Kurs:Analysis 3/8/Klausur mit Lösungen

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	${}\sum$
Punkte	3	3	0	0	5	0	5	3	3	9	6	0	5	7	0	0	49

Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Zwei homöomorphe topologische Räume ${}X$ und ${}Y$.
2. Das Gitter und das Gittermaß zum Gitterpunktabstand ${}\epsilon >0$ auf dem ${}\mathbb {R} ^{n}$.
3. Das erzeugte Parallelotop zu linear unabhängigen Vektoren ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ in einem reellen Vektorraum ${}V$.
4. Der Tangentialraum in einem Punkt ${}P\in M$ einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit ${}M$.
5. Orientierungsgleiche Basen auf einem endlichdimensionalen reellen Vektorraum ${}V$.
6. Die äußere Ableitung zu einer stetig differenzierbaren Differentialform ${}\omega \in {\mathcal {E}}^{k}(M)$ auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit ${}M$.

Lösung

1. Zwei topologische Räume ${}X$ und ${}Y$ heißen homöomorph, wenn es eine bijektive stetige Abbildung

   $\varphi \colon X\longrightarrow Y$

   gibt, deren Umkehrabbildung ${}\varphi ^{-1}$ ebenfalls stetig ist.

2. Die Menge

   ${}\Gamma _{\epsilon }={\left\{\epsilon (a_{1},\ldots ,a_{n})\mid a_{i}\in \mathbb {Z} \right\}}\subseteq \mathbb {R} ^{n}\,$

   nennt man das Gitter zum Gitterpunktabstand ${}\epsilon$. Das durch

   ${}\mu _{\epsilon }(T)=\epsilon ^{n}\cdot {\#\left(T\cap \Gamma _{\epsilon }\right)}\,$

   für ${}T\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ definierte Maß heißt das Gittermaß zum Gitterabstand ${}\epsilon$.

3. Man nennt

   ${}P={\left\{a_{1}v_{1}+\cdots +a_{n}v_{n}\mid a_{i}\in [0,1]\right\}}\,$

   das von den ${}v_{i}$ erzeugte Parallelotop.

4. Der Tangentialraum ${}T_{P}M$ besteht aus allen Äquivalenzklassen von tangential äquivalenten differenzierbaren Wegen durch diesen Punkt.
5. Zwei Basen ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ und ${}w_{1},\ldots ,w_{n}$ heißen orientierungsgleich, wenn die Determinante ihrer Übergangsmatrix positiv ist.
6. Die äußere Ableitung von ${}\omega$ wird lokal auf einer Karte, auf der ${}\omega$ die Gestalt

   ${}\omega =\sum _{{\#\left(I\right)}=k,\,I\subseteq \{1,\ldots ,\operatorname {dim} \,M\}}f_{I}dx_{I}\,$

   besitzt, durch

   ${}d\omega =\sum _{{\#\left(I\right)}=k}d(f_{I})\wedge dx_{I}\,$

   definiert.

Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Produktsatz für Maße.
2. /Fakt/Name
3. /Fakt/Name

Lösung

1. Es seien ${}n$ ${}\sigma$- endliche Maßräume ${}(M_{1},{\mathcal {A}}_{1},\mu _{1}),\ldots ,(M_{n},{\mathcal {A}}_{n},\mu _{n})$ gegeben. Dann gibt es genau ein (${}\sigma$-endliches) Maß ${}\mu$ auf der Produkt-${}\sigma$- Algebra ${}{\mathcal {A}}_{1}\otimes _{}\cdots \otimes _{}{\mathcal {A}}_{n}$, das für alle messbaren Quader (deren Seiten endliches Maß besitzen) den Wert

   ${}\mu (T_{1}\times \cdots \times T_{n})=\mu _{1}(T_{1}){\cdots }\mu _{n}(T_{n})\,$

   besitzt.
2. /Fakt
3. /Fakt

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei ${}T\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine messbare Teilmenge und es sei

