Lösung
- Eine Abbildung von nach ist dadurch gegeben, dass jedem Element der Menge genau ein Element der Menge zugeordnet wird.
- Die Konvergenz gegen bedeutet, dass es zu jedem reellen ein derart gibt, dass für alle die Abschätzung
-
gilt.
- Die Funktion heißt differenzierbar in , wenn der
Limes
-
existiert.
- Die Funktion heißt Riemann-integrierbar auf , wenn
Ober-
und
Unterintegral
von existieren und übereinstimmen.
- Eine
Abbildung
-
heißt lineare Abbildung, wenn die beiden folgenden Eigenschaften erfüllt sind.
- für alle .
- für alle
und .
- Die Matrix heißt invertierbar, wenn es eine Matrix mit
-
gibt.
Formuliere die folgenden Sätze.
- Der
Satz über die Interpolation durch Polynome.
- Der Zwischenwertsatz.
- Das Injektivitätskriterium für eine lineare Abbildung.
Lösung
- Es sei ein Körper und es seien verschiedene Elemente und Elemente gegeben. Dann gibt es ein Polynom vom Grad derart, dass für alle ist.
- Es seien reelle Zahlen und sei
eine stetige Funktion. Es sei eine reelle Zahl zwischen
und .
Dann gibt es ein mit .
- Es sei ein Körper,
und
seien -Vektorräume und
-
sei eine -lineare Abbildung. Dann ist injektiv genau dann, wenn ist.
Im Pokal spielt Bayern München gegen den TSV Wildberg. Der Trainer vom TSV Wildberg, Herr Tor Acker, sagt „Wir haben in dem Spiel nichts zu verlieren“. Die Logiklehrerin von Wildberg, Frau Loki Schummele, sagt „Wenn die Wildberger in dem Spiel nichts zu verlieren haben, dann haben auch die Münchner in dem Spiel nichts zu gewinnen“. Der Trainer von Bayern München, Herr Roland Rollrasen, sagt „Wir haben in dem Spiel etwas zu gewinnen“.
- Ist die Aussage von Frau Schummele logisch korrekt?
- Es sei vorausgesetzt, dass die Aussage des Bayerntrainers wahr ist. Welche Folgerung kann man dann für die Aussage von Herrn Acker ziehen?
Lösung
- Die Aussage ist logisch korrekt.
- Die Kontraposition der korrekten Aussage aus Teil (1) ist: Wenn die Münchner in dem Spiel etwas zu gewinnen haben, dann haben die Wildberger in dem Spiel etwas zu verlieren. Da der Vordersatz, der die Aussage des Bayerntrainers ist, vorausgesetzt werden soll, so folgt mit Modus ponens, dass die Wildberger in dem Spiel etwas zu verlieren haben. Dies steht im Widerspruch zur Aussage des Trainers von Wildberg, seine Aussage ist also falsch.
Lösung
Löse die lineare Gleichung
-
über und berechne den Betrag der Lösung.
Lösung
Es ist
Der Betrag ist
-
Berechne die Summe
-
Lösung
Mit der Formel für die geometrische Reihe ist
-
Ferner ist
-
Also ist insgesamt
-
Beweise das Quotientenkriterium für Reihen.
Lösung
Die Konvergenz ändert sich nicht, wenn man endlich viele Glieder ändert. Daher können wir
annehmen. Ferner können wir annehmen, dass alle
positive
reelle Zahlen
sind. Es ist
-
Somit folgt die Konvergenz aus dem
Majorantenkriterium und der
Konvergenz
der
geometrischen Reihe.
Lösung
Wegen
und
muss nach dem Zwischenwertsatz im Intervall eine Nullstelle von liegen.
Die Intervallmitte ist , dort hat den Wert
-
Dies ist negativ, also muss eine Nullstelle im Intervall liegen.
Die Intervallmitte von diesem Intervall ist , dort hat den Wert
-
Dies ist positiv, also muss eine Nullstelle im Intervall
liegen.
Die Intervallmitte von diesem Intervall ist , dort hat den Wert
-
Dies ist negativ, also muss eine Nullstelle im Intervall liegen. Die Länge dieses Intervalls ist .
Es seien die beiden Polynome
-
gegeben.
a) Berechne
(es soll also in eingesetzt werden).
b) Berechne die Ableitung von direkt und mit Hilfe der Kettenregel.
Lösung
a) Es ist
b) Die Ableitung von ist
-
Es ist und
-
Nach der Kettenregel ist daher
Lösung
Aufgrund des Strahlensatzes muss die Beziehung
-
gelten. Wegen
-
folgt daraus
-
Umstellen ergibt
-
und
-
und schließlich
-
Somit ist auch
-
und daher ist
-
Es seien
-
differenzierbare Funktionen.
Beweise durch Induktion über die Beziehung
-
Lösung
Zeige, dass die Funktion
streng wachsend ist.
Lösung
Bestimme das
Taylor-Polynom
vom Grad zur Funktion
im Nullpunkt.
Lösung
Berechne den Flächeninhalt der Fläche, die durch die beiden Graphen zu
und
eingeschlossen wird.
Lösung
Lösung
Es sei eine Basis von und eine Basis von . Wir betrachten die Familie der Vektoren
-
Wegen kann diese Familie nicht linear unabhängig sein, da es sonst einen -dimensionalen Untervektorraum von geben würde. Also gibt es Koeffizienten , die nicht alle sind, mit
-
Dieser Vektor gehört zu . Er ist nicht , da andernfalls beidseitig alle Koeffizienten sein müssten.
Löse das
inhomogene Gleichungssystem
-
Lösung
Wir eliminieren zuerst die Variable , indem wir die zweite Gleichung zweimal von der ersten Gleichung abziehen . Dies führt auf
-
Nun eliminieren wir die Variable , indem wir
(bezogen auf das vorhergehende System)
und ausrechnen. Dies führt auf
-
Es ergibt sich
-
und
-
Rückwärts gelesen ergibt sich
-
-
und
-
Bestimme die
inverse Matrix
zu
-
Lösung
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Was ist falsch an der folgenden Argumentation:
„Zu zwei quadratischen
-
Matrizen
gilt für die
charakteristischen Polynome
die Beziehung
-
Nach Definition ist nämlich
-
wobei die mittlere Gleichung auf dem Determinantenmultiplikationssatz beruht“.
Lösung
Es ist
-
daher ist der Determinantenmultiplikationssatz nicht anwendbar.
Lösung