Kurs:Maß- und Integrationstheorie (Osnabrück 2022-2023)/Arbeitsblatt 16



Übungsaufgaben

Aufgabe *

Es sei eine reelle Zahl und ein Maßraum. Zeige, dass die Menge der - integrierbaren Funktionen ein - Vektorraum ist.


Aufgabe

Es sei ein Maßraum. Zeige, dass für eine messbare Funktion folgende Aussagen äquivalent sind.

  1. Es ist fast überall.
  2. Es gibt ein mit
  3. Für alle ist


Aufgabe *

Es sei eine offene Teilmenge und sei der zugehörige - Raum. Zeige, dass es für jede Funktionsklasse einen Repräsentanten gibt, der in keinem Punkt stetig ist.


Aufgabe

Zeige, dass für einen - endlichen Maßraum die Identität auf dem reellen Vektorraum aller beschränkten integrierbaren Funktionen im Allgemeinen nicht stetig ist, wenn man den Ausgangsraum mit der Supremumsnorm und den Zielraum mit der - Halbnorm versieht. Zeige ebenso, dass die Identität bei vertauschten Rollen der Normen ebenfalls nicht stetig sein muss.


Für die beiden folgenden Aufgaben vergleiche Beispiel 31.5 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) und Beispiel 31.6 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)).

Aufgabe

Zeige, dass auf die Funktion für kein - integrierbar ist.


Aufgabe

Zeige, dass auf die Funktion für nicht - integrierbar, aber für jedes - integrierbar ist.


Aufgabe *

Es sei ein endlicher Maßraum und sei . Zeige .


Aufgabe

Es sei ein Maßraum, ein fixierter Punkt und .

  1. Zeige, dass die Auswertung

    im Allgemeinen nicht stetig ist, wenn mit der - Halbnorm versehen ist.

  2. Zeige, dass die Auswertung an auf nicht wohldefiniert ist.


Aufgabe

Es sei ein Maßraum und . Es seien messbare Funktionen und seien und Folgen von messbaren Funktionen auf . Es sei fast überall und es sei fast überall. Zeige, dass fast überall gegen genau dann konvergiert, wenn fast überall gegen konvergiert.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei . Zeige, dass auf dem für durch

keine Norm definiert wird.


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ein - endlicher Maßraum und eine messbare Teilmenge. Zeige, dass es (zu ) eine natürliche Untervektorraumbeziehung

gibt, die die - Norm erhält.


Aufgabe (3 Punkte)

Sei . Man gebe ein Beispiel für einen - endlichen Maßraum und eine messbare Funktion , die - integrierbar ist für jedes und nicht -integrierbar ist für .


Aufgabe (4 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für eine reelle Folge, die gegen konvergiert und die für kein - summierbar ist.



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