Kurs:Bündel, Garben und Kohomologie (Osnabrück 2019-2020)/Arbeitsblatt 1
In der folgenden Aufgabe verwenden wir die Schreibweise .
Aufgabe
Bestimme zum Vektorbündel
lineare Trivialisierungen oberhalb von , und , also von abhängige Basen oberhalb von u.s.w. Bestimme die Basiswechselabbildungen auf .
Aufgabe
Aufgabe
Zeige, dass in Beispiel 1.2 auf durch
ein (von den Parametern abhängiger) Vektor im Lösungsraum definiert ist, der auf ganz polynomial fortsetzbar ist, obwohl die Koeffizientenfunktionen und nur auf definiert sind und nicht fortsetzbar sind. Ist überall Teil einer Basis?
Aufgabe
Bestimme in Beispiel 1.3 die Parameter, für die der Lösungsraum ein-, zwei- oder dreidimensional ist. Sind diese Mengen offen oder abgeschlossen?
Aufgabe
Zeige, dass über einem beliebigen Körper zu linear unabhängigen Vektoren und das Kreuzprodukt zusammen mit und keine Basis des bilden müssen.
Aufgabe
Betrachte den topologischen Raum
mit der Projektion
- Zeige, dass jede Faser von homöomorph zu einer reellen Geraden ist.
- Zeige, dass durch
eine stetige Abbildung mit
gegeben ist.
- Definiere einen Homöomorphismus zwischen und .
- Zeige, dass es keine polynomiale Abbildung
mit
gibt.
Aufgabe
Zeige, dass ein reelles Vektorbündel über einem Punkt (also einem einpunktigen topologischen Raum) das gleiche ist wie ein reeller endlichdimensionaler Vektorraum.
Aufgabe
Es sei ein reelles Vektorbündel über einem topologischen Raum . Zeige, dass genau dann ein Hausdorffraum ist, wenn ein Hausdorffraum ist.
Aufgabe
Es sei ein topologischer Raum. Zeige, dass man die Identität als ein reelles Vektorbündel vom Rang auffassen kann.
Aufgabe
Es sei ein topologischer Raum. Zeige, dass ein Homomorphismus der (trivialen) Vektorbündel
das gleiche ist wie eine - Matrix, der Einträge stetige Funktionen von nach sind.
Aufgabe
Es sei offen und eine stetig differenzierbare Abbildung. Zeige, dass durch das totale Differential in der Form
ein Homomorphismus des Vektorbündels in das Vektorbündel gegeben ist.
Aufgabe
Zeige, dass es eine Homöomorphie des Tangentialbündels der - Sphäre mit dem Produkt gibt.
Was hat die vorstehende Aufgabe mit Beispiel 1.1 zu tun?
Aufgabe
Man gebe ein Beispiel einer differenzierbaren Kurve
derart, dass der Grenzwert existiert, dass aber der Grenzwert in nicht existiert.
Aufgabe
Zeige, dass die Abbildung
für jeden Punkt außerhalb der Einheitskreisscheibe zwei Urbildpunkte, auf dem Einheitskreis einen Urbildpunkt und innerhalb der offenen Einheitskreisscheibe keinen Urbildpunkt besitzt. Man interpretiere dies geometrisch.
Aufgabe
Man gebe ein Beispiel einer injektiven differenzierbaren Abbildung
zwischen zwei differenzierbaren Mannigfaltigkeiten und derart, dass die zugehörige Tangentialabbildung
nicht injektiv ist.
Aufgabe
Man gebe ein Beispiel einer surjektiven differenzierbaren Abbildung
zwischen zwei differenzierbaren Mannigfaltigkeiten und derart, dass die zugehörige Tangentialabbildung
nicht surjektiv ist.
Aufgabe
Seien und differenzierbare Mannigfaltigkeiten und es sei eine differenzierbare Abbildung. Zeige, dass die zugehörige Tangentialabbildung
stetig ist.
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