Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Teil II/Anhang B

Wir stellen hier einige topologische Begriffe zusammen, die für die Äquivalenz von Normen und für die Konvergenz von (stochastischen) Matrizen relevant sind.

Definition

Ein topologischer Raum ${}X$ heißt hausdorffsch, wenn es zu je zwei verschiedenen Punkten ${}x,y\in X$ offene Mengen ${}U$ und ${}V$ mit ${}x\in U$, ${}y\in V$ und mit ${}U\cap V=\emptyset$ gibt.

Definition

Es sei ${}(M,d)$ ein metrischer Raum und sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge in ${}M$. Man sagt, dass die Folge gegen ${}x\in M$ konvergiert, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist.

Zu jedem ${}\epsilon \in \mathbb {R}$, ${}\epsilon >0$, gibt es ein ${}n_{0}\in \mathbb {N}$ derart, dass für alle ${}n\geq n_{0}$ die Beziehung

${}d{\left(x_{n},x\right)}\leq \epsilon \,$

gilt. In diesem Fall heißt ${}x$ der Grenzwert oder der Limes der Folge. Dafür schreibt man auch

${}\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}=x\,.$

Wenn die Folge einen Grenzwert besitzt, so sagt man auch, dass sie konvergiert (ohne Bezug auf einen Grenzwert), andernfalls, dass sie divergiert.

Die Konvergenz in einem metrischen Raum ist ein Spezialfall der Konvergenz in einem topologischen Raum, siehe Aufgabe *****.

Definition

Es sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge in einem topologischen Raum ${}X$. Man sagt, dass die Folge gegen ${}x\in X$ konvergiert, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist.

Zu jeder offenen Umgebung ${}U\subseteq X$ von ${}x$ gibt es ein ${}n_{0}\in \mathbb {N}$ derart, dass für alle ${}n\geq n_{0}$ die Folgenglieder ${}x_{n}$ zu ${}U$ gehören.

In diesem Fall heißt ${}x$ der Grenzwert oder der Limes der Folge. Dafür schreibt man auch

${}\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}=x\,.$

Wenn die Folge einen Grenzwert besitzt, so sagt man auch, dass sie konvergiert (ohne Bezug auf einen Grenzwert), andernfalls, dass sie divergiert.

Lemma

Der ${}\mathbb {R} ^{m}$ sei mit der euklidischen Metrik versehen und sei ${}{\left(z_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge in ${}\mathbb {R} ^{m}$ mit

${}z_{n}={\left(z_{1n},\ldots ,z_{mn}\right)}\,.$

Dann konvergiert die Folge im ${}\mathbb {R} ^{m}$ genau dann, wenn alle Komponentenfolgen ${}{\left(z_{in}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in ${}\mathbb {R}$ konvergieren.

Beweis

Es sei die Gesamtfolge konvergent gegen ${}w=(w_{1},\ldots ,w_{m})$. Wir behaupten, dass die ${}i$-te Komponentenfolge ${}{\left(z_{in}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gegen ${}w_{i}$ konvergiert. Sei (ohne Einschränkung) ${}i=1$ und ${}\epsilon >0$ vorgegeben. Wegen der Konvergenz der Gesamtfolge gibt es ein ${}n_{0}\in \mathbb {N}$ mit ${}d{\left(z_{n},w\right)}\leq \epsilon$ für alle ${}n\geq n_{0}$. Daher ist

${}{\begin{aligned}\vert {z_{1n}-w_{1}}\vert &={\sqrt {{\left(z_{1n}-w_{1}\right)}^{2}}}\\&\leq {\sqrt {{\left(z_{1n}-w_{1}\right)}^{2}+{\left(z_{2n}-w_{2}\right)}^{2}+\cdots +{\left(z_{mn}-w_{m}\right)}^{2}}}\\&=d{\left(z_{n},w\right)}\\&\leq \epsilon .\end{aligned}}$

Es seien nun alle Komponentenfolgen konvergent, wobei die ${}i$-te Folge den Grenzwert ${}w_{i}$ besitzen möge, und sei ein ${}\epsilon >0$ vorgegeben. Wir setzen ${}w=(w_{1},\ldots ,w_{m})$ und behaupten, dass die Folge gegen ${}w$ konvergiert. Zu ${}\epsilon /m$ gibt es für jede Komponentenfolge ein ${}n_{0i}$ derart, dass ${}\vert {z_{in}-w_{i}}\vert \leq \epsilon /m$ für alle ${}n\geq n_{0i}$ gilt. Dann gilt für alle

