Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)/Teil II/Arbeitsblatt 34
- Übungsaufgaben
Zeige, dass das Standardskalarprodukt auf dem in der Tat ein Skalarprodukt ist.
Es sei ein reeller Vektorraum mit einem Skalarprodukt und sei ein Untervektorraum. Zeige, dass die Einschränkung des Skalarproduktes auf ebenfalls ein Skalarprodukt ist.
Welche elementargeometrischen Beweise für den Satz des Pythagoras kennen Sie?
Es sei ein Vektorraum über mit einem Skalarprodukt und der zugehörigen Norm . Zeige, dass die Beziehung
gilt.
Was bedeutet die Polarisationsformel für ein reelles Skalarprodukt für die Multiplikation von reellen Zahlen?
Es sei ein reeller Vektorraum mit einem Skalarprodukt . Bestätige
Es sei ein Vektorraum über mit einem Skalarprodukt und der zugehörigen Norm . Zeige, dass die sogenannte Parallelogrammgleichung
gilt.
Es sei ein Vektorraum über mit einem Skalarprodukt . Zeige, dass der zugehörige Abstand die folgenden Eigenschaften besitzt (dabei sind ).
- Es ist .
- Es ist genau dann, wenn .
- Es ist .
- Es ist
Es sei . Zeige, dass für die Norm auf dem kein Skalarprodukt mit der Eigenschaft existiert.
Bestimme, welche der folgenden Vektoren im zueinander orthogonal bezüglich des Standardskalarproduktes sind.
Es sei ein reeller Vektorraum mit einem Skalarprodukt und sei ein Untervektorraum. Zeige, dass das orthogonale Komplement ebenfalls ein Untervektorraum von ist.
Kommentar:
Ein Vektor liegt im orthogonalen Komplement von , falls für alle gilt, dass und orthogonal zueinander stehen, d.h. . Häufig wird das orthogonale Komplement mit bezeichnet.
Um zu zeigen, dass das orthogonale Komplement selbst ein Untervektorraum ist (es ist eben der Untervektorraum, der senkrecht zu steht), müssen wir uns vergewissern, dass Addition und Skalarmultiplikation die Orthogonalitätsbeziehung erhalten. Tatsächlich gilt für , und :
sowie
wodurch gezeigt ist, dass die Orthogonalität erhalten bleibt. Hier geht wesentlich ein, dass das Skalarprodukt im ersten Argument linear ist.
Die Menge der zu orthogonalen Vektoren spielt also eine besondere Rolle. Beispielsweise ist die Menge kein Untervektorraum (Welche Menge wird hierdurch beschrieben, falls etwa ein eindimensionaler Unterraum des ist?).
Bestimme das orthogonale Komplement zu dem von erzeugten Untervektorraum im .
Bestimme das orthogonale Komplement zu dem von und erzeugten Untervektorraum im .
Es sei ein reeller Vektorraum mit einem Skalarprodukt . Zeige die folgenden Aussagen.
- Zu
Untervektorräumen
ist
- Es ist und .
- Es sei
endlichdimensional.
Dann ist
- Es sei endlichdimensional. Dann ist
Wende das Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren auf die Basis
des an.
Der sei mit dem Standardskalarprodukt versehen. Es sei der Kern der linearen Abbildung
versehen mit dem eingeschränkten Skalarprodukt. Man bestimme eine Orthonormalbasis für .
Es seien Vektorräume über mit Skalarprodukten und
eine lineare Abbildung. Dann heißt eine Isometrie, wenn
für alle gilt.
Es sei ein euklidischer Vektorraum der Dimension . Zeige, dass eine Vektorfamilie genau dann eine Orthonormalbasis von ist, wenn die zugehörige lineare Abbildung
eine Isometrie zwischen und ist.
Man gebe ein Beispiel einer bijektiven linearen Abbildung
an, die keine Isometrie ist, für die aber für alle die Beziehung
gilt.
Kommentar:
Als Isometrie wird eine lineare Abbildung bezeichnet, die Skalarprodukte zwischen je zwei Vektoren invariant lässt. Da die Norm eines Vektors und der Winkel zwischen zwei Vektoren über das Skalarprodukt definiert werden, bedeutet das, dass Längen und Winkel durch Isometrien erhalten bleiben. Somit sind Isometrien Rotationen oder auch Spiegelungen.
Die Forderung dieser Aufgabe ist eine Abschwächung davon. Die gesuchte Abbildung erhält die Orthogonalität zwischen zwei Vektoren, die bezüglich des auf definierten Skalarprodukts orthogonal zueinander stehen. Falls rechte Winkel erhalten bleiben, so bleiben bereits alle Winkel unverändert.
Für kommen somit Abbildungen in Betracht, die die Länge von Vektoren ändern, wie zum Beispiel das Skalieren für geeignetes . Tatsächlich gilt dann für :
wobei wir die Bilinearität des Skalarprodukts ausnutzen. Damit keine Isometrie vorliegt, müssen wir wählen: für liegt eine Punktspiegelung vor, für die Identität. Außerdem müssen wir wählen, um eine Bijektion zu erhalten.
Jetzt können wir überprüfen, ob die gewünschte Eigenschaft besitzt. Falls ist, so gilt offenbar auch
und die Umkehrung folgt analog.
Es sei angemerkt, dass bei diesen Überlegungen überhaupt nicht eingegangen ist, mit welchem Sklalarprodukt wir es genau zu tun haben, sondern die Betrachtung gilt allgemein. Es muss nicht das Standardskalarprodukt sein, aber die genaue Bedeutung von Orthogonalität ist dann eine andere.
