Kurs:Riemannsche Flächen (Osnabrück 2022)/Arbeitsblatt 17

Aufgaben

Aufgabe

Sei

$\gamma \colon [0,2\pi ]\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto (\cos t,\sin t),$

gegeben. Berechne das Wegintegral längs dieses Weges zu den folgenden Differentialformen

a) ${}xdx+ydy$,

b) ${}xdx-ydy$,

c) ${}ydx+xdy$,

d) ${}ydx-xdy$.

Aufgabe

Es seien ${}a,b,c,d,r,s\geq 1$ natürliche Zahlen. Wir betrachten die stetig differenzierbare Kurve

$[0,1]\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto (t^{r},t^{s}).$

Berechne das Wegintegral längs dieses Weges zur Differentialform ${}\omega =x^{a}y^{b}dx+x^{c}y^{d}dy$.

Aufgabe

Es seien ${}L$ und ${}M$ differenzierbare Mannigfaltigkeiten und

$\varphi \colon L\longrightarrow M$

eine differenzierbare Abbildung. Es sei ${}\omega \in {\mathcal {E}}^{1}(M)$ eine messbare Differentialform mit der zurückgezogenen Differentialform ${}\varphi ^{*}\omega \in {\mathcal {E}}^{1}(L)$ und es sei

$\gamma \colon I\longrightarrow L$

eine stetig differenzierbare Kurve (${}I$ ein reelles Intervall). Zeige, dass für die Wegintegrale die Gleichheit

${}\int _{\gamma }\varphi ^{*}\omega =\int _{\varphi \circ \gamma }\omega \,.$

Aufgabe *

Es sei ${}M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und ${}\omega =df$ eine exakte Differentialform auf ${}M$ mit Werten in ${}{\mathbb {K} }$. Es sei ${}\gamma \colon [a,b]\rightarrow M$ ein stetig differenzierbarer Weg in ${}M$. Zeige, dass für das Wegintegral die Beziehung

${}\int _{\gamma }\omega =f(\gamma (b))-f(\gamma (a))\,$

gilt.

Aufgabe *

Berechne ${}\int _{\gamma }{\frac {dz}{z}}$, wobei ${}\gamma$ der einfach gegen den Uhrzeigersinn durchlaufene Einheitskreis ist (siehe Beispiel 17.4), mit Stammformen zu ${}{\frac {dz}{z}}$ auf ${}U={\mathbb {C} }\setminus \mathbb {R} _{\leq 0}$ und auf ${}V={\mathbb {C} }\setminus \mathbb {R} _{\geq 0}$.

Aufgabe

Es sei ${}M$ eine zusammenhängende differenzierbare Mannigfaltigkeit und ${}\omega$ eine differenzierbare ${}1$- Form auf ${}M$. Zeige, dass ${}\omega$ genau dann exakt ist, wenn für jeden stetig differenzierbaren Weg

$\gamma \colon [a,b]\longrightarrow M$

das Wegintegral ${}\int _{\gamma }\omega$ nur von ${}\gamma (a)$ und ${}\gamma (b)$ abhängt.

Aufgabe

Der ${}\mathbb {R} ^{n}$ sei mit dem Standardskalarprodukt versehen. Es sei ${}F\colon U\rightarrow \mathbb {R} ^{n}$ ein stetiges Vektorfeld auf einer offenen Teilmenge ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$. Wir definieren zu dem Vektorfeld eine Differentialform ${}\omega$ auf ${}U$ durch

${}\omega (P,v):=\left\langle F(P),v\right\rangle \,.$

Zeige, dass zu einem stetig differenzierbarer Weg ${}\gamma \colon I\rightarrow U$ die Gleichheit

${}\int _{\gamma }\omega =\int _{\gamma }F\,$

gilt.

Aufgabe

Bestimme das Wegintegral zur holomorphen Differentialform ${}zdz$ bezüglich des Weges

$[0,1]\longrightarrow {\mathbb {C} },\,t\longmapsto {\left(3+{\mathrm {i} }\right)}t.$

Aufgabe *

Bestimme das Wegintegral zur holomorphen Differentialform ${}z^{2}dz$ auf ${}{\mathbb {C} }$ bezüglich des Weges

$\gamma \colon [-1,0]\longrightarrow {\mathbb {C} },\,t\longmapsto 2t^{2}-{\mathrm {i} }t.$

Aufgabe

Es sei ${}M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und ${}\omega$ eine geschlossene Differentialform auf ${}M$ mit Werten in ${}{\mathbb {K} }$. Zeige. dass die Zuordnung

$U\mapsto {\mathcal {S}}{\left(U\right)}:={\left\{f:U\rightarrow {\mathbb {K} }{\text{ differenzierbar }}\mid df=\omega {|}_{U}\right\}}$

eine Garbe auf ${}M$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}f\neq 0$ eine rationale Funktion ${}f\colon {\mathbb {C} }\rightarrow {\mathbb {C} }$. Zeige, dass ${}f$ in ${}a\in {\mathbb {C} }$ genau dann eine Nullstelle der Ordnung ${}k$ besitzt, wenn ${}f^{-1}$ in ${}a$ einen Pol der Ordnung ${}k$ besitzt.

Aufgabe

Bestimme eine rationale Funktion ${}{\mathbb {C} }\rightarrow {\mathbb {C} }$, die an der Stelle ${}2-{\mathrm {i} }$ einen Pol der Ordnung ${}4$, in ${}-3+5{\mathrm {i} }$ eine Nullstelle der Ordnung ${}2$ und in ${}-3$ einen Pol der Ordnung ${}3$ besitzt.