${}n\geq n_{0}:={\max {\left(n_{0i},i=1,\ldots ,m\right)}}\,$

die Beziehung

${}{\begin{aligned}d{\left(z_{n},w\right)}&={\sqrt {{\left(z_{1n}-w_{1}\right)}^{2}+\cdots +{\left(z_{mn}-w_{m}\right)}^{2}}}\\&\leq {\sqrt {{\left({\frac {\epsilon }{m}}\right)}^{2}+\cdots +{\left({\frac {\epsilon }{m}}\right)}^{2}}}\\&={\sqrt {\frac {\epsilon ^{2}}{m}}}\\&={\frac {\epsilon }{\sqrt {m}}}\\&\leq \epsilon .\end{aligned}}$

$\Box$

Definition

Es sei ${}(M,d)$ ein metrischer Raum und sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge in ${}M$. Ein Punkt ${}x\in M$ heißt Häufungspunkt der Folge, wenn es für jedes ${}\epsilon >0$ unendlich viele Folgenglieder ${}x_{n}$ mit ${}d{\left(x_{n},x\right)}\leq \epsilon$ gibt.

Satz

Es sei ${}(M,d)$ ein metrischer Raum und ${}T\subseteq M$ eine Teilmenge.

Dann ist ${}T$ genau dann abgeschlossen, wenn jede Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }\in T$, die in ${}M$ konvergiert, bereits in ${}T$ konvergiert.

Beweis

Es sei zunächst ${}T$ abgeschlossen und eine Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }\in T$ gegeben, die in ${}M$ gegen ${}x\in M$ konvergiert. Wir müssen zeigen, dass ${}x\in T$ ist. Angenommen, dies wäre nicht der Fall. Dann liegt ${}x$ im offenen Komplement von ${}T$ und daher gibt es ein ${}\epsilon >0$ derart, dass der gesamte ${}\epsilon$-Ball ${}U{\left(x,\epsilon \right)}$ im Komplement von ${}T$ liegt. Also ist

${}T\cap U{\left(x,\epsilon \right)}=\emptyset \,.$

Da die Folge aber gegen ${}x$ konvergiert, gibt es ein ${}n_{0}$ derart, dass alle Folgenglieder ${}x_{n}$, ${}n\geq n_{0}$, zu diesem Ball gehören. Da sie andererseits in ${}T$ liegen, ist dies ein Widerspruch.
  Es sei nun ${}T$ nicht abgeschlossen. Wir müssen eine Folge in ${}T$ konstruieren, die in ${}M$ konvergiert, deren Grenzwert aber nicht zu ${}T$ gehört. Da ${}T$ nicht abgeschlossen ist, ist das Komplement ${}U:=M\setminus T$ nicht offen. D.h. es gibt einen Punkt ${}x\in U$ derart, dass in jedem ${}\epsilon$-Ball von ${}x$ auch Punkte außerhalb von ${}U$, also in ${}T$ liegen. Insbesondere ist also für jede natürliche Zahl ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ der Durchschnitt

${}T\cap U{\left(x,{\frac {1}{n}}\right)}\neq \emptyset \,.$

Wir wählen aus dieser Schnittmenge ein Element ${}x_{n}$ und behaupten, dass die sich ergebende Folge die gewünschten Eigenschaften besitzt. Zunächst liegen nach Konstruktion alle Folgenglieder in ${}T$. Die Folge konvergiert gegen ${}x$, da man sich hierzu auf

${}\epsilon =1/n\,$

beschränken kann und alle Folgenglieder ${}x_{m}$, ${}m\geq n$, in ${}U{\left(x,{\frac {1}{m}}\right)}\subseteq U{\left(x,{\frac {1}{n}}\right)}$ liegen. Da der Grenzwert einer Folge im Falle der Existenz eindeutig bestimmt ist, und ${}x\notin T$ ist, konvergiert die Folge in ${}T$ nicht.

$\Box$

Satz

Es sei ${}T\subseteq \mathbb {R} ^{m}$ eine Teilmenge.

Dann ist ${}T$ genau dann kompakt, wenn jede Folge in ${}T$ eine in ${}T$ konvergente Teilfolge besitzt.

Beweis

Wenn ${}T$ nicht beschränkt ist, so gibt es zu jeder natürlichen Zahl ${}n\in \mathbb {N}$ ein ${}x_{n}\in T$ mit ${}d{\left(x_{n},0\right)}\geq n$. Diese Folge kann keine konvergente Teilfolge besitzen. Wenn ${}T$ nicht abgeschlossen ist, so gibt es nach Fakt ***** eine Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }\in T$, die gegen ein ${}x\in \mathbb {R} ^{m},\,x\not \in T$, konvergiert. Jede Teilfolge davon konvergiert ebenfalls gegen ${}x$, sodass es keine in ${}T$ konvergente Teilfolge geben kann.