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n-1}$

eine surjektive lineare Abbildung derart, dass für alle ${}x\in \mathbb {R} ^{n-1}$ die Menge ${}T\cap \varphi ^{-1}(x)$ abzählbar sei. Zeige

${}\lambda ^{n}(T)=0\,.$

Lösung Teilmenge/R^n/Projektion mit abzählbaren Fasern/0/Aufgabe/Lösung

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (5 (2+2+1) Punkte)

Die Grundfläche eines Kochtopfes sei eine Kreisscheibe mit Radius ${}13$ cm, der Topf sei ${}10$ cm hoch und auf die Höhe von ${}7{,}7$ cm mit Wasser gefüllt. Eine Kartoffel wird in den Topf geworfen und taucht voll unter, wobei das Wasser auf eine Höhe von ${}8{,}8$ cm ansteigt.

a) Berechne das Volumen der Kartoffel (rechne mit ${}\pi =3{,}14$; Einheit nicht vergessen)!

b) Welche maßtheoretischen Gesetzmäßigkeiten wurden bei der Berechnung von a) verwendet?

c) Handelt es sich um eine große oder um eine kleine Kartoffel?

Lösung

a) Das Wasser steigt um ${}1{,}1$ cm, daher ist das Volumen der Kartoffel gleich

${}13\cdot 13\cdot 3{,}14\cdot 1{,}1=169\cdot 3{,}14\cdot 1{,}1=169\cdot 3{,}454=583{,}726\,$

(in Kubikzentimetern).

b) Es wurde dabei die Formel für die Kreisfläche (für die Grundfläche des Topfes), die Produktformel für das Maß einer Produktmenge und das Additivitätsprinzip für disjunkte Teilmengen angewendet.

c) Wegen ${}8^{3}=512$ ist die Kartoffel volumengleich zu einem Würfel, dessen Kantenlänge größer als ${}8$ cm ist. Die Kartoffel ist also ziemlich groß.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei

$f\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R}$

eine integrierbare Funktion. Zeige, dass es zu jedem ${}\epsilon >0$ ein ${}r\in \mathbb {R} _{+}$ derart gibt, dass

${}\int _{\mathbb {R} ^{n}\setminus B\left(0,r\right)}fd\lambda ^{n}\leq \epsilon \,$

ist

Lösung

Wir können ${}f\geq 0$ annehmen. Es ist ${}\int _{\mathbb {R} ^{n}}fd\lambda ^{n}=a$ eine reelle Zahl und die Bälle ${}B\left(0,r\right)$ schöpfen ${}\mathbb {R} ^{n}$ aus und somit schöpfen die Subgraphen zu diesen Bällen den gesamten Subgraphen aus, wobei ${}\int _{B}\left(0,r\right)fd\lambda ^{n}$ für ${}r\rightarrow \infty$ nach Fakt ***** gegen ${}a$ konvergiert. Die Differenz zu ${}a$ wird also beliebig klein, und diese ist gleich ${}\int _{\mathbb {R} ^{n}\setminus B\left(0,r\right)}fd\lambda ^{n}$.

Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass die drei eindimensionalen Mannigfaltigkeiten

$S^{1}={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid \vert {(x,y)}\vert =1\right\}},\,\,\mathbb {R} \,{\text{ und }}\,\mathbb {R} \setminus \{0\}$

paarweise nicht homöomorph sind.

Lösung

Als abgeschlossene beschränkte Teilmenge des ${}\mathbb {R} ^{2}$ ist der Einheitskreis kompakt (Satz von Heine-Borel). Die reelle Gerade ${}\mathbb {R}$ und ${}\mathbb {R} \setminus \{0\}$ sind hingegen nicht kompakt, da sie unbeschränkte Teilmengen von ${}\mathbb {R}$ sind. Also ist ${}S^{1}\not \cong \mathbb {R} ,\,\mathbb {R} \setminus \{0\}$.

