Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2020-2021)/Arbeitsblatt 19/kontrolle

Aufgaben

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme ${}\Omega _{{\mathbb {C} }{|}\mathbb {R} }$ .

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Es sei ${}K\subseteq L$ eine separable endliche Körpererweiterung. Zeige ${}\Omega _{L{|}K}=0$ .

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Bestimme ${}\Omega _{\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]{|}\mathbb {Z} }$ .

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Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und

{}A=R[X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\left(X_{n}-f{\left(X_{1},\ldots ,X_{n-1}\right)}\right)}\,

mit einem Polynom ${}f\in R[X_{1},\ldots ,X_{n-1}]$ (die Nullstellenmenge ist also der Graph zu ${}f$ ). Zeige auf zwei verschiedene Arten, dass ${}\Omega _{A{|}R}$ ein freier ${}A$ - Modul vom Rang ${}n-1$ ist.

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Zeige, dass zu ${}R=K[X,Y]/(XY)$ der Modul der Kähler-Differentiale ${}\Omega _{R{|}K}$ im Nullpunkt nicht frei ist.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Es sei ${}A$ ein kommutativer Ring und ${}S\subseteq A$ ein multiplikatives System. Zeige

{}\Omega _{A_{S}{|}A}=0\,.

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Es sei ${}A$ ein kommutativer Ring und ${}S\subseteq A$ ein multiplikatives System. Es sei ${}A\subseteq B\subseteq A_{S}$ ein Zwischenring. Zeige

{}\Omega _{B{|}A}=0\,.

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Es sei ${}K\subseteq L$ eine endliche separable Körpererweiterung und sei ${}K[X]\subseteq L[X]$ die zugehörige endliche Erweiterung der Polynomringe in einer Variablen. Zeige ${}\Omega _{L[X]{|}K[X]}=0$ .

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Interpretiere Lemma 19.3 für einen Grundkörper ${}K$ und einen ${}K$ - Algebrahomomorphismus

K[Y]\longrightarrow K[X],\,Y\longmapsto F(X),

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Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}A$ eine kommutative ${}R$ - Algebra. Zeige, dass der Kern der universellen Derivation

A\longrightarrow \Omega _{R{|}A},\,f\longmapsto df,

eine ${}R$ - Unteralgebra von ${}A$ ist.

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}M$ ein ${}R$ - Modul. Zu einem Element ${}x\in M$ heißt

{}\operatorname {Ann} _{R}{\left(x\right)}={\left\{r\in R\mid rx=0\right\}}\,

der Annullator von ${}x$ .

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}M$ ein ${}R$ - Modul. Der Annullator von ${}M$ ist

{}\operatorname {Ann} _{R}{\left(M\right)}={\left\{r\in R\mid rx=0{\text{ für alle }}x\in M\right\}}\,.

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Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}{\mathfrak {a}}\subseteq R$ ein Ideal. Zeige, dass der Annullator des ${}R$ - Moduls ${}R/{\mathfrak {a}}$ gleich ${}{\mathfrak {a}}$ ist.

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Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring, ${}M$ ein ${}R$ - Modul und ${}I\subseteq R$ ein Ideal mit ${}IM=0$ . Zeige, dass ${}M$ in natürlicher Weise ein ${}R/I$ -Modul ist.

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Es sei ${}A=R[X]/{\mathfrak {a}}$ eine monogene ${}R$ - Algebra und es sei ${}{\mathfrak {b}}=\operatorname {Ann} _{}{\left(dX\right)}$ der Annullator von ${}dX$ im Modul der Kähler-Differentiale ${}\Omega _{A{|}R}$ . Zeige

{}\Omega _{A{|}R}\cong A/{\mathfrak {b}}\,.

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Es sei ${}R$ ein Zahlbereich. Zeige, dass es eine natürliche Zahl ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ gibt, die den Modul der Kähler-Differentiale ${}\Omega _{R{|}\mathbb {Z} }$ annulliert.

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Es sei ${}R$ ein quadratischer Zahlbereich mit dem Modul der Kähler-Differentiale ${}\Omega _{R{|}\mathbb {Z} }$ . Zeige, dass der Annullator von ${}\Omega _{R{|}\mathbb {Z} }$ von einem Element erzeugt wird, und dass die Norm eines solchen Erzeugers im Betrag mit der Diskriminante des Zahlbereiches übereinstimmt.

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Es sei ${}A_{D}$ der quadratische Zahlbereich zur quadratfreien Zahl ${}D=2,3\mod 4$ . Zeige, dass die Elemente des Moduls der Kähler-Differentiale ${}\Omega _{A_{D}{|}\mathbb {Z} }$ gleich

(a+b{\sqrt {D}})d{\sqrt {D}},\,a=0,1,2,\ldots ,2D-1,\,b=0,1,

sind.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Es sei ${}A_{D}$ der quadratische Zahlbereich zur quadratfreien Zahl ${}D=1\mod 4$ . Zeige, dass die Elemente des Moduls der Kähler-Differentiale ${}\Omega _{A_{D}{|}\mathbb {Z} }$ (mit ${}A_{D}=\mathbb {Z} [y]/{\left(y^{2}-y-{\frac {D-1}{4}}\right)}$ gemäß Satz 9.8) gleich

ady,\,a=0,1,2,\ldots ,\vert {D}\vert -1,

sind.

