Linear reduktive Gruppe/Direkter Summand/Endlich erzeugt/Textabschnitt

Wir wollen zeigen, dass der Invariantenring zu einer algebraischen Operation einer linear reduktiven Gruppe auf einer -Algebra von endlichem Typ ein direkter Summand ist, wobei wir Fakt auf geeignete endlichdimensionale -Untervektorräume anwenden wollen. Dazu müssen wir zunächst sicherstellen, dass jedes in einem endlichdimensionalen -Untervektorraum liegt. Es sei ein affines Gruppenschema zu einer endlich erzeugten -Hopf-Algebra . Die Operation von auf , dem Spektrum einer endlich erzeugten -Algebra, ist äquivalent zu einem Ringhomomorphismus (der Kooperation)

(mit bestimmten Eigenschaften). Für ein kann man dabei

mit und schreiben. Die Operation des -Spektrums von auf ist folgendermaßen gegeben: Ein Gruppenelement , also ein -Algebrahomomorphismus

schickt eine Funktion auf

Es wird also die Hintereinanderschaltung

betrachtet.



Es sei ein Körper, ein affines Gruppenschema über und

eine -algebraische Operation von auf einem affinen Schema , wobei eine kommutative -Algebra sei.

Dann liegt jedes in einem endlichdimensionalen -invarianten -Untervektorraum von .

Wir betrachten die zur Operation gehörige algebraische Situation, also den -Algebrahomomorphismus

wobei die Hopf-Algebra zu sei. Es sei

mit und . Für jedes ist

d.h. diese liegen alle in dem von erzeugten -Untervektorraum von . Der von all diesen , , erzeugte Untervektorraum ist also -invariant und endlichdimensional.



Es sei ein algebraisch abgeschlossener Körper, eine linear reduktive Gruppe über , die auf einer endlich erzeugten -Algebra algebraisch operiere.

Dann ist ein direkter Summand.

Es sei ein endlichdimensionaler -Untervektorraum. Nach Fakt  (2) ist mit einem -Komplement, das überdies eindeutig bestimmt ist und für welches gilt.
  Es ist sinnvoll, zuerst die Eindeutigkeit einer Reynolds-Abbildung nachzuweisen. Es sei

eine Reynolds-Abbildung. Nach Fakt gibt es zu jedem einen endlichdimensionalen -Untervektorraum mit . Wegen der -Invarianz von ist und die Einschränkung ist die Identität auf . Ferner ist . Bei , , könnte man nämlich mit Hilfe einer -linearen Abbildung

mit eine Linearform auf , nämlich , angeben, die zu gehört. Dadurch ist auf eindeutig bestimmt und somit kann es maximal eine Reynolds-Abbildung geben.
Zur Existenz. Wir wählen zu gemäß Fakt einen endlichdimensionalen -Untervektorraum und setzen

wobei

die Projektion von auf längs des -Komplementes von in bezeichnet. Dabei ist unabhängig von der Wahl von . Zu einem anderen ist nämlich . Um dies zu zeigen kann man annehmen. Aus ergibt sich durch Schneiden mit sofort eine Zerlegung von , die wegen der Eindeutigkeit mit übereinstimmen muss. Somit haben wir eine wohldefinierte -lineare Abbildung

Zu ist natürlich (für einen gewählten Unterraum) und somit ist die Einschränkung von auf die Identität. Für ein Gruppenelement und kann man mit dem gleichen Untervektorraum berechnen. Es sei die Zerlegung von in der direkten Zerlegung

Die Zerlegung von hat dann die Form , da ja die Zerlegung die Gruppenoperation respektiert und die Gruppe in der ersten Komponente identisch operiert. Somit ist

und ist in der Tat eine Reynolds-Abbildung.



Es sei ein algebraisch abgeschlossener Körper, eine linear reduktive Gruppe über , die auf einem endlichdimensionalen -Vektorraum -rational operiere.

Dann ist der Invariantenring eine endlich erzeugte -Algebra.

Dies folgt aus Fakt und aus Fakt (die Homogenitätsvoraussetzung ist erfüllt).



Es sei ein algebraisch abgeschlossener Körper, eine linear reduktive Gruppe über , die auf einer endlich erzeugten -Algebra -algebraisch operiere.

Dann ist der Invariantenring eine endlich erzeugte -Algebra.

Es sei ein -Algebraerzeugendensystem von . Nach Fakt gibt es einen endlichdimensionalen -Untervektorraum , der -invariant ist. Es sei der zum Vektorraum gehörende Polynomring, auf dem linear operiert. Es ist

ein surjektiver -Algebrahomomorphismus, der mit den Operationen von verträglich ist. Zu einem invarianten Element gibt es ein , das auf abbildet. Wiederum nach Fakt gibt es einen endlichdimensionalen -invarianten Untervektorraum mit . Dann ist ebenfalls -invariant und nach Aufgabe, angewandt auf

gibt es auch ein -invariantes , das auf abbildet. Es ist also

ebenfalls surjektiv. Nach Fakt ist und somit endlich erzeugt.