Messbare numerische Funktion/Einführung/Textabschnitt
Lemma
Beweis
Die Bedingungen (2), (3), (4), (5) sind jeweils notwendig, da halbseitig unbeschränkte Intervalle
Borel-Mengen
von sind.
Ist umgekehrt eine der Bedingungen (2), (3), (4) oder (5) erfüllt, so betrachtet man für
die Menge
(unter Bedingung (2) bzw. entsprechende Mengen unter den anderen Bedingungen).
Nach Voraussetzung sind dann auch die
Urbilder
von diesen
halboffenen Intervallen
messbare Teilmengen in . Da die halboffenen Intervalle nach
Fakt
ein
Erzeugendensystem
der
Borel-Mengen
von bilden, folgt die Aussage aus
Fakt.
Lemma
Es sei ein Messraum und seien
messbare Funktionen. Dann gelten folgende Aussagen.
- Die Funktion ist ebenfalls messbar.
- Es sei für alle . Dann ist auch die Funktion messbar.
- Die Funktionen und sind messbar.
- Die Funktion ist messbar. Wenn keine Nullstelle besitzt, so ist auch messbar.
Beweis
Die Rechenoperationen , , , , , , und , , sind nach Fakt und Fakt stetig und daher nach Fakt messbar. Ferner ist eine Hintereinanderschaltung von messbaren Abbildungen wieder messbar, und mit und ist nach Fakt auch die Abbildung
messbar. Daher ergeben sich die Behauptungen durch Betrachten der Hintereinanderschaltungen
Die vorstehende Aussage könnte man auch für formulieren, wobei man dann allerdings noch einige Rechenregeln festlegen müsste.
Mit den zusätzlichen Symbolen und lassen sich insbesondere Grenzfunktionen von Funktionenfolgen einfach erfassen. Das Supremum einer Funktionenfamilie ist punktweise durch
definiert. Es kann den Wert annehmen, und zwar auch dann, wenn alle reellwertig sind.
Lemma
Es sei eine abzählbare Indexmenge und ein Messraum. Es sei
() eine Familie von messbaren numerischen Funktionen.
Dann sind auch die Funktionen und messbar.
Beweis
Für jedes ist
Zum Beweis dieser Gleichung sei links enthalten und vorgegeben. Wegen kann nicht
für alle gelten, da sonst das Supremum echt kleiner als wäre. Es gibt also ein mit , und gehört auch rechts dazu. Wenn umgekehrt zur rechten Menge dazugehört, so gibt es für jedes ein mit . Daher ist für alle und somit .
Die Menge rechts ist als abzählbarer Durchschnitt von abzählbaren Vereinigungen von nach Voraussetzung messbaren Mengen wieder messbar. Nach Fakt folgt daraus die Messbarkeit der Supremumsabbildung. Die Messbarkeit der Infimumsabbildung beweist man ähnlich oder führt sie durch Betrachten der negativen Funktionen auf die Messbarkeit der Supremumsabbildung zurück.
Korollar
Es sei ein Messraum und sei
eine messbare numerische Funktion.
Dann ist auch die Betragsfunktion messbar.
Beweis
Dieses Konzept ist hilfreich, um Aussagen für beliebige Funktionen auf nichtnegative Funktionen zurückführen zu können. Man beachte, dass beide Teile nichtnegativ sind. Nach Fakt ist der positive als auch der negative Teil einer messbaren Funktionen wieder messbar. Es ist .
Korollar
Es sei ein Messraum und sei
eine Folge von messbaren numerischen Funktionen, die punktweise gegen eine Grenzfunktion konvergiere.
Dann ist auch messbar.
Beweis
Wir zeigen, dass die Urbilder von Mengen der Form unter der Grenzfunktion messbare Mengen sind. Daraus folgt nach Fakt die Messbarkeit von . Für jedes gilt die Gleichheit
Zum Beweis dieser Gleichheit sei zuerst
.
Dann gilt auch
für ein hinreichend großes . D.h. dass eine offene Umgebung von ist. Dann gehört auch zur inneren Vereinigung der rechten Seite, da diese die mengentheoretische Formulierung für den Sachverhalt ist, dass es ein derart gibt, dass für alle
die Folgenglieder ebenfalls zu gehören. Wenn hingegen zur rechten Seite gehört, so bedeutet dies, dass es
derart gibt, dass für alle
die Beziehung
besteht. Dann gilt für den Limes
und damit
.
Die rechte Seite der Gleichung zeigt, dass es sich um eine messbare Menge handelt, da abzählbare Durchschnitte und abzählbare Vereinigungen von messbaren Mengen wieder messbar sind.