Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Teil II/Arbeitsblatt 51

Übungsaufgaben

Aufgabe

Betrachte den Beweis zu Lemma 51.1 mit der dortigen Notation. Begründe die folgenden Aussagen.

1. Eine eigentliche Isometrie mit zwei Fixachsen ist die Identität.
2. ${}G$ ist die Vereinigung aller ${}G_{H}$.
3. Es sei ${}g\neq \operatorname {Id} \,$. Das Element ${}g$ kommt in genau zwei der ${}G_{H}$ vor. In welchen?
4. Die Halbachsenklasse ${}K_{i}$ enthält ${}n/n_{i}$ Elemente.

Aufgabe

Überprüfe die Formel

$2{\left(1-{\frac {1}{n}}\right)}=\sum _{i=1}^{m}{\left(1-{\frac {1}{n_{i}}}\right)}$

für den Oktaeder, den Dodekaeder und den Ikosaeder.

Aufgabe

Es sei ${}G\subseteq \operatorname {SO} _{3}\,(\mathbb {R} )$ eine endliche Untergruppe der Gruppe der eigentlichen, linearen Isometrien des ${}\mathbb {R} ^{3}$, die nur eine Halbachsenklasse ${}K$ besitze. Welche numerische Beziehung würde zwischen ${}{\#\left(G\right)}$, ${}{\#\left(K\right)}$ und ${}{\#\left(G_{H}\right)}$ ($H\in K$) bestehen? Folgere, dass es eine solche Symmetriegruppe nicht geben kann.

Aufgabe

Zeige, dass die Gleichung

${}{\frac {2}{n}}={\frac {1}{a}}+{\frac {1}{b}}\,$

in ${}\mathbb {N}$ bei ${}a,b\leq n$ nur die Lösungen ${}n=a=b$ besitzt.

Aufgabe *

Zeige, dass die Gleichung

${}{\frac {2}{n}}={\frac {1}{a}}+{\frac {1}{b}}\,$

in ${}\mathbb {N}$ auch Lösungen ${}a\neq b$ besitzt.

Aufgabe

Finde eine nichttriviale ganzzahlige Lösung für das Gleichungssystem ${}ab=c$ und ${}(a-1)d=c-1$.

Aufgabe

Es sei ${}G\subseteq \operatorname {SO} _{3}\,(\mathbb {R} )$ eine endliche Untergruppe der Gruppe der eigentlichen, linearen Isometrien des ${}\mathbb {R} ^{3}$ mit einer fixierten Halbachsenklasse ${}K$. Bestimme den Kern des Gruppenhomomorphismus

$G\longrightarrow \operatorname {Perm} \,(K),\,g\longmapsto \sigma _{g}:H\mapsto g(H).$

Aufgabe

Es sei ${}G\subseteq \operatorname {SO} _{3}\,(\mathbb {R} )$ eine endliche Untergruppe der Gruppe der eigentlichen, linearen Isometrien des ${}\mathbb {R} ^{3}$ mit drei Halbachsenklassen und es sei ${}K$ eine davon. Zeige, dass der Gruppenhomomorphismus

$G\longrightarrow \operatorname {Perm} \,(K),\,g\longmapsto \sigma _{g}:H\mapsto g(H),$

injektiv ist. Zeige, dass dies nicht stimmt, wenn es nur zwei Halbachsenklassen gibt.

Aufgabe

Bestimme die Winkel zwischen den Halbachsen (der Symmetriegruppen) der platonischen Körper.

Aufgabe

Es seien zwei Halbachsen ${}H_{1}$ und ${}H_{2}$ im ${}\mathbb {R} ^{3}$ gegeben. Bestimme die Menge der Drehachsen und der Drehwinkel, die ${}H_{1}$ in ${}H_{2}$ überführen.

Aufgabe

Betrachte ein gleichseitiges Dreieck in der ${}x,y$-Ebene mit ${}(0,0)$ als Mittelpunkt und mit ${}(1,0)$ als einem der Eckpunkte. Betrachte darüber die doppelte Pyramide ${}D$ mit oberer Spitze ${}(0,0,2)$ und unterer Spitze ${}(0,0,-2)$. Bestimme die Matrizen der (eigentlichen) Bewegungen, die ${}D$ in sich überführen, ihre Drehachsen und erstelle eine Verknüpfungstabelle für diese Bewegungen.

Beschreibe ferner, was unter diesen Bewegungen mit den drei Eckpunkten des zugrundeliegenden Dreiecks geschieht.

