Kurs:Riemannsche Flächen (Osnabrück 2022)/Arbeitsblatt 17
- Aufgaben
Aufgabe
Sei
gegeben. Berechne das Wegintegral längs dieses Weges zu den folgenden Differentialformen
a) ,
b) ,
c) ,
d) .
Aufgabe
Es seien natürliche Zahlen. Wir betrachten die stetig differenzierbare Kurve
Berechne das Wegintegral längs dieses Weges zur Differentialform .
Aufgabe
Es seien und differenzierbare Mannigfaltigkeiten und
eine differenzierbare Abbildung. Es sei eine messbare Differentialform mit der zurückgezogenen Differentialform und es sei
eine stetig differenzierbare Kurve ( ein reelles Intervall). Zeige, dass für die Wegintegrale die Gleichheit
Aufgabe *
Es sei eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und eine exakte Differentialform auf mit Werten in . Es sei ein stetig differenzierbarer Weg in . Zeige, dass für das Wegintegral die Beziehung
gilt.
Aufgabe *
Berechne , wobei der einfach gegen den Uhrzeigersinn durchlaufene Einheitskreis ist (siehe Beispiel *****), mit Stammformen zu auf und auf .
Aufgabe
Es sei eine zusammenhängende differenzierbare Mannigfaltigkeit und eine differenzierbare - Form auf . Zeige, dass genau dann exakt ist, wenn für jeden stetig differenzierbaren Weg
das Wegintegral nur von und abhängt.
Aufgabe
Der sei mit dem Standardskalarprodukt versehen. Es sei ein stetiges Vektorfeld auf einer offenen Teilmenge . Wir definieren zu dem Vektorfeld eine Differentialform auf durch
Zeige, dass zu einem stetig differenzierbarer Weg die Gleichheit
gilt.
Aufgabe
Bestimme das Wegintegral zur holomorphen Differentialform bezüglich des Weges
Aufgabe *
Bestimme das Wegintegral zur holomorphen Differentialform auf bezüglich des Weges
Aufgabe
Es sei eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und eine geschlossene Differentialform auf mit Werten in . Zeige. dass die Zuordnung
eine Garbe auf ist.
Aufgabe
Es sei eine rationale Funktion . Zeige, dass in genau dann eine Nullstelle der Ordnung besitzt, wenn in einen Pol der Ordnung besitzt.
Aufgabe
Bestimme eine rationale Funktion , die an der Stelle einen Pol der Ordnung , in eine Nullstelle der Ordnung und in einen Pol der Ordnung besitzt.
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