Die reelle Gerade ist zusammenhängend, wie aus dem Zwischenwertsatz folgt. Dagegen ist ${}\mathbb {R} \setminus \{0\}$ nicht zusammenhängend, da man

${}\mathbb {R} _{+}=(\mathbb {R} \setminus \{0\})\cap [0,\infty ]=(\mathbb {R} \setminus \{0\})\cap \,]0,\infty ]\,$

schreiben kann, sodass man eine sowohl offene als auch abgeschlossene nichtleere Teilmenge erhält. Also ist ${}\mathbb {R} \,\not \cong \mathbb {R} \setminus \{0\}$.

Aufgabe (9 Punkte)

Es sei ${}M\neq \emptyset$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit der Dimension ${}n$. Zeige, dass es eine Kette von abgeschlossenen Untermannigfaltigkeiten

${}M_{0}\subseteq M_{1}\subseteq M_{2}\subseteq \ldots \subseteq M_{n-1}\subseteq M_{n}=M\,$

derart gibt, dass die abgeschlossene Untermannigfaltigkeit ${}M_{i}$ die Dimension ${}i$ besitzt.

Lösung

Es sei ${}P\in M$ ein Punkt und ${}P\in U$ eine offene Kartenumgebung zusammen mit einer Karte

$\alpha \colon U\longrightarrow V\subseteq \mathbb {R} ^{n},$

wobei ${}V=B(0,3)$ die offene Kugel mit Mittelpunkt ${}0$ und Radius ${}3$ sei und wobei ${}\alpha (P)=0$ gelte. Für ${}i=1,\ldots ,n-1$ betrachten wir

$B_{i}={\left\{x\in V\mid (x_{1}-1)^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}=1,\,x_{i+2}=0,\,x_{i+3}=0,\ldots ,x_{n}=0\right\}}.$

Es ist also ${}B_{n-1}$ die Kugeloberfläche mit Mittelpunkt ${}(1,0,\ldots ,0)$ und Radius ${}1$, ${}B_{n-2}$ ist darin der durch ${}x_{n}=0$ definierte „Äquator“ u.s.w. Man erhält ${}B_{i}$ aus ${}B_{i+1}$, indem man zusätzlich noch ${}x_{i+2}=0$ setzt. Daher liegt eine absteigende Kette von abgeschlossenen Teilmengen

$B_{n-1}\supseteq B_{n-2}\supseteq \ldots \supseteq B_{1}\supseteq B_{0}$

vor

(${}B_{0}$ besteht aus den beiden Punkten ${}(\pm 1,0,\ldots ,0)$). Wir fassen ${}B_{i}$ als die Faser über dem Nullpunkt der Abbildung

$\varphi _{i}\colon V\longrightarrow \mathbb {R} ^{n-i},\,(x_{1},\ldots ,x_{n})\longmapsto ((x_{1}-1)^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}-1,x_{i+2},\ldots ,x_{n}),$

auf. Die Jacobimatrix dieser Abbildung ist

${\begin{pmatrix}2x_{1}-2&2x_{2}&\ldots &2x_{i+1}&2x_{i+2}&\ldots &2x_{n-1}&2x_{n}\\0&0&\ldots &0&1&0&\ldots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&0&\ldots &\ldots &\ldots &0&1&0\\0&0&\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &0&1\end{pmatrix}}.$

Der Rang dieser Matrix ist nur bei ${}x_{1}=1,\,x_{2}=\cdots =x_{i+1}=0$ kleiner als ${}n-i$, ein solcher Punkt liegt also nicht auf ${}B_{i}$. Das bedeutet, dass die Abbildung ${}\varphi _{i}$ in der Faser ${}B_{i}$ regulär ist, sodass ${}B_{i}$ aufgrund des Satzes über implizite Abbildungen eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit von ${}V$ der Dimension ${}i$ ist.

