Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)/Teil II/Vorlesung 34

Eine wichtige Zielsetzung dieses Kurses ist es, die Analysis und insbesondere die Konzepte Approximation, Konvergenz, Stetigkeit und Differenzierbarkeit auf höherdimensionale Situationen zu verallgemeinern. Dazu brauchen wir zunächst einen sinnvollen Abstandsbegriff.



Euklidische Vektorräume

Im Anschauungsraum kann man nicht nur Vektoren addieren und skalieren, sondern ein Vektor hat auch eine Länge, und die Lagebeziehung von zwei Vektoren zueinander wird durch den Winkel zwischen ihnen ausgedrückt. Länge und Winkel werden beide durch den Begriff des Skalarprodukts präzisiert. Dafür muss ein reeller Vektorraum[1] vorliegen.


Definition  

Es sei ein reeller Vektorraum. Ein Skalarprodukt auf ist eine Abbildung

mit folgenden Eigenschaften:

  1. Es ist

    für alle , und ebenso in der zweiten Komponente.

  2. Es ist

    für alle .

  3. Es ist für alle und genau dann, wenn ist.

Die dabei auftretenden Eigenschaften heißen Bilinearität (das ist nur eine andere Bezeichnung für multilinear, wenn der Definitionsbereich das Produkt von zwei Vektorräumen ist), Symmetrie und positive Definitheit.


Beispiel  

Auf dem ist die Abbildung

ein Skalarprodukt, das man das Standardskalarprodukt nennt. Einfache Rechnungen zeigen, dass dies in der Tat ein Skalarprodukt ist.


Beispielsweise ist im mit dem Standardskalarprodukt


Definition  

Ein reeller, endlichdimensionaler Vektorraum, der mit einem Skalarprodukt versehen ist, heißt euklidischer Vektorraum.

Zu einem euklidischen Vektorraum ist jeder Untervektorraum selbst wieder ein euklidischer Vektorraum, da man das Skalarprodukt auf einschränken kann und dabei die definierenden Eigenschaften erhalten bleiben.



Norm und Abstand

Mit einem Skalarprodukt kann man die Länge eines Vektors und damit auch den Abstand zwischen zwei Vektoren erklären.


Definition  

Es sei ein Vektorraum über mit einem Skalarprodukt . Dann nennt man zu einem Vektor die reelle Zahl

die Norm von .

Die Norm ist der Abstand (siehe weiter unten) zum Nullpunkt. Im mit dem Standardskalarprodukt ist beispielsweise

Dass dies der „richtige“ Abstand zum Nullpunkt ist, beruht auf dem elementargeometrischen Satz von Pythagoras.



Satz  

Es sei ein Vektorraum über mit einem Skalarprodukt und der zugehörigen Norm .

Dann gilt die Cauchy-Schwarzsche Abschätzung, nämlich

für alle .

Beweis  

Bei ist die Aussage richtig. Es sei also und damit auch . Damit hat man die Abschätzungen

Multiplikation mit und Wurzelziehen ergibt das Resultat.


Bemerkung  

Für von verschiedene Vektoren und in einem euklidischen Vektorraum folgt aus der der Ungleichung von Cauchy-Schwarz, dass

ist. Damit kann man mit Hilfe der trigonometrischen Funktion Kosinus (als bijektive Abbildung ) bzw. der Umkehrfunktion den Winkel zwischen den beiden Vektoren definieren, nämlich durch

Der Winkel ist also eine reelle Zahl zwischen und . Die obige Gleichung kann man auch als

schreiben, was die Möglichkeit eröffnet, das Skalarprodukt in dieser Weise zu definieren. Allerdings muss man dann für den Winkel eine unabhängige Definition finden. Dieser Zugang ist etwas intuitiver, hat aber rechnerisch und beweistechnisch viele Nachteile.




Lemma  

Es sei ein Vektorraum über mit einem Skalarprodukt . Dann gelten für die zugehörige Norm folgende Eigenschaften.

  1. Es ist .
  2. Es ist genau dann, wenn ist.
  3. Für und gilt
  4. Für gilt

Beweis  

Die ersten beiden Eigenschaften folgen direkt aus der Definition des Skalarprodukts.
Die Multiplikativität folgt aus


Zum Beweis der Dreiecksungleichung schreiben wir

Aufgrund von Satz 34.5 ist dies . Diese Abschätzung überträgt sich auf die Quadratwurzeln.


Die folgende Aussage heißt Polarisationsformel.


Lemma

Es sei ein Vektorraum über mit einem Skalarprodukt und der zugehörigen Norm .

Dann gilt die Beziehung

Beweis

Siehe Aufgabe 34.3.



Definition  

Es sei ein Vektorraum über mit einem Skalarprodukt . Zu zwei Vektoren nennt man

den Abstand zwischen und .



Lemma

Es sei ein Vektorraum über mit einem Skalarprodukt . Dann besitzt der zugehörige Abstand die folgenden Eigenschaften (dabei sind ).

  1. Es ist .
  2. Es ist genau dann, wenn .
  3. Es ist .
  4. Es ist

Beweis

Siehe Aufgabe 34.8.


Damit ist ein euklidischer Raum insbesondere ein metrischer Raum, womit wir uns in den nächsten Vorlesungen beschäftigen werden.



Orthogonalität

Mit dem Skalarprodukt kann man die Eigenschaft zweier Vektoren, aufeinander senkrecht zu stehen, ausdrücken.


