Kurs:Riemannsche Flächen/2/Klausur/kontrolle

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	${}\sum$
Punkte	3	3	10	5	2	4	3	3	4	2	2	8	3	4	3	5	64

Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Aufgabe (10 Punkte)Referenznummer erstellen

Formulieren und beweisen Sie Ihren Lieblingssatz der Vorlesung.

Aufgabe (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Beschreibe Aspekte der linearen Algebra, die für die Theorie der riemannschen Flächen besonders relevant sind.

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Wir betrachten die holomorphe Kurve

$\gamma \colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} }^{2},\,t\longmapsto \left(\exp t,\,\sin t\right),$

im Punkt ${}t=0$. Bestimme eine affin-lineare Kurve

$\delta \colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} }^{2},$

die im Punkt ${}\gamma (0)$ tangential äquivalent zu ${}\gamma$ ist.

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Zeige, dass

${}V_{+}{\left(X^{4}+Y^{4}+X^{2}Y^{2}+XZ^{3}\right)}\subseteq {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{2}\,$

eine kompakte riemannsche Fläche definiert.

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}p\colon Y\rightarrow X$ eine Überlagerung von topologischen Räumen ${}X$ und ${}Y$ mit ${}X$ hausdorffsch. Zeige, dass dann auch ${}Y$ hausdorffsch ist.

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei

${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto z^{2},$

die Quadratabbildung. Bestimme eine stetige Liftung ${}{\tilde {\gamma }}$ zum linearen Weg

$\gamma \colon [-1,1]\longrightarrow {\mathbb {C} },\,t\longmapsto t,$

mit der Anfangsbedingung ${}{\tilde {\gamma }}(-1)={\mathrm {i} }$. Ist die Liftung eindeutig?

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme für das Polynom

${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto z^{3}+4z^{2}+3z+1,$

den Verzweigungsort, die Verzweigungsordnungen in den Verzweigungspunkten und das Verzweigungsbild.

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Zeige, dass auf ${}\mathbb {R}$ die folgenden Prägarben verschieden sind.

1. Die Prägarbe der konstanten Funktionen mit Werten in ${}\mathbb {R}$.
2. Die Garbe der lokal-konstanten Funktionen mit Werten in ${}\mathbb {R}$.
3. Die Garbe der stetigen Funktionen mit Werten in ${}\mathbb {R}$.

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme, ob das Polynom ${}T^{2}-\exp z\in \Gamma {\left({\mathbb {C} },{\mathcal {O}}_{\mathbb {C} }\right)}[T]$ irreduzibel ist. Skizziere das zugehörige reelle Nullstellengebilde.

Aufgabe * (8 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}X$ eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche, seien ${}P_{1},\ldots ,P_{k}\in X$ Punkte auf ${}X$ und sei ${}D=\sum _{i=1}^{k}P_{i}$ der Divisor, ${}k\geq 1$. Es sei

${}R_{D}=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }\Gamma {\left(X,{\mathcal {O}}_{X}(nD)\right)}=\Gamma {\left(X\setminus \{P_{1},\ldots ,P_{k}\},{\mathcal {O}}_{X}\right)}\cap \Gamma {\left(X,{\mathcal {M}}\right)}\,,$

vergleiche Aufgabe 20.19 (Riemannsche Flächen (Osnabrück 2022)). Zeige, dass ${}\Gamma {\left(X,{\mathcal {M}}\right)}$ der Quotientenkörper von ${}R$ ist.

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme für die projektive Gerade ${}{\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}$ eine meromorphe Funktion, die die Hauptteilverteilung realisiert, die in ${}0$ den Hauptteil ${}{\frac {1}{z}}$, in ${}2$ den Hauptteil ${}{\frac {4}{(z-2)^{3}}}$ und in ${}\infty$ den Hauptteil ${}{\frac {1}{w^{2}}}=z^{2}$ besitzt.

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Man gebe ein Beispiel für eine nichtkompakte zusammenhängende riemannsche Fläche ${}X$ zusammen mit einer meromorphen Funktion ${}f$ mit einem Hauptdivisor der Form ${}P-Q$ und einer holomorphen Differentialform ${}\omega$ derart, dass ${}\int _{\gamma }\omega$ nicht zur Periodengruppe von ${}\omega$ gehört, wobei ${}\gamma$ ein Verbindungsweg von ${}Q$ nach ${}P$ ist.

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}X$ eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche vom Geschlecht ${}1$. Zeige, dass ${}\Omega _{X}$ isomorph zur Strukturgarbe ${}{\mathcal {O}}_{X}$ ist.

Aufgabe * (5 (3+2) Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}F\in {\mathbb {C} }[z]$ ein Polynom vom Grad ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ und sei ${}\varphi \colon {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}\longrightarrow {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}$, ${}z\longmapsto F(z)$, die zugehörige holomorphe Abbildung von der projektiven Geraden in sich.

1. Bestimme den Verzweigungsdivisor ${}R$ von ${}\varphi$.
2. Beweise die Formel von Riemann-Hurwitz

   ${}\operatorname {Grad} \,(R)=2{\left(\operatorname {Grad} \,(\varphi )-1\right)}\,$

   in diesem Fall direkt.

Anhang

Aufgabe 20.19 (Riemannsche Flächen (Osnabrück 2022))