Es gibt noch viele weitere lineare Abbildungen, die die Forderungen der Aufgabe erfüllen. Welche sind das genau? (Übrigens: Es gibt auch winkelerhaltende Abbildungen, die nicht linear sind, zum Beispiel einige Kartenprojektionen, aber die sind hier nicht gemeint.)
Für die folgenden Aufgaben siehe Bemerkung 34.17. Die Spiegelung muss nicht notwendigerweise an einem Unterraum, sondern kann auch an einem stückweise linearen Objekt, wie beispielsweise einer rechteckförmigen Billardbande, passieren.
Bestimme die Bewegung im , die linear durch den Punkt mit dem Richtungsvektor verläuft und an der durch gegebenen Gerade reflektiert wird.
Bestimme die Bewegung im , die linear durch den Punkt mit dem Richtungsvektor verläuft und am Achsenkreuz reflektiert wird.
Es sei ein quadratischer Billardtisch ohne Löcher mit einer Seitenlänge von einem Meter gegeben, darauf bewegt sich eine punktförmige Kugel ohne Bremswirkung nach dem Reflexionsprinzip „Einfallswinkel ist gleich Ausfallswinkel“.
- Beschreibe durch eine Skizze (inklusive Winkel oder Punktkoordinaten) eine periodische Bewegung, bei der zwei Randpunkte getroffen werden.
- Beschreibe durch eine Skizze (inklusive Winkel oder Punktkoordinaten) eine periodische Bewegung, bei der vier Randpunkte getroffen werden.
- Beschreibe durch eine Skizze (inklusive Winkel oder Punktkoordinaten) eine periodische Bewegung, bei der acht Randpunkte getroffen werden.
- Zeige, dass es keine periodische Bewegung gibt, bei der drei Randpunkte getroffen werden.
Bestimme die Bewegung im , die linear durch den Punkt mit dem Richtungsvektor verläuft und an der durch
gegebenen Ebene reflektiert wird.
Betrachte die Linearform
- Bestimme den Vektor mit der Eigenschaft
wobei das Standardskalarprodukt bezeichnet.
- Es sei
und es sei die Einschränkung von auf . Bestimme den Vektor mit der Eigenschaft
wobei die Einschränkung des Standardskalarprodukts auf bezeichnet.
Es sei ein euklidischer Vektorraum und ein Untervektorraum, der mit dem induzierten Skalarprodukt versehen sei. Es sei
eine Linearform und der zugehörige Gradient im Sinne von Lemma 34.19. Zeige, dass der Gradient zur Einschränkung die orthogonale Projektion von auf ist.
Kommentar:
Der nach dem Lemma eindeutig bestimmte Vektor hat die Eigenschaft, dass für alle gilt und die Linearform damit vollständig festlegt wird. Für die Einschränkung auf gilt entsprechend
Nun ist eine Linearform zum Vektorraum , sodass nach dem Lemma ein Vektor existieren muss, für den für alle gilt. Für selbst gilt dies nicht, da dieser Vektor nicht in enthalten sein muss. Hier schreiben wir für das induzierte Skalarprodukt auf , um es vom Skalarprodukt auf zu unterscheiden. Es ist nur für Elemente aus definiert.
Da der Vektor eindeutig bestimmt ist, reicht es zu zeigen, dass die orthogonale Projektion von die gewünschte Eigenschaft besitzt. Im Weiteren nehmen wir also an, dass .
Nun können wir einen Vektor definieren mit der Eigenschaft . Anschauchlich bedeutet dies, dass wir in zwei Teile zerlegen: die Projektion auf und den orthogonal dazu stehenden Anteil. Es empfiehlt sich diese Situation zu skizzieren. Tatsächlich gilt nun
unter Ausnutzung der Linearität von und der Eigenschaft, dass . Somit ist und im Kern von . Per Definition der orthogonalen Projektion steht somit orthogonal zu jedem Vektor , also . Schließlich folgt
wobei die Bilinearität des Skalarprodukts eingeht.
Wir betrachten die Linearform
- Bestimme den Gradienten zu bezüglich des Standardskalarproduktes.
- Bestimme den Gradienten zu bezüglich des Skalarproduktes auf , das durch
gegeben ist.
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (2 Punkte)
Es sei ein reeller Vektorraum mit einem Skalarprodukt . Beweise den Satz des Pythagoras: Für zwei Vektoren , die senkrecht aufeinander stehen, gilt die Beziehung
Aufgabe (4 Punkte)
Bestimme das orthogonale Komplement zu dem von und erzeugten Untervektorraum im .
Aufgabe (3 Punkte)
Es sei ein euklidischer Vektorraum und sei eine Orthonormalbasis von . Zeige, dass für jeden Vektor die Beziehung
gilt.
Aufgabe (3 Punkte)
Wende das Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren auf die Basis
des , versehen mit dem Standardskalarprodukt, an.
Aufgabe (4 Punkte)
Der sei mit dem Standardskalarprodukt versehen. Es sei der Kern der linearen Abbildung
versehen mit dem eingeschränkten Skalarprodukt. Man bestimme eine Orthonormalbasis für .
Aufgabe (6 Punkte)
Es sei ein euklidischer Vektorraum und sei
eine lineare Abbildung. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.
- ist eine Isometrie.
- Für jeden Vektor mit ist auch .
- Für jede Orthonormalbasis , ist auch , eine Orthonormalbasis.
- Es gibt eine Orthonormalbasis , derart, dass auch , eine Orthonormalbasis ist.
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