Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)/Teil I/Vorlesung 24

„Das Lernen und der Orgasmus finden letztlich im Kopf statt“

Der Satz von Cayley-Hamilton

Arthur Cayley (1821-1895)

William Hamilton (1805-1865)

Einer der Höhepunkte der linearen Algebra ist der Satz von Cayley-Hamilton. Um ihn formulieren zu können erinnern wir daran, dass man in Polynome quadratische Matrizen einsetzen kann, siehe die 20. Vorlesung. Dabei ersetzt man an jeder Stelle die Variable ${}X$ durch die Matrix ${}M$ und muss die Potenzen ${}M^{i}$ als das ${}i$-te Matrixprodukt von ${}M$ mit sich selbst verstehen und die Addition als die (komponentenweise) Addition von Matrizen interpretieren. Ein Skalar ${}a$ wird dabei als das ${}a$-fache der Einheitsmatrix interpretiert. Für das Polynom

${}P=3X^{2}-5X+2\,$

und die Matrix

${}M={\begin{pmatrix}2&4\\3&1\end{pmatrix}}\,$

ist also

${}{\begin{aligned}P(M)&=3{\begin{pmatrix}2&4\\3&1\end{pmatrix}}^{2}-5{\begin{pmatrix}2&4\\3&1\end{pmatrix}}+2\\&={\begin{pmatrix}3&0\\0&3\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}16&12\\9&13\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}-5&0\\0&-5\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}2&4\\3&1\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}2&0\\0&2\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}40&16\\12&36\end{pmatrix}}.\end{aligned}}$

Zu einer fixierten Matrix ${}M\in \operatorname {Mat} _{n}(K)$ gibt es also eine Einsetzungsabbildung

$K[X]\longrightarrow \operatorname {Mat} _{n}(K),\,P\longmapsto P(M).$

Dies ist - ebenso wie die Einsetzungsabbildung zu ${}a\in K$ - ein Ringhomomorphismus, d.h. es gelten die Beziehungen (vergleiche Fakt *****)

$(P+Q)(M)=P(M)+Q(M),\,(P\cdot Q)(M)=P(M)\circ Q(M){\text{ und }}1(M)=E_{n}.$

Der Satz von Cayley-Hamilton beantwortet nun die Frage, was passiert, wenn man eine Matrix in ihr charakteristisches Polynom einsetzt.

Satz

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}M$ eine ${}n\times n$- Matrix über ${}K$. Es sei

${}\chi _{M}=X^{n}+c_{n-1}X^{n-1}+\cdots +c_{1}X+c_{0}\,$

das charakteristische Polynom zu ${}M$.

Dann gilt

${}\chi _{M}\,(M)=M^{n}+c_{n-1}M^{n-1}+\cdots +c_{1}M+c_{0}=0\,.$

Das heißt, dass die Matrix das charakteristische Polynom annulliert.

Beweis

Wir fassen die Matrix ${}XE_{n}-M$ als eine Matrix auf, deren Einträge im Körper ${}K(X)$ liegen. Die adjungierte Matrix

$(XE_{n}-M)^{\operatorname {adj} }$

liegt ebenfalls in ${}\operatorname {Mat} _{n}(K(X))$. Die einzelnen Einträge der adjungierten Matrix sind nach Definition Determinanten von ${}(n-1)\times (n-1)$-Untermatrizen von ${}XE_{n}-M$. In den Einträgen dieser Matrix kommt die Variable ${}X$ maximal in der ersten Potenz vor, sodass in den Einträgen der adjungierten Matrix die Variable maximal in der ${}(n-1)$-ten Potenz vorkommt. Wir schreiben

$(XE_{n}-M)^{\operatorname {adj} }=X^{n-1}A_{n-1}+X^{n-2}A_{n-2}+\cdots +XA_{1}+A_{0}\,$

mit Matrizen

${}A_{i}\in \operatorname {Mat} _{n}(K)\,,$

d.h. man schreibt die einzelnen Einträge als Polynom und fasst dann zu ${}X^{i}$ die Koeffizienten zu einer Matrix zusammen. Aufgrund von Satz 17.9 gilt

