Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/45/Klausur mit Lösungen
Aufgabe | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | |
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Punkte | 3 | 3 | 3 | 1 | 4 | 4 | 2 | 2 | 4 | 3 | 4 | 7 | 2 | 3 | 2 | 4 | 4 | 2 | 1 | 3 | 3 | 64 |
Aufgabe (3 Punkte)
Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
- Der Binomialkoeffizient .
- Eine reelle Intervallschachtelung.
- Eine
Treppenfunktion
auf einem beschränkten reellen Intervall .
- Die
Riemann-Integrierbarkeit
einer Funktion
auf einem kompakten Intervall .
- Der von einer Familie von Vektoren , aus einem - Vektorraum aufgespannte Untervektorraum.
- Die
algebraische Vielfachheit
von einem
Eigenwert
zu einer
linearen Abbildung
auf einem endlichdimensionalen - Vektorraum .
- Der Binomialkoeffizient ist durch
definiert.
- Eine Folge von abgeschlossenen
Intervallen
in heißt eine Intervallschachtelung, wenn für alle ist und wenn die Folge der Intervalllängen, also
gegen konvergiert.
- Eine
Funktion
heißt eine Treppenfunktion, wenn es eine Unterteilung
von gibt derart, dass auf jedem offenen Teilintervall konstant ist.
- Die Funktion heißt Riemann-integrierbar auf , wenn Ober- und Unterintegral von existieren und übereinstimmen.
- Man nennt
den von der Familie aufgespannten Untervektorraum.
- Den Exponenten des linearen Polynoms im charakteristischen Polynom nennt man die algebraische Vielfachheit von .
Aufgabe (3 Punkte)
Formuliere die folgenden Sätze.
- Der Satz über die geometrische Reihe.
- Die
Taylor-Formel
für eine -mal
differenzierbare
Funktion
- Das Injektivitätskriterium für eine lineare Abbildung.
- Für alle reellen Zahlen mit
konvergiert die Reihe absolut und es gilt
- Zu jedem Punkt gibt es ein mit
- Es sei ein Körper,
und
seien -Vektorräume und
Aufgabe (3 Punkte)
Man erläutere die Aussage, dass man in der Mathematik auch „Extremfälle“ berücksichtigen muss, an typischen Beispielen.
Lösung Mathematik/Extremfälle/Erläuterung/Aufgabe/Lösung
Aufgabe (1 Punkt)
Bestimme
Das ist , da sich beim Inversennehmen Zähler und Nenner vertauschen und fünfmal das Inverse genommen wird.
Aufgabe (4 Punkte)
Zeige
durch vollständige Induktion ().
Induktionsanfang. Für steht links
und rechts ebenfalls
Als Induktionsvoraussetzung nehmen wir an, dass die Gleichheit für ein bestimmtes gilt. Dann ist
Dies ist der rechte Ausdruck für und die Aussage ist bewiesen.
Aufgabe (4 (1+1+1+1) Punkte)
- Es sei die Menge aller
(lebenden oder verstorbenen)
Menschen. Untersuche die Abbildung
die jedem Menschen seine Mutter zuordnet, auf Injektivität und Surjektivität.
- Welche Bedeutung hat die Hintereinanderschaltung ?
- Wie sieht es aus, wenn man die gleiche Abbildungsvorschrift nimmt, sie aber auf die Menge aller Einzelkinder und auf die Menge aller Mütter einschränkt?
- Seien Sie spitzfindig (evolutionsbiologisch oder religiös) und argumentieren Sie, dass die Abbildung in (1) nicht wohldefiniert ist.
- Die Abbildung ist nicht injektiv, da Geschwister die gleiche Mutter haben, und nicht surjektiv, da nicht jeder Mensch ein Mutter ist.
- Die Abbildung ordnet jedem Menschen seine Urgroßmutter in der mütterlichen Stammlinie zu.
- Die Abbildung ist jetzt injektiv, da verschiedene Einzelkinder verschiedene Mütter haben. Sie ist nicht surjektiv, da es Mütter gibt, die mehr als ein Kind haben.
