Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2020-2021)/Arbeitsblatt 19/kontrolle
- Aufgaben
Aufgabe Referenznummer erstellen
Bestimme .
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei eine separable endliche Körpererweiterung. Zeige .
Aufgabe Referenznummer erstellen
Bestimme .
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei ein kommutativer Ring und
mit einem Polynom (die Nullstellenmenge ist also der Graph zu ). Zeige auf zwei verschiedene Arten, dass ein freier - Modul vom Rang ist.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Zeige, dass zu der Modul der Kähler-Differentiale im Nullpunkt nicht frei ist.
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Es sei ein kommutativer Ring und ein multiplikatives System. Zeige
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei ein kommutativer Ring und ein multiplikatives System. Es sei ein Zwischenring. Zeige
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei eine endliche separable Körpererweiterung und sei die zugehörige endliche Erweiterung der Polynomringe in einer Variablen. Zeige .
Aufgabe Referenznummer erstellen
Interpretiere Lemma 19.3 für einen Grundkörper und einen - Algebrahomomorphismus
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei ein kommutativer Ring und eine kommutative - Algebra. Zeige, dass der Kern der universellen Derivation
eine - Unteralgebra von ist.
Es sei ein kommutativer Ring und ein - Modul. Der Annullator von ist
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei ein kommutativer Ring und ein Ideal. Zeige, dass der Annullator des - Moduls gleich ist.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei ein kommutativer Ring, ein - Modul und ein Ideal mit . Zeige, dass in natürlicher Weise ein -Modul ist.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei eine monogene - Algebra und es sei der Annullator von im Modul der Kähler-Differentiale . Zeige
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei ein Zahlbereich. Zeige, dass es eine natürliche Zahl gibt, die den Modul der Kähler-Differentiale annulliert.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei ein quadratischer Zahlbereich mit dem Modul der Kähler-Differentiale . Zeige, dass der Annullator von von einem Element erzeugt wird, und dass die Norm eines solchen Erzeugers im Betrag mit der Diskriminante des Zahlbereiches übereinstimmt.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei der quadratische Zahlbereich zur quadratfreien Zahl . Zeige, dass die Elemente des Moduls der Kähler-Differentiale gleich
sind.
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Es sei der quadratische Zahlbereich zur quadratfreien Zahl . Zeige, dass die Elemente des Moduls der Kähler-Differentiale (mit gemäß Satz 9.8) gleich
sind.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei eine endliche Körpererweiterung und eine Ringerweiterung mit und sei der ganze Abschluss von in . Zeige, dass die natürliche Abbildung
surjektiv ist.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei eine quadratfreie Zahl und sei
Zeige, dass in die Beziehung
gilt.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Aufgabe Referenznummer erstellen
Wir betrachten den Modul der Kähler-Differentiale zum Ring der Gaußschen Zahlen. Zeige, dass es zu dem Kähler-Differential
kein Element mit gibt.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei der quadratische Zahlbereich zur quadratfreien Zahl . Zeige, dass es zu jedem Kähler-Differential ein mit
gibt.
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Bestimme zum Zahlbereich den Modul der Kähler-Differentiale und den Verzweigungsort. Bestimme ferner die Anzahl der Elemente im Modul der Kähler-Differentiale.
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Es sei eine ungerade Primzahl und
der -te Kreisteilungsring. Zeige, dass im Modul der Kähler-Differentiale die Gleichheit
gilt.
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Es sei eine ungerade Primzahl,
der -te Kreisteilungsring mit dem Modul der Kähler-Differentiale (vergleiche Beispiel 19.8)
Zeige, dass es zu jedem Kähler-Differential
mit ein mit gibt.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei eine reine Wurzelerweiterung von . Zeige, dass der Modul der Kähler-Differentiale durch annulliert wird.
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Es sei der achte Kreisteilungsring. Zeige, dass der Modul der Kähler-Differentiale von annulliert wird, aber nicht von . Beschreibe die Modulstruktur von .
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Beschreibe den Modul der Kähler-Differentiale und bestimme insbesondere seine Anzahl, wobei den neunten Kreisteilungsring bezeichnet.
Dabei ist Aufgabe 2.31 hilfreich.
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Beschreibe den Modul der Kähler-Differentiale und bestimme insbesondere seine Anzahl, wobei den -ten Kreisteilungsring bezeichnet.
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Studiere Lemma 19.3 am Beispiel der Kreisteilungsringe .
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Es sei eine Primzahl und . Beschreibe den Modul der Kähler-Differentiale und bestimme insbesondere seine Anzahl, wobei den -ten Kreisteilungsring bezeichnet.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei eine Primzahl und der -te Kreisteilungsring. Bestimme den Kern der universellen Derivation
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei ein Zahlbereich und sei der Kern der universellen Derivation
Zeige, dass der Quotientenkörper von gleich ist.