Es sei nun ${}T$ abgeschlossen und beschränkt, und sei eine Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }\in T$ vorgegeben. Für diese Folge ist insbesondere jede Komponentenfolge ${}{\left(x_{in}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ beschränkt. Wir betrachten die erste Komponente ${}i=1$. Nach dem Satz von Bolzano-Weierstrass gibt es eine Teilfolge ${}{\left(x_{n_{j}}\right)}_{j\in \mathbb {N} }$ derart, dass die erste Komponente dieser Folge konvergiert. Aus dieser Teilfolge wählen wir nun eine weitere Teilfolge derart, dass auch die zweite Komponentenfolge konvergiert. Insgesamt erhält man durch dieses Verfahren eine Teilfolge, wo jede Komponentenfolge konvergiert. Nach Fakt ***** konvergiert dann die gesamte Teilfolge in ${}\mathbb {R} ^{m}$. Da ${}T$ abgeschlossen ist, liegt nach Fakt ***** der Grenzwert in ${}T$.

$\Box$

Lemma

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum mit einer abzählbaren Basis.

Dann ist ${}X$ genau dann kompakt, wenn jede Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in ${}X$ einen Häufungspunkt (in ${}X$) besitzt.

Beweis

Es sei ${}X$ kompakt und sei eine Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gegeben.  Nehmen wir an, dass diese Folge keinen Häufungspunkt besitzt. Das bedeutet, dass es zu jedem ${}y\in X$ eine offene Umgebung ${}y\in U_{y}$ gibt, in der es nur endlich viele Folgenglieder gibt. Wegen

${}X=\bigcup _{y\in X}U_{y}\,$

gibt es nach Voraussetzung eine endliche Teilüberdeckung

${}X=\bigcup _{i=1}^{n}U_{y_{i}}\,.$

 Diese enthält einerseits alle Folgenglieder und andererseits nur endlich viele Folgenglieder, ein Widerspruch.

Es sei die Folgeneigenschaft erfüllt und sei ${}X=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ eine Überdeckung mit offenen Mengen. Da ${}X$ eine abzählbare Basis besitzt, gibt es nach Aufgabe ***** eine abzählbare Teilmenge ${}J\subseteq I$ mit

${}X=\bigcup _{i\in J}U_{i}\,.$

Wir können ${}J=\mathbb {N}$ annehmen.  Nehmen wir an, dass die Überdeckung ${}X=\bigcup _{i\in \mathbb {N} }U_{i}$ keine endliche Teilüberdeckung besitzt. Dann ist insbesondere ${}\bigcup _{i=0}^{n}U_{i}\neq X$ für jedes ${}n\in \mathbb {N}$ und daher gibt es zu jedem ${}n\in \mathbb {N}$ ein ${}x_{n}\in X$ mit ${}x_{n}\not \in \bigcup _{i=0}^{n}U_{i}$. Nach Voraussetzung besitzt diese Folge einen Häufungspunkt ${}x$. Da eine Überdeckung ${}X=\bigcup _{i\in \mathbb {N} }U_{i}$ vorliegt, gibt es ein ${}k\in \mathbb {N}$ mit ${}x\in U_{k}$. Da ${}x$ ein Häufungspunkt ist, liegen unendlich viele Folgenglieder in ${}U_{k}$. Dies ist ein Widerspruch, da nach Konstruktion für ${}n\geq k$ die Folgenglieder ${}x_{n}$ nicht zu ${}U_{k}$ gehören.

$\Box$

Der folgende Satz heißt Satz von Heine-Borel.

Satz

Es sei ${}T\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine Teilmenge Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

1. ${}T$ ist überdeckungskompakt.
2. Jede Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in ${}T$ besitzt einen Häufungspunkt in ${}T$.
3. Jede Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in ${}T$ besitzt eine in ${}T$ konvergente Teilfolge.
4. ${}T$ ist abgeschlossen und beschränkt.

Beweis

Die Äquivalenz von (1) und (2) wurde allgemeiner in Fakt ***** bewiesen, für die Existenz einer abzählbaren Basis siehe Aufgabe *****.
Die Äquivalenz von (2) und (3) ist klar.
Die Äquivalenz von (3) und (4) wurde in Fakt ***** gezeigt.

$\Box$

Lemma

Es sei

$f\colon L\longrightarrow M,\,x\longmapsto f(x),$

eine Abbildung zwischen den metrischen Räumen ${}L$ und ${}M$ und sei ${}x\in L$ ein Punkt. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

1. ${}f$ ist stetig im Punkt ${}x$.
2. Für jedes ${}\epsilon >0$ gibt es ein ${}\delta >0$ mit der Eigenschaft, dass aus ${}d(x,x')\leq \delta$ folgt, dass

   ${}d(f(x),f(x'))\leq \epsilon \,$

   ist.

3. Für jede konvergente Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in ${}L$ mit ${}\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}=x$ ist auch die Bildfolge ${}{\left(f(x_{n})\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ konvergent mit dem Grenzwert ${}f(x)$.

