Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Teil I/Arbeitsblatt 8/kontrolle

Die Pausenaufgabe

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme die Dimension des Raumes aller ${}m\times n$- Matrizen.

Übungsaufgaben

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme die Dimension des Lösungsraumes des linearen Gleichungssystems

${}4x-3y+7z+5u-v=0\,,$

${}y+6z-10u+3v=0\,$

in den Variablen ${}x,y,z,u,v$.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}n\in \mathbb {N}$. Zeige, dass die Menge der Diagonalmatrizen ein Untervektorraum im Raum aller ${}n\times n$- Matrizen über ${}K$ ist und bestimme seine Dimension.

Eine ${}n\times n$- Matrix

${}M={\left(a_{ij}\right)}_{1\leq i,j\leq n}\,$

heißt symmetrisch, wenn ${}a_{ij}=a_{ji}$ für alle ${}i,j$ ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass die Menge der symmetrischen ${}n\times n$- Matrizen einen Untervektorraum im Raum aller ${}n\times n$-Matrizen bildet und bestimme dessen Dimension.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}n\in \mathbb {N}$. Zeige, dass die Menge der oberen Dreiecksmatrizen ein Untervektorraum im Raum aller ${}n\times n$- Matrizen über ${}K$ ist und bestimme seine Dimension.

Aufgabe * Aufgabe 8.6 ändern

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum mit endlicher Dimension

${}n=\dim _{K}{\left(V\right)}\,.$

Es seien ${}n$ Vektoren ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ in ${}V$ gegeben. Zeige, dass die folgenden Eigenschaften äquivalent sind.

1. ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ bilden eine Basis von ${}V$.
2. ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ bilden ein Erzeugendensystem von ${}V$.
3. ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ sind linear unabhängig.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum mit endlicher Dimension. Es sei ${}U\subseteq V$ ein Untervektorraum mit ${}\dim _{K}{\left(U\right)}=\dim _{K}{\left(V\right)}$. Zeige, dass dann ${}U=V$ ist.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Es seien ${}a,b,c\in \mathbb {R}$ reelle Zahlen. Wir betrachten die drei Vektoren

${}{\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}c\\a\\b\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}b\\c\\a\end{pmatrix}}\in \mathbb {R} ^{3}\,.$

Man gebe Beispiele für ${}a,b,c$ derart, dass der von diesen Vektoren erzeugte Untervektorraum die Dimension ${}0,1,2,3$ besitzt.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein Körper und es seien ${}V$ und ${}W$ endlichdimensionale ${}K$- Vektorräume mit ${}\dim _{K}{\left(V\right)}=n$ und ${}\dim _{K}{\left(W\right)}=m$. Welche Dimension besitzt der Produktraum ${}V\times W$?

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Es sei ${}W$ ein ${}n$-dimensionaler ${}K$- Vektorraum (${}K$ ein Körper) und seien ${}U,V\subseteq W$ Untervektorräume der Dimension ${}\dim _{K}{\left(U\right)}=r$ und ${}\dim _{K}{\left(V\right)}=s$. Es gelte ${}r+s>n$. Zeige, dass ${}U\cap V\neq 0$ ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}K[X]$ der Polynomring über ${}K$. Es sei ${}d\in \mathbb {N}$. Zeige, dass die Menge aller Polynome vom Grad ${}\leq d$ ein endlichdimensionaler Untervektorraum von ${}K[X]$ ist. Was ist seine Dimension?

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass die Menge aller reellen Polynome vom Grad ${}\leq 4$, für die ${}-2$ und ${}3$ Nullstellen sind, ein endlichdimensionaler Untervektorraum in ${}\mathbb {R} [X]$ ist. Bestimme die Dimension von diesem Vektorraum.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler Vektorraum über den komplexen Zahlen, und sei ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ eine Basis von ${}V$. Zeige, dass die Vektorenfamilie

$v_{1},\ldots ,v_{n}{\text{ und }}{\mathrm {i} }v_{1},\ldots ,{\mathrm {i} }v_{n}$

eine Basis von ${}V$, aufgefasst als reeller Vektorraum, ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei die Standardbasis ${}e_{1},e_{2},e_{3},e_{4}$ im ${}\mathbb {R} ^{4}$ gegeben und die drei Vektoren

${\begin{pmatrix}1\\3\\0\\-4\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}2\\1\\5\\7\end{pmatrix}}{\text{ und }}{\begin{pmatrix}-4\\9\\-5\\1\end{pmatrix}}.$

Zeige, dass diese Vektoren linear unabhängig sind und ergänze sie mit einem geeigneten Standardvektor gemäß Satz 8.2 zu einer Basis. Kann man jeden Standardvektor nehmen?

Aufgabe Referenznummer erstellen

Wir betrachten die linearen Gleichungen

${}9x-8y+7z-8u+4v=0\,,$

${}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,3y+7z-4u+6v=0\,,$

${}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,-2z+5u+7v=0\,$

über ${}\mathbb {R}$.