Wir setzen nun ${}M_{i}=\alpha ^{-1}(B_{i})$ für ${}i=1,\ldots ,n-1$ und ${}M_{n}=M$. Da die ${}B_{i}$ kompakt sind, sind die ${}M_{i}$ auch abgeschlossene Teilmengen in ${}M$. Da die Bedingung für eine abgeschlossene Mannigfaltigkeit eine lokale Eigenschaft ist, handelt es sich um abgeschlossene Untermannigfaltigkeiten von ${}M$.

Aufgabe (6 Punkte)

Zeige, dass die Menge

${}M={\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\mid x^{2}+y^{4}+z^{6}=1\right\}}\,$

eine zweidimensionale kompakte differenzierbare Mannigfaltigkeit ist.

Lösung

Wir betrachten die differenzierbare Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y,z)\longmapsto x^{2}+y^{4}+z^{6}-1.$

Die Menge ${}M$ ist die Faser von ${}\varphi$ über ${}0$. Es ist

$\left(D\varphi \right)_{(x,y,z)}=(2x,4y^{3},6z^{5}).$

Diese Ableitung ist nur bei ${}(x,y,z)=(0,0,0)$ gleich ${}(0,0,0)$, und dies ist kein Punkt von ${}M$, sodass ${}\varphi$ in jedem Punkt von ${}M$ regulär ist. Daher liegt nach dem Satz über implizite Abbildungen eine zweidimensionale Mannigfaltigkeit vor.

Als Faser einer stetigen Abbildung ist ${}M$ eine abgeschlossene Teilmenge von ${}\mathbb {R} ^{3}$. Ferner ist ${}M$ beschränkt. Für ${}(x,y,z)\in M$ ist nämlich ${}\vert {x}\vert ,\vert {y}\vert ,\vert {z}\vert \leq 1$, da andernfalls ${}x^{2}+y^{4}+z^{6}>1$ wäre. Dies impliziert die Kompaktheit.

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (5 Punkte)

Wir betrachten die Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(x,y,z)\longmapsto (xyz^{2},xy-z^{3}).$

Berechne die Matrix der Abbildung

$\bigwedge ^{2}T_{P}(\varphi )\colon \bigwedge ^{2}T_{P}\mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \bigwedge ^{2}T_{\varphi (P)}\mathbb {R} ^{2}$

im Punkt ${}P=(1,3,5)$ bezüglich einer geeigneten Basis.

Lösung

Die Jacobimatrix von ${}\varphi$ ist allgemein

${\begin{pmatrix}yz^{2}&xz^{2}&2xyz\\y&x&-3z^{2}\end{pmatrix}}.$

Für den Punkt ${}P=(1,3,5)$ liegt daher die Jacobimatrix

${\begin{pmatrix}75&25&30\\3&1&-75\end{pmatrix}}$

vor. Diese Matrix beschreibt die lineare Abbildung

$L\colon T_{P}\mathbb {R} ^{3}\cong \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow T_{\varphi (P)}\mathbb {R} ^{2}\cong \mathbb {R} ^{2}$

bezüglich der Standardbasen. Wir bestimmen die Matrixdarstellung für die Abbildung

$\bigwedge ^{2}L\colon \bigwedge ^{2}\mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \bigwedge ^{2}\mathbb {R} ^{2}$

bezüglich der Basen ${}e_{1}\wedge e_{2},\,e_{1}\wedge e_{3}$ , ${}e_{2}\wedge e_{3}$ (links) und ${}e_{1}\wedge e_{2}$ (rechts). Dazu müssen wir die Bilder dieser Dachprodukte ausrechnen. Es ist

${}{\begin{aligned}(\bigwedge ^{2}L)(e_{1}\wedge e_{2})&=L(e_{1})\wedge L(e_{2})\\&=(75e_{1}+3e_{2})\wedge (25e_{1}+1e_{2})\\&=75e_{1}\wedge e_{2}+75e_{2}\wedge e_{1}\\&=75e_{1}\wedge e_{2}-75e_{1}\wedge e_{2}\\&=0,\end{aligned}}$

