Linear reduktive Gruppe/Direkter Summand/Endlich erzeugt/Textabschnitt
Wir wollen zeigen, dass der Invariantenring zu einer algebraischen Operation einer linear reduktiven Gruppe auf einer -Algebra von endlichem Typ ein direkter Summand ist, wobei wir Fakt auf geeignete endlichdimensionale -Untervektorräume anwenden wollen. Dazu müssen wir zunächst sicherstellen, dass jedes in einem endlichdimensionalen -Untervektorraum liegt. Es sei ein affines Gruppenschema zu einer endlich erzeugten -Hopf-Algebra . Die Operation von auf , dem Spektrum einer endlich erzeugten -Algebra, ist äquivalent zu einem Ringhomomorphismus (der Kooperation)
(mit bestimmten Eigenschaften). Für ein kann man dabei
mit und schreiben. Die Operation des -Spektrums von auf ist folgendermaßen gegeben: Ein Gruppenelement , also ein -Algebrahomomorphismus
schickt eine Funktion auf
Es wird also die Hintereinanderschaltung
betrachtet.
Es sei ein Körper, ein affines Gruppenschema über und
eine -algebraische Operation von auf einem affinen Schema , wobei eine kommutative -Algebra sei.
Dann liegt jedes in einem endlichdimensionalen -invarianten -Untervektorraum von .
Wir betrachten die zur Operation gehörige algebraische Situation, also den -Algebrahomomorphismus
wobei die Hopf-Algebra zu sei. Es sei
mit und . Für jedes ist
d.h. diese liegen alle in dem von erzeugten -Untervektorraum von . Der von all diesen , , erzeugte Untervektorraum ist also -invariant und endlichdimensional.
Es sei ein algebraisch abgeschlossener Körper, eine linear reduktive Gruppe über , die auf einer endlich erzeugten -Algebra algebraisch operiere.
Dann ist ein direkter Summand.
Es sei ein
endlichdimensionaler
-Untervektorraum.
Nach Fakt (2)
ist mit einem
-Komplement,
das überdies eindeutig bestimmt ist und für welches
gilt.
Es ist sinnvoll, zuerst die Eindeutigkeit einer Reynolds-Abbildung nachzuweisen. Es sei
eine Reynolds-Abbildung. Nach Fakt gibt es zu jedem einen endlichdimensionalen -Untervektorraum mit . Wegen der -Invarianz von ist und die Einschränkung ist die Identität auf . Ferner ist . Bei , , könnte man nämlich mit Hilfe einer -linearen Abbildung
mit eine Linearform auf , nämlich , angeben, die zu gehört. Dadurch ist auf eindeutig bestimmt und somit kann es maximal eine Reynolds-Abbildung geben.
Zur Existenz. Wir wählen zu
gemäß Fakt
einen endlichdimensionalen
-Untervektorraum
und setzen
wobei
die Projektion von auf längs des -Komplementes von in bezeichnet. Dabei ist unabhängig von der Wahl von . Zu einem anderen ist nämlich . Um dies zu zeigen kann man annehmen. Aus ergibt sich durch Schneiden mit sofort eine Zerlegung von , die wegen der Eindeutigkeit mit übereinstimmen muss. Somit haben wir eine wohldefinierte -lineare Abbildung
Zu ist natürlich (für einen gewählten Unterraum) und somit ist die Einschränkung von auf die Identität. Für ein Gruppenelement und kann man mit dem gleichen Untervektorraum berechnen. Es sei die Zerlegung von in der direkten Zerlegung
Die Zerlegung von hat dann die Form , da ja die Zerlegung die Gruppenoperation respektiert und die Gruppe in der ersten Komponente identisch operiert. Somit ist
und ist in der Tat eine Reynolds-Abbildung.
Es sei ein algebraisch abgeschlossener Körper, eine linear reduktive Gruppe über , die auf einem endlichdimensionalen -Vektorraum -rational operiere.
Dann ist der Invariantenring eine endlich erzeugte -Algebra.
Es sei ein algebraisch abgeschlossener Körper, eine linear reduktive Gruppe über , die auf einer endlich erzeugten -Algebra -algebraisch operiere.
Dann ist der Invariantenring eine endlich erzeugte -Algebra.
Es sei ein -Algebraerzeugendensystem von . Nach Fakt gibt es einen endlichdimensionalen -Untervektorraum , der -invariant ist. Es sei der zum Vektorraum gehörende Polynomring, auf dem linear operiert. Es ist
ein surjektiver -Algebrahomomorphismus, der mit den Operationen von verträglich ist. Zu einem invarianten Element gibt es ein , das auf abbildet. Wiederum nach Fakt gibt es einen endlichdimensionalen -invarianten Untervektorraum mit . Dann ist ebenfalls -invariant und nach Aufgabe, angewandt auf
gibt es auch ein -invariantes , das auf abbildet. Es ist also
ebenfalls surjektiv. Nach Fakt ist und somit endlich erzeugt.