${}{\begin{aligned}\chi _{M}E_{n}&=(XE_{n}-M)\circ (XE_{n}-M)^{\operatorname {adj} }\\&=(XE_{n}-M)\circ (X^{n-1}A_{n-1}+X^{n-2}A_{n-2}+\cdots +XA_{1}+A_{0})\\&=X^{n}A_{n-1}+X^{n-1}(A_{n-2}-M\circ A_{n-1})+X^{n-2}(A_{n-3}-M\circ A_{n-2})+\cdots +X^{1}(A_{0}-M\circ A_{1})-M\circ A_{0}.\end{aligned}}$

Wir können auch die Matrix links nach den Potenzen von ${}X$ aufteilen, dann ist

$\chi _{M}E_{n}=X^{n}E_{n}+X^{n-1}c_{n-1}E_{n}+X^{n-2}c_{n-2}E_{n}+\cdots +X^{1}c_{1}E_{n}+c_{0}E_{n}\,.$

Da diese zwei Polynome übereinstimmen, müssen jeweils ihre Koeffizienten übereinstimmen. D.h. wir haben ein System von Gleichungen

${\begin{matrix}E_{n}&=&A_{n-1}\\c_{n-1}E_{n}&=&A_{n-2}-M\circ A_{n-1}\\c_{n-2}E_{n}&=&A_{n-3}-M\circ A_{n-2}\\\vdots &\vdots &\vdots \\c_{1}E_{n}&=&A_{0}-M\circ A_{1}\\c_{0}E_{n}&=&-M\circ A_{0}\,.\end{matrix}}$

Wir multiplizieren diese Gleichungen von links von oben nach unten mit ${}M^{n},M^{n-1},M^{n-2},\ldots ,M^{1},E_{n}$ und erhalten das Gleichungssystem

${\begin{matrix}M^{n}&=&M^{n}\circ A_{n-1}\\c_{n-1}M^{n-1}&=&M^{n-1}\circ A_{n-2}-M^{n}\circ A_{n-1}\\c_{n-2}M^{n-2}&=&M^{n-2}\circ A_{n-3}-M^{n-1}\circ A_{n-2}\\\vdots &\vdots &\vdots \\c_{1}M^{1}&=&MA_{0}-M^{2}\circ A_{1}\\c_{0}E_{n}&=&-M\circ A_{0}\,.\end{matrix}}$

Wenn wir die linke Spalte dieses Gleichungssystem aufsummieren, so erhalten wir gerade ${}\chi _{M}\,(M)$. Wenn wir die rechte Seite aufsummieren, so erhalten wir ${}0$, da jeder Teilsummand ${}M^{i+1}\circ A_{i}$ einmal positiv und einmal negativ vorkommt. Also ist ${}\chi _{M}\,(M)=0$.

$\Box$

Satz

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler Vektorraum über einem Körper ${}K$ und es sei

$f\colon V\longrightarrow V$

eine lineare Abbildung.

Dann gilt für das charakteristische Polynom die Beziehung

${}\chi _{f}(f)=0\,.$

Beweis

Dies folgt direkt aus Satz 24.1.

$\Box$

Minimalpolynom und charakteristisches Polynom

Korollar

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler Vektorraum über einem Körper ${}K$ und es sei

$f\colon V\longrightarrow V$

eine lineare Abbildung.

Dann ist das charakteristische Polynom ${}\chi _{f}$ ein Vielfaches des Minimalpolynoms ${}\mu _{f}$ zu ${}f$.

Beweis

Dies folgt direkt aus Satz 24.2 und Korollar 20.12.

$\Box$

Insbesondere ist der Grad des Minimalpolynoms zu ${}\varphi \colon V\rightarrow V$ durch die Dimension des Vektorraums ${}V$ beschränkt. Minimalpolynom und charakteristisches Polynom stimmen in verschiedener Hinsicht überein, beispielsweise besitzen sie die gleichen Nullstellen.

