Elementare und algebraische Zahlentheorie/2/Klausur mit Lösungen
Aufgabe | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | |
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Punkte | 3 | 3 | 3 | 2 | 5 | 2 | 0 | 0 | 3 | 0 | 4 | 0 | 0 | 6 | 4 | 5 | 40 |
Aufgabe (3 Punkte)
Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
- Das Teilen in einem kommutativen Ring .
- Ein Untermodul zu einem -Modul .
- Die Ordnung eines Elementes an einem Primideal in einem Zahlbereich .
- Die Divisorenklassengruppe zu einem Zahlbereich .
- Ein normeuklidischer quadratischer Zahlbereich (zu quadratfrei).
- Die strikte Äquivalenz von binären quadratischen Formen.
- Man sagt, dass das Element teilt, wenn es ein derart gibt, dass ist.
- Eine Teilmenge heißt -Untermodul, wenn sie eine Untergruppe von ist und wenn für jedes und auch ist.
- Die Ordnung von im diskreten Bewertungsring heißt die Ordnung von am Primideal .
- Es sei die Gruppe der
Divisoren
und
sei die Untergruppe der
Hauptdivisoren
Dann nennt man die
Restklassengruppe
die Divisorenklassengruppe von .
- Der quadratische Zahlbereich heißt normeuklidisch, wenn die Normfunktion auf eine euklidische Funktion ist.
- Zwei
binäre quadratische Formen
heißen strikt äquivalent, wenn es eine ganzzahlige -Matrix mit Determinante und mit
gibt.
Aufgabe (3 Punkte)
Formuliere die folgenden Sätze.
- Das Lemma von Bezout für einen Hauptidealbereich .
- Der Charakterisierungssatz für Primelemente im Ring der Gaußschen Zahlen.
- Der Satz über die Gruppenstruktur von Idealen in einem Zahlbereich.
- Elemente besitzen stets einen größten gemeinsamen Teiler , und dieser lässt sich als Linearkombination der darstellen, d.h. es gibt Elemente mit .
- Es sei ein ungerade
Primzahl.
Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
- ist die Summe von zwei Quadraten, mit .
- ist die Norm eines Elementes aus .
- ist zerlegbar (nicht prim) in .
- ist ein Quadrat in .
- Es ist .
- Es sei eine endliche Körpererweiterung vom Grad und der zugehörige Zahlbereich. Es sei ein von verschiedenes Ideal in . Dann ist eine freie abelsche Gruppe vom Rang ,
Aufgabe (3 Punkte)
Berechne in .
Der Zahl entspricht in das Paar . Das Element hat in die Ordnung . Das Element hat in wegen und die Ordnung . Somit besitzt die multiplikative Ordnung . In gilt (durch abziehen von Vielfachen von )
Daher ist die gefragte Potenz in Produktschreibweise gleich
Diesem Paar entspricht das Element .
Aufgabe (2 Punkte)
Bestimme die Primfaktorzerlegung von
Es ist
Aufgabe (5 Punkte)
Finde ein primitives Element in und in . Man gebe ferner ein Element der Ordnung und ein Element der Ordnung in an. Gibt es Elemente der Ordnung und der Ordnung auch in ?
In betrachten wir das Element . Die Ordnung von ist ein Teiler von . Es ist und , sodass die Ordnung ist, also ist primitiv.
Wir betrachten in . Dieser Ring hat Einheiten, also ist die Ordnung von ein Teiler von . Andererseits folgt aus , dass auch ist. Dann muss ein Vielfaches von sein. An möglichen Ordnungen bleiben also oder . Es ist . Also ist die Ordnung und ist primitiv modulo .
Damit hat die Ordnung und hat die Ordnung .
ist ein Körper und die Einheitengruppe ist zyklisch der Ordnung . Daher gibt es dort Elemente der Ordnung , aber nicht der Ordnung .
Aufgabe (2 Punkte)
Finde drei Quadratzahlen
derart, dass der Abstand von zu gleich dem Abstand von zu ist.
Man kann , und nehmen.
