkt für die Determinante von - Matrizen.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Überprüfe die Multilinearität und die Eigenschaft, alternierend zu sein, direkt für die Determinante von - Matrizen.
Aufgabe Aufgabe 16.12 ändern
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Man begründe anhand des Bildes, dass zu zwei Vektoren und die Determinante der durch die Vektoren definierten -Matrix mit dem Flächeninhalt des von den beiden Vektoren aufgespannten Parallelogramms (bis auf das Vorzeichen) übereinstimmt.
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Es sei eine - Matrix. Zeige
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei und
die zugehörige Multiplikation. Bestimme die Determinante dieser Abbildung, wenn man sie als reell-lineare Abbildung auffasst.
Aufgabe Aufgabe 16.16 ändern
Es sei ein Körper und seien und Vektorräume über . Es sei
eine multilineare Abbildung und es seien und . Zeige
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei ein Körper und seien und Vektorräume über . Es seien , , Erzeugendensysteme von , . Zeige, dass eine multilineare Abbildung
durch
festgelegt ist.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei ein Körper und ein - Vektorraum. Es sei
eine multilineare und alternierende Abbildung. Es seien . Ziehe in
Summen und Skalare nach außen und vereinfache.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Aufgabe Referenznummer erstellen
Aufgabe * Aufgabe 16.21 ändern
Es sei ein Körper und . Zeige, dass die Determinante
für beliebiges und beliebige Vektoren , für und für die Gleichheit
gilt.
Aufgabe Aufgabe 16.22 ändern
Es sei eine quadratische Matrix, die man als
mit quadratischen Matrizen und schreiben kann. Zeige
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Es sei eine quadratische Matrix, die man als
mit quadratischen Matrizen und schreiben kann. Zeige durch ein Beispiel, dass die Beziehung
im Allgemeinen nicht gilt.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei ein Körper, es seien und Vektorräume über und es sei
eine multilineare Abbildung. Zeige, dass die Menge
im Allgemeinen kein Untervektorraum von ist.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei ein Körper und seien und Vektorräume über . Zeige, dass die Menge aller multilinearen Abbildungen, die mit bezeichnet wird, in natürlicher Weise ein Vektorraum ist.
Aufgabe Aufgabe 16.27 ändern
Es sei ein Körper, seien und Vektorräume über und . Zeige, dass die Menge aller alternierenden Abbildungen, die mit bezeichnet wird, in natürlicher Weise ein Untervektorraum von (wobei der Vektorraum -fach auftritt) ist.
Aufgabe Aufgabe 16.28 ändern
Es sei ein Körper, und seien - Vektorräume und
sei eine - lineare Abbildung und es sei
eine multilineare Abbildung. Zeige, dass dann auch die verknüpfte Abbildung
multilinear ist. Zeige ebenfalls, dass wenn alternierend ist, dass dann auch alternierend ist, und dass hiervon bei bijektiv auch die Umkehrung gilt.
Aufgabe Aufgabe 16.29 ändern
Es sei ein Körper und seien und Vektorräume über . Es seien
lineare Abbildungen und sei
eine multilineare Abbildung. Zeige, dass die Abbildung
ebenfalls multilinear ist.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Aufgabe * Referenznummer erstellen
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (2 Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei . Zeige, dass es egal ist, ob man die Determinante in , in oder in ausrechnet.
Aufgabe (2 Punkte)Referenznummer erstellen
Berechne die Determinanten der Elementarmatrizen.
Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Berechne die Determinante der Matrix
Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Berechne die Determinante der Matrix
Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei ein Körper und ein - Vektorraum. Es sei
eine multilineare und alternierende Abbildung. Es seien . Ziehe in
Summen und Skalare nach außen und vereinfache.
Aufgabe (3 Punkte)Aufgabe 16.37 ändern
Es sei ein Körper und seien Vektorräume über . Es seien
(), lineare Abbildungen. Zeige, dass dann die Abbildung
multilinear ist.
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