- Evolutionsbiologisch: Da sich die Menschheit evolutionär aus nichtmenschlichen Vorfahren entwickelt hat, muss es in der Folge , , einen Übergang von Mensch zu Nichtmensch geben, also ein derart, dass schon ein Mensch ist, aber noch nicht. Für ist dann die Abbildung nicht definiert. Relgiös: Adam und Eva haben keine Mutter, obwohl sie Menschen sind.
Aufgabe (2 Punkte)
Unterteile die Strecke von nach rechnerisch in drei gleichlange Strecken.
Die Länge der Strecke ist
Der dritte Teil davon ist
Die Unterteilungspunkte, die die Strecke in drei gleichlange Stücke unterteilen, sind daher
Aufgabe (2 Punkte)
Der Energiebedarf (durch Nahrung) eines Menschen beträgt pro Tag etwa (Kilojoule). Die durchschnittliche Sonneneinstrahlung in Osnabrück beträgt pro Tag etwa pro ( Kilowattstunden pro Quadratmeter). Wie viele Fläche benötigt man pro Person, um ihren Energiebedarf durch die Sonneneinstrahlung abzudecken?
Eine Kilowattstunde sind , die Sonneneinstrahlung pro Quadratmeter ist Kilojoule am Tag. Der Flächenbedarf ist also
Quadratmeter pro Person.
Aufgabe (4 Punkte)
Es sei ein Körper und seien verschiedene Zahlen und Zahlen gegeben. Zeige, dass es ein eindeutig bestimmtes normiertes Polynom vom Grad gibt, das für alle erfüllt.
Nach dem Interpolationssatz für Polynome gibt es ein Polynom vom Grad mit für alle . Wir betrachten das Polynom
Dieses ist ein normiertes Polynom vom Grad , das an den Stellen den Wert annimmt. Deshalb ist
ein normiertes Polynom vom Grad mit
womit die Existenz gezeigt ist. Zum Nachweis der Eindeutigkeit seien und normierte Polynome vom Grad mit . Dann besitzt einen Grad , das an den Stellen den Wert besitzt. Deshalb ist es nach Korollar 6.6 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024)) das Nullpolynom und somit ist .
Aufgabe (3 Punkte)
Für den Zähler gilt
für alle . Für gilt , somit gilt für für den Nenner
Damit gilt insgesamt für die Abschätzung
Aufgrund des des Majorantenkriteriums und [[Reelle Reihe/Kehrwerte der Quadrate/Konvergenz/Beispiel|Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024)/Reelle Reihe/Kehrwerte der Quadrate/Konvergenz/Beispiel/Beispielreferenznummer (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024))]] konvergiert die Reihe.
Aufgabe (4 Punkte)
Beweise die Funktionalgleichung der Exponentialfunktion.
Das Cauchy-Produkt der beiden Exponentialreihen ist
mit
Diese Reihe ist nach Lemma 12.4 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024)) absolut konvergent und der Grenzwert ist das Produkt der beiden Grenzwerte. Andererseits ist der -te Summand der Exponentialreihe von nach Satz 4.11 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024)) gleich
sodass die beiden Seiten übereinstimmen.
Aufgabe (7 Punkte)
Beweise das Folgenkriterium für die Stetigkeit einer Funktion in einem Punkt .
Es bezeichne (1) die Stetigkeit von im Punkt und (2) die Eigenschaft, dass für jede gegen konvergente Folge die Bildfolge gegen konvergiert. Wir müssen die Äquivalenz von (1) und (2) zeigen.
Es sei (1) erfüllt und sei eine Folge in , die gegen konvergiert. Wir müssen zeigen, dass
ist. Dazu sei vorgegeben. Wegen (1) gibt es ein mit der angegebenen Abschätzungseigenschaft und wegen der Konvergenz von gegen gibt es eine natürliche Zahl derart, dass für alle die Abschätzung
gilt. Nach der Wahl von ist dann
sodass die Bildfolge gegen konvergiert.
