Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Teil I/Arbeitsblatt 26/kontrolle

Die Pausenaufgabe

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme den größten gemeinsamen Teiler von ${}X^{2}-1$ und ${}X^{3}-1$ sowie eine Darstellung davon.

Übungsaufgaben

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme den größten gemeinsamen Teiler von ${}X-1$ und ${}X-2$ sowie eine Darstellung davon.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme den größten gemeinsamen Teiler von ${}X^{4}-X^{3}+7X^{2}-5X+11$ und ${}X^{3}-6X^{2}+4X+6$ sowie eine Darstellung davon.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme in ${}\mathbb {Q} [X]$ mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler der beiden Polynome ${}P=X^{3}+2X^{2}+5X+2$ und ${}Q=X^{2}+4X-3$.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Bestimme in ${}\mathbb {Q} [X]$ mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler der beiden Polynome ${}P=X^{9}-1$ und ${}Q=X^{3}-1$.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme in ${}\mathbb {R} [X]$ mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler der beiden Polynome ${}P=X^{3}+\pi X^{2}+7$ und ${}Q=X^{2}+{\sqrt {7}}X-{\sqrt {2}}$.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme in ${}{\mathbb {F} }_{5}[X]$ mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler der beiden Polynome ${}P=X^{4}+3X^{3}+X^{2}+4X+2$ und ${}Q=2X^{3}+4X^{2}+X+3$.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Es sei ${}n\geq 2$.

1. Führe in ${}\mathbb {Q} [X]$ die Division mit Rest „${}P$ durch ${}T$“ für die beiden Polynome ${}P=X^{n-1}+X^{n-2}+\cdots +X^{2}+X+1$ und ${}T=X-1$ durch.
2. Finde eine Darstellung der ${}1$ mit diesen beiden Polynomen.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}K[X]$ der Polynomring über ${}K$ und seien ${}F,G\in K[X]$ zwei Polynome. Es sei ${}K\subseteq L$ eine Körpererweiterung. Zeige, dass ${}F$ ein Teiler von ${}G$ in ${}K[X]$ genau dann ist, wenn ${}F$ ein Teiler von ${}G$ in ${}L[X]$ ist.

Die folgenden Aufgaben beziehen sich auf den euklidischen Algorithmus für ganze Zahlen, der völlig analog zum euklidischen Algorithmus für Polynome läuft. Zunächst begründe man, dass das Lemma von Bezout auch für ganze Zahlen gilt.

Aufgabe * Aufgabe 26.10 ändern

Beweise das Lemma von Bezout für ganze Zahlen ${}a_{1},\ldots ,a_{n}$.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Die Wasserspedition „Alles im Eimer“ verfügt über ${}77$-, ${}91$- und ${}143$-Liter Eimer, die allerdings keine Markierungen haben. Sie erhält den Auftrag, insgesamt genau einen Liter Wasser von der Nordsee in die Ostsee zu transportieren. Wie kann sie den Auftrag erfüllen?

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Bestimme in ${}\mathbb {Z}$ mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von ${}1071$ und ${}1029$.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme in ${}\mathbb {Z}$ mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von ${}2956$ und ${}2444$.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Man bestimme den größten gemeinsamen Teiler von ${}3146$ und ${}1515$ und man gebe eine Darstellung des ${}\operatorname {ggT}$ von ${}3146$ und ${}1515$ mittels dieser Zahlen an.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Kaninchen werden bekanntlich immer zur Monatsmitte geboren, die Tragzeit beträgt einen Monat und die Geschlechtsreife erreichen sie im Alter von zwei Monaten. Jeder Wurf besteht aus genau einem Paar, und alle leben ewig.

Wir starten im Monat ${}1$ mit einem Paar, das einen Monat alt ist. Es sei ${}f_{n}$ die Anzahl der Kaninchenpaare im ${}n$-ten Monat, also ${}f_{1}=1$, ${}f_{2}=1$. Beweise durch Induktion die Rekursionsformel

${}f_{n+2}=f_{n+1}+f_{n}\,.$

Diese Zahlfolge nennt man die Folge der Fibonacci-Zahlen. Wie viele der ${}f_{n}$ Paare sind im ${}n$-ten Monat reproduktionsfähig?

Die Fibonacci-Zahlen sind somit ${}1,1,2,3,5,8,13,21,34,\ldots$

Aufgabe Referenznummer erstellen

Wende auf zwei aufeinander folgende Fibonacci-Zahlen den euklidischen Algorithmus an. Welche Gesetzmäßigkeit tritt auf?