Lemma

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler Vektorraum über einem Körper ${}K$ und es sei

$f\colon V\longrightarrow V$

eine lineare Abbildung. Es sei ${}v\in V$ ein Eigenvektor von ${}f$ zum Eigenwert ${}\lambda$ und es sei ${}P\in K[X]$ ein Polynom.

Dann ist

${}(P(f))(v)=P(\lambda )v\,.$

Insbesondere ist ${}v$ ein Eigenvektor von ${}P(f)$ zum Eigenwert ${}P(\lambda )$. Der Vektor ${}v\neq 0$ gehört genau dann zum Kern von ${}P(f)$, wenn ${}\lambda$ eine Nullstelle von ${}P$ ist.

Beweis

Es ist

${}(f^{k})(v)=\lambda ^{k}v\,.$

Daher folgt alles daraus, dass die Zuordnung ${}P\mapsto P(f)$ mit der Addition und der Skalarmultiplikation verträglich ist.

$\Box$

Lemma

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler Vektorraum über einem Körper ${}K$ und es sei

$f\colon V\longrightarrow V$

eine lineare Abbildung.

Dann besitzen das charakteristische Polynom ${}\chi _{f}$ und das Minimalpolynom ${}\mu _{f}$ die gleichen Nullstellen.

Beweis

Dass die Nullstellen des Minimalpolynoms auch Nullstellen des charakteristischen Polynoms sind, folgt direkt aus Cayley-Hamilton.

Umgekehrt sei ${}\lambda \in K$ eine Nullstelle des charakteristischen Polynoms und sei ${}v\in V$ ein Eigenvektor von ${}f$ zum Eigenwert ${}\lambda$, den es nach Satz 23.2 gibt. Das Minimalpolynom schreiben wir als

${}\mu _{f}=(X-\lambda _{1})^{m_{1}}\cdots (X-\lambda _{k})^{m_{k}}Q\,,$

wobei ${}Q$ nullstellenfrei sei. Dann ist

${}{\begin{aligned}0&=\mu _{f}(f)\\&={\left((X-\lambda _{1})^{m_{1}}\cdots (X-\lambda _{k})^{m_{k}}Q\right)}(f)\\&=(f-\lambda _{1}\operatorname {Id} _{V})^{m_{1}}\cdots (f-\lambda _{k}\operatorname {Id} _{V})^{m_{k}}Q(f).\end{aligned}}$

Wir wenden dies auf ${}v$ an. Nach Lemma 24.4 bilden die Faktoren den Vektor ${}v$ auf ${}(\lambda -\lambda _{i})^{m_{i}}v$ bzw. auf ${}Q(\lambda )v$ ab. Insgesamt wird somit ${}v$ auf

$(\lambda -\lambda _{1})^{m_{1}}\cdots (\lambda -\lambda _{k})^{m_{k}}Q(\lambda )v$

abgebildet. Da die Gesamtabbildung die Nullabbildung und ${}Q(\lambda )\neq 0$ ist, muss ein ${}\lambda _{i}=\lambda$ sein.

$\Box$

Weitere Beispiele

Den folgenden Begriff werden wir im Moment ausschließlich für (invertierbare) Matrizen anwenden.

Definition

Es sei ${}G$ eine Gruppe und ${}g\in G$ ein Element. Dann nennt man die kleinste positive Zahl ${}n$ mit ${}g^{n}=e_{G}$ die Ordnung von ${}g$. Man schreibt hierfür ${}\operatorname {ord} \,(g)$. Wenn alle positiven Potenzen von ${}g$ vom neutralen Element verschieden sind, so setzt man ${}\operatorname {ord} \,(g)=\infty$.