Beweis

Die Äquivalenz von (1) und (2) ist klar.
Es sei nun (2) erfüllt und sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge in ${}L$, die gegen ${}x$ konvergiert. Wir müssen zeigen, dass ${}\lim _{n\rightarrow \infty }f(x_{n})=f(x)$ ist. Dazu sei ${}\epsilon >0$ gegeben. Wegen (2) gibt es ein ${}\delta$ mit der angegebenen Eigenschaft und wegen der Konvergenz von ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gegen ${}x$ gibt es eine natürliche Zahl ${}n_{0}$ derart, dass für alle ${}n\geq n_{0}$ die Abschätzung

${}d(x_{n},x)\leq \delta \,$

gilt. Nach der Wahl von ${}\delta$ ist dann

$d(f(x_{n}),f(x))\leq \epsilon {\text{ für alle }}n\geq n_{0},$

sodass die Bildfolge gegen ${}f(x)$ konvergiert.

Es sei (3) erfüllt und ${}\epsilon >0$ vorgegeben.  Wir nehmen an, dass es für alle ${}\delta >0$ Elemente ${}z\in L$ gibt, deren Abstand zu ${}x$ maximal gleich ${}\delta$ ist, deren Wert ${}f(z)$ unter der Abbildung aber zu ${}f(x)$ einen Abstand größer als ${}\epsilon$ besitzt. Dies gilt dann insbesondere für die Stammbrüche ${}\delta =1/n$, ${}n\in \mathbb {N}$. D.h. für jede natürliche Zahl ${}n$ gibt es ein ${}x_{n}\in L$ mit

$d(x_{n},x)\leq {\frac {1}{n}}{\text{ und mit }}d(f(x_{n}),f(x))>\epsilon .$

Diese so konstruierte Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ konvergiert gegen ${}x$, aber die Bildfolge konvergiert nicht gegen ${}f(x)$, da der Abstand der Bildfolgenwerte zu ${}f(x)$ zumindest ${}\epsilon$ ist. Dies ist ein Widerspruch zu (3).

$\Box$

Satz

Es sei

$f\colon L\longrightarrow M,\,x\longmapsto f(x),$

eine Abbildung zwischen den metrischen Räumen ${}L$ und ${}M$. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

1. ${}f$ ist stetig in jedem Punkt ${}x\in L$.
2. Für jeden Punkt ${}x\in L$ und jedes ${}\epsilon >0$ gibt es ein ${}\delta >0$ mit der Eigenschaft, dass aus ${}d(x,x')\leq \delta$ folgt, dass ${}d(f(x),f(x'))\leq \epsilon$ ist.
3. Für jeden Punkt ${}x\in L$ und jede konvergente Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in ${}L$ mit ${}\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}=x$ ist auch die Bildfolge ${}{\left(f(x_{n})\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ konvergent mit dem Grenzwert ${}f(x)$.
4. Für jede offene Menge ${}V\subseteq M$ ist auch das Urbild ${}f^{-1}(V)$ offen.

Beweis

Die Äquivalenz der ersten drei Formulierungen folgt direkt aus Fakt *****.
Es sei (1) erfüllt und eine offene Menge ${}V\subseteq M$ gegeben mit dem Urbild ${}U:=f^{-1}(V)$. Sei ${}x\in U$ ein Punkt mit dem Bildpunkt ${}y=f(x)\in V$. Da ${}V$ offen ist, gibt es nach Definition ein ${}\epsilon >0$ mit ${}U{\left(y,\epsilon \right)}\subseteq V$. Nach (2) gibt es ein ${}\delta >0$ mit ${}f(U(x,\delta ))\subseteq U{\left(y,\epsilon \right)}$. Daher ist

${}x\in U{\left(x,\delta \right)}\subseteq U\,$

und wir haben eine offene Ballumgebung von ${}x$ innerhalb des Urbilds gefunden. Deshalb ist ${}U$ offen.
Es sei (4) erfüllt und ${}x\in L$ mit ${}y=f(x)$ und ${}\epsilon >0$ vorgegeben. Da der offene Ball ${}U{\left(y,\epsilon \right)}$ offen ist, ist wegen (4) auch das Urbild ${}f^{-1}(U{\left(y,\epsilon \right)})$ offen. Da ${}x$ zu dieser Menge gehört, gibt es ein ${}\delta >0$ mit

${}U{\left(x,\delta \right)}\subseteq f^{-1}(U{\left(y,\epsilon \right)})\,,$

sodass (1) erfüllt ist.

$\Box$

Satz

Es seien ${}X$ und ${}Y$ topologische Räume und es sei

$\varphi \colon X\longrightarrow Y$

eine stetige Abbildung. Es sei ${}X$ kompakt.

Dann ist das Bild ${}\varphi (X)\subseteq Y$ ebenfalls kompakt ist.

Beweis

Siehe Aufgabe *****.

$\Box$