- Aufwärmaufgaben
Es sei
eine
riemannsche Mannigfaltigkeit.
Zeige, dass die
Abbildung
-
mit
-

linear
ist.
Es sei
ein
-dimensionaler reeller orientierter Vektorraum und
ein
translationsinvariantes Maß
auf
. Zeige, dass die Zuordnung
-
wobei das Vorzeichen positiv zu wählen ist, wenn die Vektoren die Orientierung repräsentieren, eine alternierende multilineare Abbildung ist.
Wir betrachten den Graph
der Abbildung
-
als zweidimensionale abgeschlossene Untermannigfaltigkeit des

, also
-
mit der vom
induzierten riemannschen Metrik. Es sei
-
die zugehörige Diffeomorphie.
a) Bestimme das totale Differential zu
sowie die Bildvektoren
und
in
.
b) Bestimme für jeden Punkt der Form
den Flächeninhalt des von
und
in
aufgespannten Parallelogramms.
c) Bestimme für jeden Punkt der Form
den Flächeninhalt des von
und
in
aufgespannten Parallelogramms.
Es sei
-
(mit
)
eine
stetig differenzierbare Funktion,
die in jedem Punkt der
Faser
über
regulär
sei. Wir fassen
als eine orientierte riemannsche Mannigfaltigkeit auf. Zeige, dass zwischen der Volumenform
aus
Korollar 83.6
und der
kanonischen Volumenform
die Beziehung
-

besteht.
Es sei
-
(mit
)
eine
stetig differenzierbare Abbildung,
die in jedem Punkt der
Faser
über
regulär
sei. Wir fassen
als eine orientierte riemannsche Mannigfaltigkeit auf. Es sei vorausgesetzt, dass die Gradienten
-
für jeden Punkt von
senkrecht aufeinander stehen. Zeige, dass zwischen der Volumenform
aus
Korollar 83.6
und der
kanonischen Volumenform
die Beziehung
-

besteht.
- Aufgaben zum Abgeben
Bei einer riemannschen Mannigfaltigkeit
definiert man zu einem Tangentialvektor
die Norm durch
.
Es sei
eine
riemannsche Mannigfaltigkeit.
Zeige, dass die Zuordnung
-
stetig
ist.
Zeige, dass
mit der durch die
Hesse-Form zur
Funktion
-
gegebenen Bilinearform eine
riemannsche Mannigfaltigkeit
ist.
Im
sei das
Ellipsoid
-
und die Ebene
-
gegeben. Berechne den Flächeninhalt des Durchschnitts

.
Man erstelle eine Computergraphik, die die in
Bemerkung *****
beschriebene Situation anhand einer Fläche im
veranschaulicht.