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme die Kerne der Potenzen ${}M^{i}$ zur Matrix

${}M={\begin{pmatrix}0&1&0&0&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&1&0\\0&0&0&0&1\\0&0&0&0&0\end{pmatrix}}\,.$

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme die Kerne der Potenzen ${}M^{i}$ zur Matrix

${}M={\begin{pmatrix}0&1&0&0&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&0&0\\0&0&0&0&1\\0&0&0&0&0\end{pmatrix}}\,.$

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei

${}M={\begin{pmatrix}3&1&7\\0&3&5\\0&0&3\end{pmatrix}}\,.$

Bestimme die Kerne zu den Potenzen

${\left(3E_{3}-M\right)}^{i}.$

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme die Haupträume zur Matrix

${\begin{pmatrix}1&1&0&0\\0&1&0&0\\0&0&2&3\\0&0&0&2\end{pmatrix}}.$

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}\pi$ ein Zykel der Länge ${}n$ und ${}M$ die zugehörige Permutationsmatrix, also

${}M={\begin{pmatrix}0&0&0&\ldots &1\\1&0&0&\ldots &0\\0&1&0&\ldots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&0&\ldots &1&0\end{pmatrix}}\,.$

1. Bestimme das charakteristische Polynom ${}\chi _{M}$ von ${}M$.
2. Zeige, dass ${}P=X-1$ ein Teiler von ${}\chi _{M}$ ist und berechne die Zerlegung

   ${}\chi _{M}=PQ\,.$

3. Bestimme ${}P(M)$ und ${}Q(M)$.
4. Bestimme ${}\operatorname {kern} P(M)$ und ${}\operatorname {kern} Q(M)$.

Aufgabe Aufgabe 26.22 ändern

Zeige, dass für eine diagonalisierbare Abbildung

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

und jedes ${}\lambda \in K$ die Gleichheit

${}\operatorname {Eig} _{\lambda }{\left(\varphi \right)}=\operatorname {Haupt} _{\lambda }(\varphi )\,$

gilt.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

eine trigonalisierbare Abbildung. Zeige, dass ${}\varphi$ genau dann diagonalisierbar ist, wenn für jedes ${}\lambda \in K$ die Gleichheit

${}\operatorname {Eig} _{\lambda }{\left(\varphi \right)}=\operatorname {Haupt} _{\lambda }(\varphi )\,$

gilt.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

ein trigonalisierbarer Endomorphismus und

${}V=H_{1}\oplus \cdots \oplus H_{m}\,$

die direkte Summenzerlegung in Haupträume im Sinne von Satz 26.14. Zeige, dass es eine ${}\varphi$- invariante Fahne ${}V_{i}$ derart gibt, dass in der Fahne die Untervektorräume

$H_{1},H_{1}\oplus H_{2},\ldots ,H_{1}\oplus \cdots \oplus H_{j}$

für ${}j=1,\ldots ,m$ auftreten.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme in ${}{\mathbb {C} }[X]$ mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler der beiden Polynome ${}X^{3}+(2-{\mathrm {i} })X^{2}+4$ und ${}(3-{\mathrm {i} })X^{2}+5X-3$.

Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme den größten gemeinsamen Teiler von ${}4199,2431$ und ${}3553$, sowie eine Darstellung desselben als eine Linearkombination der gegebenen Zahlen.

Aufgabe (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Wir betrachten eine digitale Uhr, die ${}24$ Stunden, ${}60$ Minuten und ${}60$ Sekunden anzeigt. Zur Karnevalszeit läuft sie aber nicht in Sekundenschritten, sondern addiert, ausgehend von der Nullstellung, in jedem Zählschritt immer ${}11$ Stunden, ${}11$ Minuten und ${}11$ Sekunden dazu. Wird bei dieser Zählweise jede mögliche digitale Anzeige erreicht? Nach wie vielen Schritten kehrt zum ersten Mal die Nullstellung zurück?

Aufgabe (3 Punkte)Aufgabe 26.28 ändern

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum und

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

eine lineare Abbildung. Es sei ${}P\in K[X]$ ein Polynom. Zeige, dass

$\operatorname {kern} {\left(P(\varphi )\right)}$

ein ${}\varphi$- invarianter Untervektorraum ist.

Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme die Haupträume zur Matrix

${\begin{pmatrix}4&0&0&5&0&0\\0&1&3&0&6&0\\0&0&1&0&0&0\\0&0&0&5&2&7\\0&0&0&0&5&1\\0&0&0&0&0&5\end{pmatrix}}.$