Wir betrachten lineare Abbildungen

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

mit der Eigenschaft, dass eine Potenz davon die Identität ist, sagen wir

${}\varphi ^{k}=\operatorname {Id} _{V}\,,$

dass ${}\varphi$ also endliche Ordnung besitzt. Typische Beispiele sind Drehungen um einen Winkel der Form ${}{\frac {360}{k}}$ oder Permutationsmatrizen. Das Polynom ${}X^{k}-1$ annulliert dann diesen Endomorphismus und ist daher ein Vielfaches des Minimalpolynoms.

Definition

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}n\in \mathbb {N}$. Dann heißen die Nullstellen des Polynoms

$X^{n}-1$

in ${}K$ die ${}n$-ten Einheitswurzeln in ${}K$.

Lemma

Es sei ${}n\in \mathbb {N} _{+}$.

Die Nullstellen des Polynoms ${}X^{n}-1$ über ${}{\mathbb {C} }$ sind

$e^{2\pi {\mathrm {i} }k/n}=\cos {\frac {2\pi k}{n}}+{\mathrm {i} }\sin {\frac {2\pi k}{n}},k=0,1,\ldots ,n-1.$

In ${}{\mathbb {C} }[X]$ gilt die Faktorisierung

${}X^{n}-1=(X-1){\left(X-e^{2\pi {\mathrm {i} }/n}\right)}{\cdots }{\left(X-e^{2\pi {\mathrm {i} }(n-1)/n}\right)}\,.$

Beweis

Der Beweis verwendet einige Grundtatsachen über die komplexe Exponentialfunktion. Es ist

${}{\left(e^{2\pi {\mathrm {i} }k/n}\right)}^{n}=e^{2\pi {\mathrm {i} }k}={\left(e^{2\pi {\mathrm {i} }}\right)}^{k}=1^{k}=1\,.$

Die angegebenen komplexen Zahlen sind also wirklich Nullstellen des Polynoms ${}X^{n}-1$. Diese Nullstellen sind alle untereinander verschieden, da aus

${}e^{2\pi {\mathrm {i} }k/n}=e^{2\pi {\mathrm {i} }\ell /n}\,$

mit ${}0\leq k\leq \ell \leq n-1$ sofort, durch Betrachten des Quotienten, ${}e^{2\pi {\mathrm {i} }(\ell -k)/n}=1$ folgt, und daraus

${}\ell -k=0\,.$

Es gibt also ${}n$ explizit angegebene Nullstellen und daher müssen dies alle Nullstellen des Polynoms sein. Die explizite Beschreibung in Koordinaten folgt aus der eulerschen Formel.

$\Box$

Definition

Zu einer Permutation ${}\pi$ auf ${}{\{1,\ldots ,n\}}$ nennt man die ${}n\times n$- Matrix

${}M_{\pi }={\left(a_{ij}\right)}\,,$

für die

${}a_{\pi (j),j}=1\,$

ist und sonst alle Einträge ${}0$ sind, eine Permutationsmatrix.

Wir wollen das charakteristische Polynom zu einer Permutationsmatrix bestimmen. Dabei verwenden wir, dass eine Permutation ein Produkt von Zykeln ist. Zu einem Zykel der Form ${}1\mapsto 2\mapsto 3\mapsto \ldots \mapsto k\mapsto 1$ gehört die Permutationsmatrix

${\begin{pmatrix}0&0&\ldots &0&1\\1&0&0&\ldots &0\\0&1&0&\ldots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\ldots &0&1&0\end{pmatrix}}.$

Jeder Zykel kann (durch Umnummerierung) auf diese Gestalt gebracht werden.

