Kurs:Maß- und Integrationstheorie (Osnabrück 2022-2023)/Arbeitsblatt 16

Übungsaufgaben

Aufgabe *

Es sei ${}p\geq 1$ eine reelle Zahl und ${}X$ ein Maßraum. Zeige, dass die Menge ${}{\mathcal {L}}^{p}(X)$ der ${}p$- integrierbaren Funktionen ein ${}{\mathbb {C} }$- Vektorraum ist.

Aufgabe

Es sei ${}X$ ein Maßraum. Zeige, dass für eine messbare Funktion ${}f\colon X\rightarrow {\mathbb {K} }$ folgende Aussagen äquivalent sind.

1. Es ist ${}f=0$ fast überall.
2. Es gibt ein ${}p\geq 1$ mit

   ${}\int _{X}\vert {f}\vert ^{p}d\mu =0\,.$

3. Für alle ${}p\geq 1$ ist

   ${}\int _{X}\vert {f}\vert ^{p}d\mu =0\,.$

Aufgabe *

Es sei ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine offene Teilmenge und sei ${}L^{2}(U,\lambda ^{n})$ der zugehörige ${}L^{2}$- Raum. Zeige, dass es für jede Funktionsklasse ${}f\in L^{2}(U,\lambda ^{n})$ einen Repräsentanten gibt, der in keinem Punkt stetig ist.

Aufgabe

Zeige, dass für einen ${}\sigma$- endlichen Maßraum die Identität auf dem reellen Vektorraum ${}V$ aller beschränkten integrierbaren Funktionen im Allgemeinen nicht stetig ist, wenn man den Ausgangsraum mit der Supremumsnorm und den Zielraum mit der ${}L^{1}$- Halbnorm versieht. Zeige ebenso, dass die Identität bei vertauschten Rollen der Normen ebenfalls nicht stetig sein muss.

Für die beiden folgenden Aufgaben vergleiche Beispiel 31.5 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) und Beispiel 31.6 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)).

Aufgabe

Zeige, dass auf ${}]0,1]$ die Funktion ${}x^{-1}$ für kein ${}p\geq 1$ ${}p$- integrierbar ist.

Aufgabe

Zeige, dass auf ${}\mathbb {R} _{\geq 1}$ die Funktion ${}x^{-1}$ für ${}p=1$ nicht ${}p$- integrierbar, aber für jedes ${}p>1$ ${}p$- integrierbar ist.

Aufgabe *

Es sei ${}X$ ein endlicher Maßraum und sei ${}1\leq p\leq q$. Zeige ${}{\mathcal {L}}^{q}(X)\subseteq {\mathcal {L}}^{p}(X)$.

Aufgabe

Es sei ${}X$ ein Maßraum, ${}x\in X$ ein fixierter Punkt und ${}p\geq 1$.

1. Zeige, dass die Auswertung

   ${\mathcal {L}}^{p}(X)\longrightarrow {\mathbb {K} },\,f\longmapsto f(x),$

   im Allgemeinen nicht stetig ist, wenn ${}{\mathcal {L}}^{p}(X)$ mit der ${}p$- Halbnorm versehen ist.

2. Zeige, dass die Auswertung an ${}x$ auf ${}L^{p}(X)$ nicht wohldefiniert ist.

Aufgabe

Es sei ${}(X,\mu )$ ein Maßraum und ${}p\geq 1$. Es seien ${}f,g$ messbare Funktionen und seien ${}f_{n}$ und ${}g_{n}$ Folgen von messbaren Funktionen auf ${}X$. Es sei ${}f=g$ fast überall und es sei ${}f_{n}=g_{n}$ fast überall. Zeige, dass ${}f_{n}$ fast überall gegen ${}f$ genau dann konvergiert, wenn ${}g_{n}$ fast überall gegen ${}g$ konvergiert.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}0<p<1$. Zeige, dass auf dem ${}\mathbb {R} ^{n}$ für ${}n\geq 2$ durch

${}\Vert {v}\Vert _{p}:={\left(v_{1}^{p}+\cdots +v_{n}^{p}\right)}^{1/p}\,$

keine Norm definiert wird.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}X$ ein ${}\sigma$- endlicher Maßraum und ${}Z\subseteq X$ eine messbare Teilmenge. Zeige, dass es (zu ${}p\geq 1$) eine natürliche Untervektorraumbeziehung

${}L^{p}(Z)\subseteq L^{p}(X)\,$

gibt, die die ${}p$- Norm erhält.

Aufgabe (3 Punkte)

Sei ${}\alpha \in \mathbb {R} _{\geq 1}$. Man gebe ein Beispiel für einen ${}\sigma$- endlichen Maßraum ${}M$ und eine messbare Funktion ${}f\colon M\rightarrow \mathbb {R}$, die ${}p$- integrierbar ist für jedes ${}1\leq p<\alpha$ und nicht ${}p$-integrierbar ist für ${}p>\alpha$.

Aufgabe (4 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für eine reelle Folge, die gegen ${}0$ konvergiert und die für kein ${}p\geq 1$ ${}p$- summierbar ist.