Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)/Teil I/Arbeitsblatt 24
- Die Pausenaufgabe
Aufgabe
Bestätige den Satz von Cayley-Hamilton durch eine explizite Rechnung für die Matrix
- Übungsaufgaben
Aufgabe *
a) Formuliere den Satz von Cayley-Hamilton für eine -Matrix.
b) Bestätige durch Nachrechnen den Satz von Cayley-Hamilton für die Matrix
c) Beweise den Satz von Cayley-Hamilton für eine beliebige -Matrix.
Aufgabe
Bestätige den Satz von Cayley-Hamilton durch eine explizite Rechnung für die Matrix
Aufgabe
Bestätige den Satz von Cayley-Hamilton für eine obere Dreiecksmatrix der Form
Aufgabe
Aufgabe
Es sei ein Körper und es sei ein endlichdimensionaler - Vektorraum. Es sei
eine lineare Abbildung und es sei
die -fache direkte Summe von mit sich selbst. Wie verhält sich das Minimalpolynom (das charakteristische Polynom) von zum Minimalpolynom (zum charakteristischen Polynom) von .
Aufgabe
Schreibe die Matrix
(mit Einträgen aus ) als
mit Matrizen .
Aufgabe
Es sei eine - Matrix über einem Körper , dessen Minimalpolynom die Form
mit verschiedenen besitze. Zeige, dass diagonalisierbar ist.
Aufgabe
Es sei ein Körper, und sei die Menge der -ten Einheitswurzeln in . Zeige, dass eine Untergruppe der Einheitengruppe ist.
Aufgabe *
Zeige, dass jede komplexe Einheitswurzel auf dem Einheitskreis liegt.
Die folgende Aufgabe benötigt den Begriff der konvergenten Potenzreihe, wie er in der Analysis entwickelt wird.
Aufgabe
Es sei . Es sei eine komplexe, auf konvergente Potenzreihe der Form
Zeige, dass für jede -te komplexe Einheitswurzel die Gleichheit für alle gilt.
Eine -te Einheitswurzel heißt primitiv, wenn sie die Ordnung besitzt.
Aufgabe
Es sei eine -te primitive Einheitswurzel in einem Körper . Zeige die „Schwerpunktformel“
Aufgabe
Es sei ein Körper, und . Beweise die folgenden Aussagen.
- Wenn zwei Lösungen der Gleichung sind und , so ist ihr Quotient eine -te Einheitswurzel.
- Wenn eine Lösung der Gleichung und eine -te Einheitswurzel ist, so ist auch eine Lösung der Gleichung .
Aufgabe
Es sei die Permutationsmatrix zu einer Transposition. Zeige, dass über diagonalisierbar ist.
Aufgabe *
Es sei der Zykel gegeben und sei die zugehörige - Permutationsmatrix über einem Körper .
a) Es sei ein Polynom vom Grad . Erstelle eine Formel für .
b) Bestimme das Minimalpolynom von .
c) Man gebe ein Beispiel für einen Endomorphismus auf einem reellen Vektorraum mit untereinander verschiedenen Vektoren derart, dass , und gilt und dass das Minimalpolynom von nicht ist.
Aufgabe
Von einer Permutation sei die Zyklenzerlegung bekannt. Bestimme das Minimalpolynom und das charakteristische Polynom der Permutationsmatrix .
Aufgabe
Es sei eine Permutation und die zugehörige Permutationsmatrix über einem Körper . Zu sei
a) Zeige, dass genau dann - invariant ist, wenn ist.
b) Zeige, dass es -invariante Unterräume geben kann, die nicht von der Form sind.
Aufgabe
Es sei ein endlicher Körper. Zeige, dass jede Einheit in eine Einheitswurzel ist.
Aufgabe *
Aufgabe
Es sei ein endlicher Körper und eine invertierbare - Matrix über . Zeige, dass endliche Ordnung besitzt.
Aufgabe *
Man gebe eine Matrix der Ordnung an.
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (4 Punkte)
Bestätige den Satz von Cayley-Hamilton durch eine explizite Rechnung für die Matrix
Aufgabe (4 Punkte)
Es sei eine - Matrix über einem Körper
und seiund mit . Zeige, dass invertierbar ist und dass die inverse Matrix durch
beschrieben wird.
Aufgabe (5 Punkte)
Es seien und endlichdimensionale - Vektorräume und
und
Endomorphismen mit den Minimalpolynomen bzw. . Zeige, dass das Minimalpolynom von
gleich dem normierten Erzeuger des Ideals ist.
Aufgabe (3 Punkte)
Aufgabe (4 Punkte)
Zeige, dass eine Permutationsmatrix über diagonalisierbar ist.
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