Aufgabe (0 Punkte)
Aufgabe (0 Punkte)
Aufgabe (3 Punkte)
Es sei ein Zahlbereich. Zeige unter Verwendung der Norm, dass jedes Element , , eine Faktorisierung in irreduzible Elemente besitzt.
Induktion über . Bei liegt eine Einheit vor und es ist nichts zu zeigen. Es sei also und die Existenz einer Zerlegung in irreduzible Elemente sei für alle mit schon bewiesen. Wenn irreduzibel ist, so ist nichts zu zeigen. Andernfalls gibt es eine Zerlegung mit , wobei sind und daher nach Induktionsvoraussetzung eine Zerlegung in irreduzible Elemente besitzen. Daraus ergibt sich die Zerlegung von in irreduzible Elemente.
Aufgabe (0 Punkte)
Aufgabe (4 Punkte)
Zeige, dass der Körper der rationalen Zahlen überabzählbar viele Unterringe besitzt.
Es sei eine Teilmenge der Primzahlen. Da es unendlich viele Primzahlen gibt, gibt es überabzählbar viele Teilmengen davon. Zu gehört das multiplikative System , das aus allen ganzen Zahlen besteht, in deren Primfaktorzerlegung nur Primzahlen aus vorkommen. Die Nenneraufnahme
besteht aus allen rationalen Zahlen, die man mit einem Nenner schreiben kann, in dessen Primfaktorzerlegung nur Primzahlen aus vorkommen. Wegen der eindeutigen Primfaktorzerlegung in sind diese Ringe für verschiedene Teilmengen verschieden.
Aufgabe (0 Punkte)
Aufgabe (0 Punkte)
Aufgabe (6 Punkte)
Es ist
Für die Primfaktoren des Nenners berechnen wir
:
. Hier ist , es liegt also der zerlegte Fall vor. Den zwei Primidealen im Restklassenring entsprechen die Primideale
und es ist .
:
. Hier liegt also der verzweigte Fall vor. Dem Primideal im Restklassenring entspricht das Primideal
und es ist ,
Für den Zähler betrachten wir
Für ergibt sich:
. Hier liegt also wieder der zerlegte Fall vor, . Also liegen darüber die Primideale
und es ist . Wir müssen nun bestimmen, ob zu oder zu gehört. Eine direkte Rechnung ergibt , sodass vorliegt. Damit ist insgesamt
Aufgabe (4 Punkte)
Es sei eine quadratfreie Zahl und sei ein quadratischer Zahlbereich. Definiere die Konjugation zu einem Element und zu einem Element . Definiere zu einem Ideal das konjugierte Ideal und zeige, dass es sich um ein Ideal handelt. Zeige, dass und in der Klassengruppe invers zueinander sind.
Die Konjugation zu einem Element ist folgendermaßen definiert: man kann schreiben als mit , und definiert . Für Elemente aus ist die Konjugation genauso definiert.
Zu einem Ideal setzt man
Dies ist ein Ideal wegen und wegen .
Nach Fakt ist
ein Hauptideal, also ist das Produkt der beiden Ideale das neutrale Element in der Klassengruppe, also sind sie invers zueinander.
Aufgabe (5 (3+2) Punkte)
Wir betrachten den quadratischen Zahlbereich zu .
- Zeige unter Verwendung von Fakt, dass faktoriell ist.
- Sieht nicht die Gleichung
wie eine Zerlegung in wesentlich verschiedene irreduzible Elemente aus? Wie lautet die Primfaktorzerlegung von in ?
- Die Diskriminante des Zahlbereichs ist , daher müssen nur die Primzahlen überprüft werden, also nur die Primzahl . Es ist
Modulo ist dies
und dies ist ein Körper mit Elementen, da dieses quadratisches Polynom nullstellenfrei und damit irreduzibel ist. Also ist prim in und dieser Zahlbereich ist faktoriell.
- Da die Zahl im Zahlbereich prim ist, muss sie einen der Faktoren
teilen. In der Tat sind und Einheiten in diesem Zahlbereich, da die Norm davon ist, weil die Norm von gleich ist. Somit sind und beide assoziiert zur (und auch untereinander) und es liegt keine wesentlich verschiedene Primfaktorzerlegung vor.