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Es sei ${}\mathbb {Q} \subseteq K$ eine endliche Körpererweiterung und ${}\mathbb {Z} \subseteq S\subseteq K$ eine Ringerweiterung mit ${}Q(S)=K$ und sei ${}R$ der ganze Abschluss von ${}S$ in ${}K$ . Zeige, dass die natürliche Abbildung

\Omega _{S{|}\mathbb {Z} }\otimes _{\mathbb {Z} }R\longrightarrow \Omega _{R{|}\mathbb {Z} },\,ds\otimes r\longmapsto rds,

surjektiv ist.

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Es sei ${}D=1\mod 4$ eine quadratfreie Zahl ${}\neq 1$ und sei

{}S=\mathbb {Z} [{\sqrt {D}}]\subseteq R=\mathbb {Z} [{\frac {1+{\sqrt {D}}}{2}}]\,.

Zeige, dass in ${}\Omega _{R{|}\mathbb {Z} }$ die Beziehung

{}{\frac {1+{\sqrt {D}}}{2}}d{\sqrt {D}}=d{\frac {1+{\sqrt {D}}}{2}}\,

gilt.

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Zeige anhand der Ringerweiterungen ${}\mathbb {Z} \subseteq \mathbb {Z} [{\sqrt {-3}}]=S\subseteq \mathbb {Z} [{\frac {1+{\sqrt {-3}}}{2}}]=R$ , dass in Lemma 19.3 die Abbildung

\Omega _{S{|}\mathbb {Z} }\otimes _{S}R\longrightarrow \Omega _{R{|}\mathbb {Z} },\,ds\otimes r\longmapsto rds,

nicht injektiv sein muss.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Wir betrachten den Modul der Kähler-Differentiale ${}\Omega _{\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]{|}\mathbb {Z} }$ zum Ring der Gaußschen Zahlen. Zeige, dass es zu dem Kähler-Differential

{}\omega ={\mathrm {i} }d{\mathrm {i} }\,

kein Element ${}f\in \mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]$ mit ${}df=\omega$ gibt.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}A_{D}$ der quadratische Zahlbereich zur quadratfreien Zahl ${}D=1\mod 4$ . Zeige, dass es zu jedem Kähler-Differential ${}\omega \in \Omega _{A_{D}{|}\mathbb {Z} }$ ein ${}f\in A_{D}$ mit

{}df=\omega \,

gibt.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Bestimme zum Zahlbereich ${}\mathbb {Z} \subseteq R=\mathbb {Z} [X]/{\left(X^{3}-3X+1\right)}$ den Modul der Kähler-Differentiale und den Verzweigungsort. Bestimme ferner die Anzahl der Elemente im Modul der Kähler-Differentiale.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Es sei ${}p$ eine ungerade Primzahl und

{}R_{p}=\mathbb {Z} [X]/{\left(X^{p-1}+\cdots +X^{2}+X+1\right)}\,

der ${}p$ -te Kreisteilungsring. Zeige, dass im Modul der Kähler-Differentiale die Gleichheit

{}X^{p-2}dX={\left(\sum _{k=0}^{p-3}(k+1)X^{k}\right)}dX\,

gilt.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Es sei ${}p$ eine ungerade Primzahl,

{}R_{p}=\mathbb {Z} [X]/{\left(X^{p-1}+\cdots +X^{2}+X+1\right)}\,

${}R_{p}$ der ${}p$ -te Kreisteilungsring mit dem Modul der Kähler-Differentiale (vergleiche Beispiel 19.8)

{}\Omega _{R_{p}{|}\mathbb {Z} }\cong \mathbb {Z} /(p)[X]/(X-1)^{p-2}dX\,.

Zeige, dass es zu jedem Kähler-Differential

{}\omega ={\left(a_{p-3}X^{p-3}+\cdots +a_{2}X^{2}+a_{1}X+a_{0}\right)}dX\,

mit ${}0\leq a_{j}<p$ ein ${}f\in R_{p}$ mit ${}df=\omega$ gibt.

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Es sei ${}\mathbb {Z} \subseteq R=\mathbb {Z} [X]{\left(X^{n}-a\right)}$ eine reine Wurzelerweiterung von ${}\mathbb {Z}$ . Zeige, dass der Modul der Kähler-Differentiale ${}\Omega _{R{|}\mathbb {Z} }$ durch ${}an$ annulliert wird.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Es sei ${}R_{8}=\mathbb {Z} [X]/{\left(X^{4}+1\right)}$ der achte Kreisteilungsring. Zeige, dass der Modul der Kähler-Differentiale ${}\Omega _{R_{8}{|}\mathbb {Z} }$ von ${}4$ annulliert wird, aber nicht von ${}2$ . Beschreibe die Modulstruktur von ${}\Omega _{R_{8}{|}\mathbb {Z} }$ .