Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil I/Arbeitsblatt 21/kontrolle
- Übungsaufgaben
Aufgabe Referenznummer erstellen
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Zeige, dass die Sinus- bzw. die Kosinusfunktion die folgenden Werte besitzt.
a)
b)
c)
Aufgabe * Aufgabe 20.3 ändern
Zeige, dass die reelle Sinusfunktion eine bijektive, streng wachsende Funktion
induziert, und dass die reelle Kosinusfunktion eine bijektive, streng fallende Funktion
induziert.
Aufgrund von
Korollar 21.4
ist die reelle Sinusfunktion und die reelle Kosinusfunktion bijektiv auf gewissen Intervallen. Die Umkehrfunktionen heißen folgendermaßen.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Bestimme die Ableitungen von Arkussinus und Arkuskosinus.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Wir betrachten die durch
definierte Funktion
Zeige, dass es zu jedem , eine Nullfolge derart gibt, dass die Folge der Differenzenquotienten
gegen konvergiert.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Bestimme für die folgenden Funktionen, ob der Funktionslimes existiert und welchen Wert er gegebenenfalls annimmt.
- ,
- ,
- ,
- .
Aufgabe Referenznummer erstellen
Bestimme für die folgenden Funktionen, ob der Funktionslimes für , , existiert und welchen Wert er gegebenenfalls annimmt.
- ,
- ,
- .
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Bestimme den Grenzwert der Folge
Aufgabe Referenznummer erstellen
Zeige, dass die Folge
nicht konvergiert.
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Zu einem Startwert sei eine Folge rekursiv durch
definiert. Entscheide, ob konvergiert und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Untersuche die Funktionenfolge
auf punktweise und gleichmäßige Konvergenz. An welchen Punkten existiert die Grenzfunktion, an welchen ist sie stetig, an welchen differenzierbar? Wie verhält sich die abgeleitete Funktionenfolge, also ?
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei . Es sei eine komplexe, auf konvergente Potenzreihe der Form
Zeige, dass für jede -te komplexe Einheitswurzel die Gleichheit für alle gilt.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei eine komplexe auf konvergente Potenzreihe und . Für jede -te komplexe Einheitswurzel gelte für alle . Zeige, dass für alle gilt, die kein Vielfaches von sind.
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Es sei und sei eine -te komplexe Einheitswurzel. Es sei
eine differenzierbare Funktion mit der Eigenschaft, dass die Gleichheit für alle gelte. Zeige unter Bezug auf den Differenzenquotienten, dass die Ableitung die Beziehung erfüllt.
Was bedeutet die vorstehende Aufgabe für gerade und ungerade Funktionen?
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei
eine stetige Funktion. Zeige, dass die beiden folgenden Aussagen äquivalent sind.
- Es gibt eine stetige Funktion
mit für alle .
- Für alle -ten Einheitswurzeln (alle ) ist für alle .
- Für alle mit ist für alle .
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Zeige, dass die Funktion
unendlich viele isolierte lokale Maxima und unendlich viele isolierte lokale Minima besitzt.
Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Man gebe ein Beispiel für eine stetige Funktion
die unendlich viele Nullstellen und unendlich viele isolierte lokale Maxima besitzt, deren Funktionswert ist.
Aufgabe (6 Punkte)Referenznummer erstellen
Zeige, dass es keine stetige Funktion
gibt, die unendlich viele Nullstellen besitzt derart, dass zwischen je zwei Nullstellen ein lokales Maximum existiert, dessen Funktionswert ist.
Aufgabe (6 Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei eine Folge von komplexen Zahlen, die wir in Polarkoordinaten als
mit und schreiben. Zeige, dass die Folge genau dann konvergiert, wenn einer der folgenden Fälle vorliegt.
- Die Folge konvergiert gegen .
- Die beiden Folgen und konvergieren (in ).
- Die Folge konvergiert und die Folge besitzt die Punkte und als einzige Häufungspunkte.
Aufgabe (6 Punkte)Referenznummer erstellen
Zu sei der Flächeninhalt eines in den Einheitskreis eingeschriebenen gleichmäßigen -Eckes. Zeige .
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