Lemma

Das charakteristische Polynom einer Permutationsmatrix ${}M_{\rho }$ zu einem Zykel ${}\rho \in S_{n}$ der Ordnung ${}k$ ist

${}\chi _{M}=(X-1)^{n-k}(X^{k}-1)\,.$

Beweis

Wir können von einem Zykel der Form ${}1\mapsto 2\mapsto 3\mapsto \ldots \mapsto k\mapsto 1$ ausgehen. Die zugehörige Permutationsmatrix ${}M_{\rho }$ ist bezüglich ${}e_{k+1},\ldots ,e_{n}$ die Einheitsmatrix und hat bezüglich der ersten ${}k$ Standardvektoren die Gestalt

${\begin{pmatrix}0&0&\ldots &0&1\\1&0&0&\ldots &0\\0&1&0&\ldots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\ldots &0&1&0\end{pmatrix}}.$

Die Determinante zu ${}XE_{n}-M_{\rho }$ ist ${}(X-1)^{n-k}$ multipliziert mit der Determinante von

${\begin{pmatrix}X&0&\ldots &0&-1\\-1&X&0&\ldots &0\\0&-1&X&\ldots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\ldots &0&-1&X\end{pmatrix}}.$

Die Entwicklung nach der ersten Zeile liefert

${}X^{k}+(-1)^{k+1}(-1)(-1)^{k-1}=X^{k}-1\,.$

$\Box$

Lemma

Zu einer Permutationsmatrix ${}M_{\rho }$ über ${}{\mathbb {C} }$ zu einem Zykel ${}\rho \in S_{n}$ mit ${}\rho :i_{1}\mapsto i_{2}\mapsto \ldots \mapsto i_{k}\mapsto i_{1}$

und einer ${}k$-ten Einheitswurzel ${}\zeta$ sind die Vektoren

${}v_{\zeta }:=\zeta ^{k-1}e_{i_{1}}+\zeta ^{k-2}e_{i_{2}}+\cdots +\zeta e_{i_{k-1}}+e_{i_{k}}\,$

Eigenvektoren von ${}M_{\rho }$ zum Eigenwert ${}\zeta$.

Insbesondere ist eine Permutationsmatrix zu einem Zykel über ${}{\mathbb {C} }$ diagonalisierbar.

Beweis

Es ist

${}{\begin{aligned}M_{\rho }(v_{\zeta })&=M_{\rho }(\zeta ^{k-1}e_{i_{1}}+\zeta ^{k-2}e_{i_{2}}+\cdots +\zeta e_{i_{k-1}}+e_{i_{k}})\\&=\zeta ^{k-1}M_{\rho }(e_{i_{1}})+\zeta ^{k-2}M_{\rho }(e_{i_{2}})+\cdots +\zeta M_{\rho }(e_{i_{k-1}})+M_{\rho }(e_{i_{k}})\\&=\zeta ^{k-1}e_{i_{2}}+\zeta ^{k-2}e_{i_{3}}+\cdots +\zeta e_{i_{k}}+e_{i_{1}}\\&=e_{i_{1}}+\zeta ^{k-1}e_{i_{2}}+\zeta ^{k-2}e_{i_{3}}+\cdots +\zeta e_{i_{k}}\\&=\zeta (\zeta ^{k-1}e_{i_{1}}+\zeta ^{k-2}e_{i_{2}}+\cdots +\zeta e_{i_{k-1}}+e_{i_{k}})\\&=\zeta v_{\zeta }.\end{aligned}}$

Da es ${}k$ verschiedene ${}k$-te Einheitswurzeln in ${}{\mathbb {C} }$ gibt, sind diese Vektoren nach Lemma 22.3 linear unabhängig und erzeugen einen ${}k$- dimensionalen Untervektorraum ${}U$ von ${}K^{n}$, und zwar gilt

${}U=\langle e_{i_{j}},\,j=1,\ldots ,k\rangle \,.$

Da die Vektoren ${}e_{i}$, ${}i\neq {i_{j}}$, Fixvektoren sind, bilden die ${}v_{\zeta }$ zusammen mit den ${}e_{i}$, ${}i\neq {i_{j}}$, eine Basis aus Eigenvektoren von ${}M_{\rho }$ und daher ist ${}M_{\rho }$ diagonalisierbar.

$\Box$

Satz

Eine Permutationsmatrix

ist über ${}{\mathbb {C} }$ diagonalisierbar.

Beweis

Siehe Aufgabe 24.26.

$\Box$

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