Es sei (2) erfüllt. Wir nehmen an, dass nicht stetig ist. Dann gibt es ein
derart, dass es für alle
Elemente
gibt, deren Abstand zu maximal gleich ist, deren Wert unter der Abbildung aber zu einen Abstand besitzt, der größer als ist. Dies gilt dann insbesondere für die Stammbrüche
, .
D.h. für jede natürliche Zahl
gibt es ein
mit
Diese so konstruierte Folge konvergiert gegen , aber die Bildfolge konvergiert nicht gegen , da der Abstand der Bildfolgenglieder zu zumindest ist. Dies ist ein Widerspruch zu (2).
Aufgabe (2 Punkte)
Gibt es eine reelle Zahl, die in ihrer dritten Potenz, vermindert um das Fünffache ihrer zweiten Potenz, gleich der siebten Wurzel von ist?
Es geht um eine reelle Lösung für die Gleichung
Es ist und und . Da als Polynomfunktion stetig ist, gibt es nach dem Zwischenwertsatz ein mit .
Aufgabe (3 Punkte)
Zeige, dass die Hintereinanderschaltung von zwei Exponentialfunktionen keine Exponentialfunktion sein muss.
Wir betrachten die Hintereinanderschaltung der Exponentialfunktion (zur Basis ) mit sich selbst, also
und behaupten, dass dies keine Exponentialfunktion ist, also nicht von der Form mit einer Basis ist. Falls doch, so wäre
für alle . Wegen der Injektivität der Exponentialfunktion bedeutet dies
Doch dies würde bedeuten, dass die Exponentialfunktion linear ist, was sicher nicht der Fall ist.
Aufgabe (2 Punkte)
Ordne die folgenden Funktionen den Bildern zu (man schreibe ohne Begründung hinter den Funktionsausdruck den Buchstaben des zugehörigen Bildes; nur für vollständig richtige Antworten gibt es Punkte).
-
a)
-
b)
-
c)
-
d)
-
e)
-
f)
Aufgabe (4 Punkte)
Bestimme für die Funktion
Wir schreiben
Zur Bestimmung der Extrema betrachten wir die Ableitung, diese ist
Die Bedingung führt durch Multiplikation mit und Division durch (die beide nicht sind) auf
Daher muss
sein, woraus sich
also ergibt. Die zweite Ableitung ist
und somit positiv, also liegt im Nullpunkt ein isoliertes lokales Minimum vor. Da die Ableitung keine weitere Nullstelle hat, ist dieses Minimum das einzige Minimum und daher ein globales Minimum und es gibt keine Maxima.
Aufgabe (4 Punkte)
Wir betrachten die Funktion
Bestimme den Flächeninhalt des durch die -Achse und den Graphen von eingeschränkten Gebietes.
Die Gleichung
ist äquivalent zu
somit sind die Nullstellen dieses Polynoms gleich
Im Intervall ist negativ, sonst überall positiv. Der gesuchte Flächeninhalt ist deshalb der Betrag des bestimmten Integrals
Der Flächeninhalt ist also gleich .
Aufgabe (2 Punkte)
Löse das lineare Gleichungssystem
Wir addieren zur ersten Gleichung das -fache der zweiten Gleichung und erhalten
bzw.
Daher ist
Aufgabe (1 Punkt)
Aufgrund der Additivität der linearen Abbildung ist
Addition mit dem negativen Element zu , also mit , ergibt
Aufgabe (3 Punkte)
Es sei ein Körper und ein - Vektorraum der Dimension . Es seien und Basen von . Zeige, dass die Übergangsmatrizen zueinander in der Beziehung
stehen.
Es sei
und
Dann ist
und
Somit ist
Der Koeffizient vor ist dabei das Produkt aus der -ten Zeile von und der -ten Spalte von , und dies ist der Eintrag .
Aufgabe (3 Punkte)
Das charakteristische Polynom der Matrix ist
Den vorderen Faktor schreiben wir als
Daran erkennt man, dass dieses Polynom keine reelle Nullstelle besitzt und somit nicht in Linearfaktoren zerfällt. Also ist die Matrix nicht trigonalisierbar und somit auch nicht diagonalisierbar.