Definition  

Es sei ein Vektorraum über mit einem Skalarprodukt . Man nennt zwei Vektoren orthogonal zueinander (oder senkrecht), wenn

ist.


Definition  

Es sei ein euklidischer Vektorraum und ein Untervektorraum. Dann heißt

das orthogonale Komplement von .


Beispiel  

Sei mit dem Standardskalarprodukt versehen. Zum eindimensionalen Untervektorraum zum Standardvektor besteht das orthogonale Komplement aus allen Vektoren , deren -ter Eintrag ist. Zum eindimensionalen Untervektorraum zu einem Vektor

kann man das orthogonale Komplement bestimmen, indem man den Lösungsraum der linearen Gleichung

bestimmt. Der Orthogonalraum

besitzt die Dimension , es handelt sich also um eine sogenannte Hyperebene. Man nennt dann einen Normalenvektor für die Hyperebene .

Zu einem Untervektorraum , der durch eine Basis (oder ein Erzeugendensystem) , , gegeben ist, bestimmt man das orthogonale Komplement als Lösungsraum des linearen Gleichungssystems

wobei die aus den gebildete Matrix ist.



Definition  

Es sei ein euklidischer Vektorraum. Eine Basis von heißt Orthonormalbasis, wenn

gilt.

Die Elemente in einer Orthonormalbasis haben alle die Norm und sie stehen senkrecht aufeinander. Im ist die Standardbasis eine Orthonormalbasis. Das folgende Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren erlaubt es, ausgehend von einer Basis eine Orthonormalbasis zu konstruieren.


Satz  

Es sei ein euklidischer Vektorraum und es sei eine Basis von .

Dann gibt es eine Orthonormalbasis von mit[2]

für alle .

Beweis  

Die Aussage wird durch Induktion über bewiesen, d.h. es wird sukzessive eine Familie von orthonormalen Vektoren konstruiert, die jeweils den gleichen Untervektorraum aufspannen. Für muss man lediglich normieren, also durch

ersetzen. Es sei die Aussage für schon bewiesen und sei eine Familie von orthonormalen Vektoren mit bereits konstruiert. Wir setzen

Dieser Vektor steht senkrecht auf allen und offenbar ist . Durch Normieren von erhält man .



Beispiel  

Es sei der Kern der linearen Abbildung

Als Unterraum des trägt ein Skalarprodukt. Wir möchten eine Orthonormalbasis von bestimmen. Dazu betrachten wir die Basis bestehend aus den Vektoren

Es ist und somit ist

der zugehörige normierte Vektor. Gemäß dem[3]Schmidtschen Orthonormalisierungsverfahren setzen wir

Es ist

und daher ist

der zweite Vektor der Orthonormalbasis.


Bemerkung  

Es sei ein euklidischer Vektorraum und ein Untervektorraum mit dem orthogonalem Komplement . Es sei ein affiner Unterraum und , , ein Vektor und die Gerade durch einen Punkt mit dem Richtungsvektor . Man denke bei an eine fixierte Gerade (eine Bande) in der Ebene oder eine Spiegelungsebene im Raum und bei an die Richtung einer Billardkugel oder eines Lichtstrahls, die Bewegung ist durch die Abbildung , , gegeben.

Wenn die Bewegung auf trifft, so wird die Bewegung nach dem Reflexionsgesetz reflektiert, dabei gilt die Beziehung Einfallswinkel ist gleich Ausfallswinkel. Wir bestimmen den Ausfallsvektor und die Gesamtbewegung. Wir können annehmen und dass die Bewegung zum Zeitpunkt diesen Punkt erreicht. Der Einfallsvektor besitzt nach Aufgabe 34.13 eine eindeutige Zerlegung

mit und . Der Vektor wird also zerlegt in die Spiegelungskomponente und in die Lotkomponente . Der Ausfallsvektor ist dann gleich , es gilt

Ein Vektor, der zu gehört, wird gar nicht reflektiert, ein Vektor, der senkrecht auf steht, wird in sein Negatives reflektiert. Die gesamte (ungebremste) Bewegung ist durch

gegeben.




Der Gradient

Definition  

Es sei ein Körper und sei ein - Vektorraum. Eine lineare Abbildung

heißt eine Linearform auf .



Lemma  

Es sei ein euklidischer Vektorraum und

eine Linearform.

Dann gibt es einen eindeutig bestimmten Vektor mit

Wenn eine Orthonormalbasis von und ist, so ist dieser Vektor gleich .

Beweis  

Die Aussage folgt aus dem Zusatz. Es sei also eine Orthonormalbasis gegeben und sei . Dann ist für jedes

D.h. die beiden linearen Abbildungen und stimmen auf einer Basis überein, sind also nach Satz 24.7 identisch. Für jeden anderen Vektor ist der Wert der zugehörigen Linearform an mindestens einem Basisvektor von verschieden, daher liegt Eindeutigkeit vor.


Dieser Vektor, mit dem man die Linearform mit Hilfe des Skalarproduktes beschreiben kann, heißt Gradient zur Linearform.

Fußnoten
  1. Auch für komplexe Vektorräume gibt es Skalarprodukte, was wir aber nicht behandeln werden.
  2. Hier bezeichnet den von den Vektoren erzeugten Untervektorraum, nicht das Skalarprodukt.
  3. Häufig ist es numerisch geschickter, zuerst nur zu orthogonalisieren und die Normierung erst zum Schluss durchzuführen, siehe Beispiel 34.16.


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