Kurs:Maß- und Integrationstheorie (Osnabrück 2022-2023)/Arbeitsblatt 15

Übungsaufgaben

Aufgabe

Es sei ${}M$ eine Menge, die mit einer Halbmetrik versehen sei. Zeige, dass ${}M$ ein topologischer Raum ist.

Aufgabe

Es sei ${}M$ eine Menge, die mit einer Halbmetrik ${}d$ versehen sei. Zeige, dass ${}d$ genau dann eine Metrik ist, wenn der topologische Raum ${}M$ ein Hausdorffraum ist.

Aufgabe

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum. Wir nennen Punkte ${}x,y\in X$ umgebungsäquivalent, wenn für jede offene Menge ${}U\subseteq X$ die Zugehörigkeit ${}x\in U$ genau dann gilt, wenn ${}y\in U$ gilt. Zeige, dass es sich dabei um eine Äquivalenzrelation handelt.

Aufgabe

Es seien ${}X$ und ${}Y$ Mengen, auf denen jeweils eine Halbmetrik definiert sei und es sei

$\varphi \colon X\longrightarrow Y$

eine Abbildung. Zeige, dass ${}\varphi$ genau dann stetig ist, wenn es zu jedem ${}x\in X$ und jedem ${}\epsilon >0$ ein ${}\delta >0$ derart existiert, dass aus ${}d(x,x')\leq \delta$ die Abschätzung ${}d(\varphi (x),\varphi (x'))\leq \epsilon$ folgt.

Aufgabe

Es seien ${}X$ und ${}Y$ Mengen, auf denen jeweils eine Halbmetrik definiert sei und es sei

$\varphi \colon X\longrightarrow Y$

eine stetige Abbildung. Zeige, dass ${}\varphi$ eine stetige Abbildung

${\tilde {\varphi }}\colon X/\sim \longrightarrow Y/\sim$

induziert, die mit den Quotientenabbildungen verträglich ist.

Aufgabe

Es sei ${}V$ der ${}\mathbb {R}$- Vektorraum aller konvergenten Folgen. Zeige, dass durch

${}\Vert {v}\Vert :=\vert {\lim _{n\rightarrow \infty }v_{n}}\vert \,$

eine Halbnorm auf ${}V$ gegeben ist. Bestimme ${}Z$ aus Lemma 15.11 und ${}V/Z$.

Aufgabe

Es sei ${}V$ ein ${}{\mathbb {K} }$- Vektorraum mit einer Halbnorm ${}\Vert {-}\Vert$, zugehöriger Halbmetrik ${}d$ und sei

${}Z={\left\{v\in V\mid \Vert {v}\Vert =0\right\}}\,.$

Zeige, dass der Restklassenraum ${}V/Z$ in kanonischer Weise mit der Quotientenmenge ${}V/\sim$ übereinstimmt, wobei ${}\sim$ die zu ${}d$ gehörige Äquivalenzrelation ist, und dass die induzierte Metrik auf ${}V/\sim$ von der induzierten Norm herrührt.

Aufgabe

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum und sei ${}C^{b}(X,{\mathbb {K} })$ der ${}{\mathbb {K} }$- Vektorraum der stetigen beschränkten ${}{\mathbb {K} }$-wertigen Funktionen auf ${}X$, versehen mit der Supremumsnorm. Es sei ${}x\in X$. Zeige, dass die Auswertung an ${}x$, also die Abbildung

$C^{b}(X,{\mathbb {K} })\longrightarrow {\mathbb {K} },\,f\longmapsto f(x),$

${}{\mathbb {K} }$- linear und stetig ist.

Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für einen ${}\sigma$- endlicher Maßraum ${}(M,{\mathcal {A}},\mu )$ derart, dass

$V\longrightarrow \mathbb {R} ,\,f\longmapsto \int _{M}fd\mu ,$

nicht stetig ist, wobei ${}V$ den ${}\mathbb {R}$- Vektorraum der beschränkten integrierbaren Funktionen auf ${}M$, versehen mit der Supremumsnorm, bezeichnet.

Eine topologische Gruppe ist eine Gruppe ${}G$, die zugleich ein topologischer Raum ist derart, dass die Verknüpfung

$G\times G\longrightarrow G,\,(g,h)\longmapsto g\circ h,$

und die Inversenbildung

$G\longrightarrow G,\,g\longmapsto g^{-1},$

stetige Abbildungen sind.

Aufgabe

Zeige, dass ein topologischer Vektorraum eine (additive) topologische Gruppe ist.

Aufgabe

Zeige, dass die Gruppen ${}(\mathbb {R} ,+)$, ${}(\mathbb {R} \setminus \{0\},\cdot )$, ${}({\mathbb {C} },+)$, ${}({\mathbb {C} }\setminus \{0\},\cdot )$, ${}(\mathbb {R} ^{n},+)$, ${}(S^{1},{\text{ mit der Winkeladdition}})$, die allgemeine lineare Gruppe ${}\operatorname {GL} _{n}\!{\left(\mathbb {R} \right)}$ bzw. ${}\operatorname {GL} _{n}\!{\left({\mathbb {C} }\right)}$ topologische Gruppen sind.

Es sei ${}V$ ein topologischer Vektorraum über ${}{\mathbb {K} }$. Dann heißt

${}V'=\{f\in {\text{Hom}}_{\mathbb {K} }(V,{\mathbb {K} })\,\colon \,f{\text{ stetig }}\}\,$

der topologische Dualraum zu ${}V$.

Aufgabe

Es sei ${}V$ ein normierter ${}{\mathbb {K} }$- Vektorraum und sei ${}V'$ der stetige Dualraum zu ${}V$. Zeige, dass ${}V'$ über

${}\Vert {f}\Vert :={\operatorname {sup} \,(\vert {f(x)}\vert ,\Vert {x}\Vert =1)}\,$

zu einem normierten Vektorraum wird.

Aufgabe *

Zeige, dass ein metrischer Raum genau dann eine abzählbare Basis der Topologie besitzt, wenn er eine abzählbare dichte Teilmenge besitzt.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}(M,{\mathcal {A}},\mu )$ ein endlicher Maßraum und sei ${}V$ der ${}\mathbb {R}$- Vektorraum der beschränkten integrierbaren Funktionen auf ${}M$, den wir mit der Supremumsnorm versehen. Zeige, dass

$V\longrightarrow \mathbb {R} ,\,f\longmapsto \int _{M}fd\mu ,$

stetig ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}V$ ein unendlichdimensionaler normierter ${}\mathbb {R}$- Vektorraum. Zeige, dass es eine lineare Abbildung

$V\longrightarrow \mathbb {R}$

gibt, die nicht stetig ist.