1. Bestimme eine Basis ${}{\mathfrak {b}}_{1}$ des Lösungsraumes des gesamten Gleichungssystems.
2. Ergänze die Basis ${}{\mathfrak {b}}_{1}$ zu einer Basis ${}{\mathfrak {b}}_{2}$ des Lösungsraumes des Gleichungssystems, das aus den ersten beiden Gleichungen besteht.
3. Ergänze die Basis ${}{\mathfrak {b}}_{2}$ zu einer Basis ${}{\mathfrak {b}}_{3}$ des Lösungsraumes des Gleichungssystems, das allein aus der ersten Gleichung besteht.
4. Ergänze die Basis ${}{\mathfrak {b}}_{3}$ zu einer Basis ${}{\mathfrak {b}}_{4}$ des Gesamtraumes ${}\mathbb {R} ^{5}$.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Wir betrachten die letzte Ziffer im kleinen Einmaleins (ohne die Zehnerreihe) als eine Familie von ${}9$ Tupeln der Länge ${}9$, also die Zeilenvektoren in der Matrix

${\begin{pmatrix}1&2&3&4&5&6&7&8&9\\2&4&6&8&0&2&4&6&8\\3&6&9&2&5&8&1&4&7\\4&8&2&6&0&4&8&2&6\\5&0&5&0&5&0&5&0&5\\6&2&8&4&0&6&2&8&4\\7&4&1&8&5&2&9&6&3\\8&6&4&2&0&8&6&4&2\\9&8&7&6&5&4&3&2&1\end{pmatrix}}.$

Welche Dimension besitzt der durch diese Tupel aufgespannte Untervektorraum des ${}\mathbb {R} ^{9}$?

Aufgabe Aufgabe 8.17 ändern

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum. Zeige, dass ${}V$ nicht zugleich eine endliche Basis und eine unendliche Basis besitzen kann.

Das magische Quadrat aus Dürers Stich Melencolia I.

Eine ${}n\times n$- Matrix ${}{\left(a_{ij}\right)}_{ij}$ über einem Körper ${}K$ heißt magisches Quadrat (oder linear-magisches Quadrat über ${}K$), wenn jede Spaltensumme und jede Zeilensumme in der Matrix gleich einer bestimmen Zahl ${}c\in K$ ist.

In diesem Sinne ist

${\begin{pmatrix}c&0&\cdots &0\\0&c&\ddots &\vdots \\\vdots &\ddots &\ddots &0\\0&\cdots &0&c\end{pmatrix}}$

für jedes ${}c\in K$ ein magisches Quadrat.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass die Menge aller linear-magischen Quadrate der Länge ${}n$ über ${}K$ einen Untervektorraum im Raum aller ${}n\times n$- Matrizen bildet.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum. Es sei ${}v_{1},\ldots ,v_{m}$ eine Familie von ${}m$ Vektoren in ${}V$ und sei

${}U=\langle v_{i},\,i=1,\ldots ,m\rangle \,$

der davon aufgespannte Untervektorraum. Zeige, dass die Familie genau dann linear unabhängig ist, wenn die Dimension von ${}U$ gleich ${}m$ ist.

Aufgabe (4 (3+1) Punkte)Referenznummer erstellen

a) Bestimme die Dimension des Lösungsraumes des linearen Gleichungssystems

${}2x+5y+7z+4u-3v+2w=0\,$

${}4x+9y+6z+5u-v+w=0\,$

${}7x+8y-3z+u+3v+3w=0\,$

${}-x+6y+16z+8u-7v=0\,$

in den Variablen ${}x,y,z,u,v,w$.

b) Was ist die Dimension des Lösungsraumes, wenn man dieses System in den Variablen ${}x,y,z,u,v,w,r,s$ auffasst?

Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Zeige, dass die Menge aller reellen Polynome vom Grad ${}\leq 6$, für die ${}-1$, ${}0$ und ${}1$ Nullstellen sind, ein endlichdimensionaler Untervektorraum in ${}\mathbb {R} [X]$ ist. Bestimme die Dimension von diesem Vektorraum.

Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}n\in \mathbb {N} _{+}$. Bestimme die Dimension des Raumes aller linear-magischen Quadrate der Länge ${}n$ über ${}K$.

Aufgabe (7 (3+2+1+1) Punkte)Referenznummer erstellen

Wir betrachten die linearen Gleichungen

${}8x-3y+5z+7u+6v=0\,,$

${}9x+2y+\,\,z\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,-v=0\,,$

${}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,7y-\,\,z+4u\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=0\,$

über ${}\mathbb {R}$.

1. Bestimme eine Basis ${}{\mathfrak {b}}_{1}$ des Lösungsraumes des gesamten Gleichungssystems.
2. Ergänze die Basis ${}{\mathfrak {b}}_{1}$ zu einer Basis ${}{\mathfrak {b}}_{2}$ des Lösungsraumes des Gleichungssystems, das aus den ersten beiden Gleichungen besteht.
3. Ergänze die Basis ${}{\mathfrak {b}}_{2}$ zu einer Basis ${}{\mathfrak {b}}_{3}$ des Lösungsraumes des Gleichungssystems, das allein aus der ersten Gleichung besteht.
4. Ergänze die Basis ${}{\mathfrak {b}}_{3}$ zu einer Basis ${}{\mathfrak {b}}_{4}$ des Gesamtraumes ${}\mathbb {R} ^{5}$.