Aufgabe *

Betrachte den Würfel

Es sei ${}\alpha$ diejenige Drehung am Würfel um die Achse durch die Eckpunkte ${}A$ und ${}G$, die den Eckpunkt ${}B$ auf ${}D$ schickt, und es sei ${}\beta$ die Halbdrehung um die vertikale Achse (also die Gerade, die durch den Mittelpunkt der Seitenfläche ${}A,B,C,D$ und den Mittelpunkt der Seitenfläche ${}E,F,G,H$ läuft).

a) Man gebe eine Wertetabelle für die Permutationen auf der Eckpunktmenge ${}\{A,B,C,D,E,F,G,H\}$, die durch ${}\alpha ,\beta ,\alpha \beta$ und ${}\beta \alpha$ bewirkt werden.

b) Bestimme die Drehachse von ${}\alpha \beta$ und von ${}\beta \alpha$ sowie die Ordnung dieser Drehungen.

c) Man gebe die Zykeldarstellung der von ${}\alpha ^{2}$ bewirkten Permutation auf der Eckpunktmenge an. Was ist ${}\alpha ^{1001}$?

d) Man betrachte die Permutation ${}\sigma$, die auf der Eckpunktmenge durch die Wertetabelle

${}x$	${}A$	${}B$	${}C$	${}D$	${}E$	${}F$	${}G$	${}H$
${}\sigma (x)$	${}B$	${}C$	${}D$	${}A$	${}G$	${}H$	${}E$	${}F$

gegeben ist. Gibt es eine Drehung des Würfels, die diese Permutation bewirkt? Berechne das Signum von ${}\sigma$.

Aufgabe

Es sei ${}G$ eine Gruppe, ${}M$ eine Menge und

$G\longrightarrow \operatorname {Perm} \,(M),\,g\longmapsto \sigma _{g},$

ein Gruppenhomomorphismus in die Permutationsgruppe von ${}M$. Zeige, dass dies in natürlicher Weise einen Gruppenhomomorphismus

$G\longrightarrow \operatorname {Perm({\mathfrak {P}}\,(M))} \,,\,g\longmapsto (N\mapsto g(N)),$

in die Permutationsgruppe der Potenzmenge induziert.

Aufgabe *

1. Zeige, dass die Gruppe ${}\mathbb {Z} /(2)\times \mathbb {Z} /(2)\times \mathbb {Z} /(2)$ nicht die eigentliche Symmetriegruppe einer Teilmenge ${}T\subseteq \mathbb {R} ^{3}$ ist.
2. Zeige, dass man die Gruppe ${}\mathbb {Z} /(2)\times \mathbb {Z} /(2)\times \mathbb {Z} /(2)$ als Untergruppe der vollen Isometriegruppe ${}\operatorname {O} _{3}\!{\left(\mathbb {R} \right)}$ realisieren kann.

3. 

   Betrachte die eigentliche Symmetriegruppe eines Quaders mit drei verschiedenen Seitenlängen. Bei ihm ist zu jeder Geraden durch gegenüberliegende Seitenmittelpunkte die Halbdrehung um diese Achse eine Symmetrie. Widerspricht dies nicht Teil (1)?

Aufgabe

Zeige, dass sich jede endliche Gruppe als Untergruppe der ${}\operatorname {SO} _{n}\,(\mathbb {R} )$ realisieren lässt.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Es seien ${}A_{1},A_{2},A_{3}$ und ${}A_{4}$ vier Geraden im ${}\mathbb {R} ^{3}$ durch den Nullpunkt mit der Eigenschaft, dass keine drei davon in einer Ebene liegen. Es sei

$f\colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3}$

eine lineare, eigentliche Isometrie mit ${}f(A_{i})=A_{i}$ für ${}i=1,2,3,4$. Zeige, dass ${}f$ die Identität ist. Man gebe ein Beispiel an, dass diese Aussage ohne die Ebenenbedingung nicht gilt.

Aufgabe (5 Punkte)

Es seien ${}\varphi _{1},\varphi _{2},\varphi _{3}$ Drehungen um die ${}x$-Achse, die ${}y$-Achse und die ${}z$-Achse mit den Ordungen ${}\ell _{1},\ell _{2},\ell _{3}$ (${}\varphi _{1}$ ist also eine Drehung um den Winkel ${}360/\ell _{1}$ Grad um die ${}x$-Achse, etc.). Es sei ${}1\leq \ell _{1}\leq \ell _{2}\leq \ell _{3}$. Für welche Tupel ${}(\ell _{1},\ell _{2},\ell _{3})$ ist die von diesen drei Drehungen erzeugte Gruppe endlich?

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}G$ eine Gruppe und seien ${}U,V$ Untergruppen von ${}G$. Zeige folgende Aussagen.

1. ${}UV=\{uv\,\vert \,u\in U,v\in V\}$ ist genau dann eine Gruppe, wenn ${}UV=VU$ gilt.
2. Ist ${}G$ endlich, so gilt ${}{\#\left(UV\right)}={\#\left(U\right)}\cdot {\#\left(V\right)}/{\#\left(U\cap V\right)}$.
3. Sind ${}U$ und ${}V$ echte Untergruppen von ${}G$, so gilt ${}U\cup V\neq G$.

Aufgabe (3 Punkte)

Zeige: Keine der alternierenden Gruppen ${}A_{n}$ besitzt eine Untergruppe vom Index zwei.

Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass die Gruppe ${}\mathbb {Z} /(2)\times \mathbb {Z} /(4)$ nicht die eigentliche Symmetriegruppe einer Teilmenge ${}T\subseteq \mathbb {R} ^{3}$ ist.