${}{\begin{aligned}(\bigwedge ^{2}L)(e_{1}\wedge e_{3})&=L(e_{1})\wedge L(e_{3})\\&=(75e_{1}+3e_{2})\wedge (30e_{1}-75e_{2})\\&=-75^{2}e_{1}\wedge e_{2}+90e_{2}\wedge e_{1}\\&=(-5625-90)e_{1}\wedge e_{2}\\&=-5715e_{1}\wedge e_{2},\end{aligned}}$

und

${}{\begin{aligned}(\bigwedge ^{2}L)(e_{2}\wedge e_{3})&=L(e_{2})\wedge L(e_{3})\\&=(25e_{1}+1e_{2})\wedge (30e_{1}-75e_{2})\\&=-1875e_{1}\wedge e_{2}+30e_{2}\wedge e_{1}\\&=-1905e_{1}\wedge e_{2}.\end{aligned}}$

Die beschreibende Matrix ist also

$\left(0,-5715,-1905\right).$

Aufgabe (7 Punkte)

Es sei ${}M$ eine ${}n$-dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit und ${}P\in M$ ein Punkt. Zeige, dass es eine Mannigfaltigkeit mit Rand ${}N$ gibt, deren Rand ${}\partial N$ diffeomorph zur ${}(n-1)$-dimensionalen Sphäre ${}S^{n-1}$ ist und derart, dass ${}M\setminus \{P\}$ und ${}N\setminus \partial N$ zueinander diffeomorph sind.

Lösung

Es sei ${}P\in U\subseteq M$ ein offenes Kartengebiet mit der Karte

$\alpha \colon U\longrightarrow V\subseteq \mathbb {R} ^{n}.$

Wir können davon ausgehen, dass ${}\alpha (P)$ der Nullpunkt ist und das ${}V$ der offene Ball mit Radius ${}3$ ist. Es sei

$\varphi \colon U{\left(0,3\right)}\setminus \{0\}\longrightarrow U{\left(0,3\right)}\setminus B\left(0,1\right)$

ein Diffemorphismus, der auf ${}U{\left(0,3\right)}\setminus U{\left(0,2\right)}$ die Identität ist und der ${}U{\left(0,2\right)}\setminus \{0\}$ auf ${}U{\left(0,2\right)}\setminus B\left(0,1\right)$ abbildet. Eine solche Abbildung erhält man, wenn man mit der Funktion

$h\colon [0,3]\longrightarrow [0,3]$

mit

${}h(r)={\begin{cases}1+{\frac {1}{4}}r^{2}{\text{ für }}0\leq r\leq 2\,,\\r{\text{ für }}r>2\,,\end{cases}}\,$

die Punkte streckt. Dabei kann man das Bild des Diffeomorphismus ${}\varphi$, also ${}U{\left(0,3\right)}\setminus B\left(0,1\right)$, als

${}U{\left(0,3\right)}\setminus B\left(0,1\right)\subset U{\left(0,3\right)}\setminus U{\left(0,1\right)}\,$

auffassen, wobei die größere Menge eine Mannigfaltigkeit mit dem Rand ${}S{\left(0,1\right)}$ ist. Es sei ${}N$ die Mannigfaltigkeit, die entsteht, wenn man ${}U$ durch ${}U{\left(0,3\right)}\setminus U{\left(0,1\right)}$ ersetzt. Die Sphäre wird dabei zum Rand von ${}N$. Den Diffeomorphismus ${}\varphi$ man man zu einem Diffeomorphismus

$M\setminus \{P\}\longrightarrow N\setminus \partial N$

fortsetzen, da auf dem offenen Übergang ${}U{\left(0,3\right)}\setminus U{\left(0,2\right)}$ die Identität vorliegt.

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung