Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil III/Arbeitsblatt 70

Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Es sei ${}M$ ein Messraum mit einer Ausschöpfung ${}M_{n}\uparrow M$ und sei

$f_{n}\colon M\longrightarrow \mathbb {R}$

eine wachsende Folge von nichtnegativen messbaren Funktionen mit der Grenzfunktion

$f\colon M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}.$

Zeige, dass ${}S^{o}(M_{n};f_{n})$ eine Ausschöpfung von ${}S^{o}(M;f)$ ist.

Aufgabe

Wir betrachten die Funktionenfolge

$f_{n}\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

mit ${}f_{n}=1-{\frac {1}{n}}$ ($n\in \mathbb {N} _{+}$). Es sei ${}f$ die Grenzfunktion. Zeige die Beziehung

${}\bigcup _{n\in \mathbb {N} _{+}}S(f_{n})=S(f)\setminus \Gamma _{f}\,.$

Aufgabe *

Es seien ${}(M,{\mathcal {A}},\mu )$ und ${}(N,{\mathcal {B}},\nu )$ zwei endliche Maßräume und es seien

$f\colon M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}$

und

$g\colon N\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}$

integrierbare Funktionen. Zeige

${}\int _{M\times N}(f+g)d\mu \otimes \nu =\nu (N)\cdot \int _{M}f(x)d\mu (x)+\mu (M)\cdot \int _{N}g(y)d\nu (y)\,.$

Aufgabe

Wir betrachten die Funktion

$f\colon [0,1]\longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto 1-t^{2}.$

Für welches ${}x\in [0,1]$ besitzt die zugehörige zweistufige (maximale) untere Treppenfunktion zu ${}f$ den maximalen Flächeninhalt? Welchen Wert besitzt er?

Aufgabe

Es sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge in ${}{\overline {\mathbb {R} }}$. Zeige, dass die Folge genau dann konvergiert, wenn

${}\operatorname {lim} \operatorname {inf} \,{\left({\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }\right)}=\operatorname {lim} \operatorname {sup} \,{\left({\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }\right)}\,.$

Aufgabe *

Es sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine beschränkte reelle Folge,

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

eine stetige Abbildung und ${}y_{n}=f(x_{n})$ die Bildfolge. Es sei ${}H$ die Menge der Häufungspunkte von ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${}G$ die Menge der Häufungspunkte von ${}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$.

a) Zeige ${}f(H)\subseteq G$.

b) Zeige

${}f{\left(\operatorname {lim} \operatorname {sup} \,{\left({\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }\right)}\right)}\leq \operatorname {lim} \operatorname {sup} \,{\left({\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }\right)}\,.$

c) Zeige, dass die Abschätzung aus Teil b) echt sein kann.

Aufgabe

Es sei ${}f_{n}:[1,+\infty [\rightarrow \mathbb {R} _{\geq 0}$, für ${}n\in \mathbb {Z} _{+}$, die Funktionenfolge

$f_{n}(x)={\begin{cases}{\frac {1}{n^{2}}},{\text{ falls }}x\in [n,+\infty [\,,\\0,{\text{ anderfalls }}.\end{cases}}$

Berechnen Sie

$\lim _{n\rightarrow +\infty }f_{n}{\text{ und }}\lim _{n\rightarrow +\infty }\int _{[1,+\infty ]}f_{n}d\lambda ^{1}.$

Aufgabe

Es sei ${}f_{n}:[0,+\infty [\rightarrow \mathbb {R} _{\geq 0}$, für ${}n\in \mathbb {Z} _{+}$, die Funktionenfolge

$f_{n}(x)={\frac {\mathrm {exp} (-nx)}{x+n}}.$

Berechnen Sie

$\lim _{n\rightarrow +\infty }f_{n}{\text{ und }}\lim _{n\rightarrow +\infty }\int _{[0,+\infty ]}f_{n}d\lambda ^{1}.$

Aufgabe

Es sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge in ${}{\overline {\mathbb {R} }}$ und sei

$y_{n}:=\inf {\left(x_{k},\,k\geq n\right)}.$

a) Zeige, dass die Folge ${}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ wachsend ist.

b) Zeige, dass die Folge ${}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gegen ${}\operatorname {lim} \operatorname {inf} \,{\left({\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }\right)}$ punktweise konvergiert.

Aufgabe

Es sei ${}(M,{\mathcal {A}})$ ein Messraum und sei

$f_{n}\colon M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}$

eine Folge von messbaren Funktionen. Zeige, dass dann auch die Funktionen

$\operatorname {lim} \operatorname {inf} \,{\left({\left(f_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }\right)}\colon M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }},\,x\longmapsto \operatorname {lim} \operatorname {inf} \,{\left({\left(f_{n}(x)\right)}_{n\in \mathbb {N} }\right)},$

und

$\operatorname {lim} \operatorname {sup} \,{\left({\left(f_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }\right)}\colon M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }},\,x\longmapsto \operatorname {lim} \operatorname {sup} \,{\left({\left(f_{n}(x)\right)}_{n\in \mathbb {N} }\right)},$

messbar sind.

Aufgabe

Es sei ${}(M,{\mathcal {A}},\mu )$ ein ${}\sigma$- endlicher Maßraum und sei

$f_{n}\colon M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0}$

($n\in \mathbb {N}$) eine Folge von nichtnegativen messbaren numerischen Funktionen. Zeige, dass

${}\int _{M}\sum _{n=0}^{\infty }f_{n}\,d\mu =\sum _{n=0}^{\infty }\int _{M}f_{n}\,d\mu \,$

gilt.

Aufgabe

Berechnen Sie

$\sum _{n=0}^{+\infty }\int _{0}^{\pi /2}{\big (}1-{\sqrt {\mathrm {sin} x}}{\big )}^{n}\mathrm {cos} x\mathrm {d} x.$

Aufgabe

Unter einer Quader-Treppenfunktion verstehen wir eine Abbildung

$t\colon [a_{1},b_{1}]\times \cdots \times [a_{d},b_{d}]\longrightarrow \mathbb {R} ,$

für die es Intervallunterteilungen

$a_{1}=c_{10}<c_{11}<\ldots <c_{1n_{1}}=b_{1},\ldots ,a_{d}=c_{d0}<c_{d1}<\ldots <c_{dn_{d}}=b_{d},$

derart gibt, dass

$t{|}_{[c_{1j_{1}},c_{1\,j_{1}+1}]\times \cdots \times }[c_{dj_{d}},c_{d\,j_{d}+1}]$

konstant ist. Das zugehörige Integral nennen wir Treppenintegral.

Es sei

$f\colon [a_{1},b_{1}]\times \cdots \times [a_{d},b_{d}]\longrightarrow \mathbb {R}$

eine stetige Funktion. Zeige, dass das Supremum der Treppenintegrale zu unteren Treppenfunktionen von ${}f$ gleich dem Infimum der Treppenintegrale zu oberen Treppenfunktionen von ${}f$ ist, und somit auch gleich dem Lebesgue-Integral.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Man gebe ein Beispiel einer integrierbaren Funktion

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,$

für die das Integral nicht das Supremum über alle Treppenintegrale zu unteren Treppenfunktionen ist.

Aufgabe (5 (2+3) Punkte)

Wir betrachten die Funktion

$f\colon [0,1]\longrightarrow [0,1],\,x\longmapsto x^{2}.$

Berechne für ${}n=1,2,\ldots ,5$ das Supremum der Integrale zu den folgenden einfachen Funktionen.

a) Die Funktionen ${}g\leq f$, die auf den ${}n$ Teilintervallen ${}[{\frac {k}{n}},{\frac {k+1}{n}}[$ (mit $k=0,\ldots ,n-1$) konstant sind.

b) Die Funktionen ${}h\leq f$, die nur die Werte ${}{\frac {k}{n}}$ annehmen.

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme für die Funktionenfolge

$f_{n}\colon [0,1]\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f_{n}(x)=x^{n},$

die zugehörigen Integrale, den Grenzwert der Integrale, die Grenzfunktion und das Integral der Grenzfunktion.

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme die Häufungspunkte der Folge ${}x_{n}=\sin \left(n{\frac {\pi }{4}}\right)$. Was ist der Limes inferior, was der Limes superior?

Aufgabe (8 Punkte)

Bestimme den Limes inferior und den Limes superior der Funktionenfolge ${}f_{n}(x)=\sin(nx)$ auf ${}[0,\pi ]$.

Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass der Satz von der majorisierten Konvergenz ohne die Voraussetzung über die Existenz einer Majorante ${}h\geq \vert {f_{n}}\vert$ nicht gilt.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}]a,b[$ ein (eventuell unbeschränktes) Intervall und es sei

$f\colon ]a,b[\longrightarrow \mathbb {R}$

eine nichtnegative stetige Funktion. Zeige, dass das uneigentliche Integral ${}\int _{a}^{b}f(t)dt$ gleich dem Lebesgue-Integral ${}\int _{]a,b[}f\,d\lambda$ (also gleich dem Flächeninhalt des Subgraphen) ist.