Kurs:Bündel, Garben und Kohomologie (Osnabrück 2019-2020)/Arbeitsblatt 1

In der folgenden Aufgabe verwenden wir die Schreibweise ${}D(r)={\left\{(r,s,t)\in \mathbb {R} ^{3}\mid r\neq 0\right\}}$ .

Aufgabe

Bestimme zum Vektorbündel

{}L={\left\{(r,s,t,u,v,w)\mid ru+sv+tw=0,\,(r,s,t)\neq (0,0,0)\right\}}\subseteq \mathbb {R} ^{3}\setminus \{0,0,0\}\times \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3}\setminus \{0,0,0\}\,

lineare Trivialisierungen oberhalb von ${}D(r)$ , ${}D(s)$ und ${}D(t)$ , also von ${}r,s,t$ abhängige Basen oberhalb von ${}D(r)$ u.s.w. Bestimme die Basiswechselabbildungen auf ${}D(rs)=D(r)\cap D(s)$ .

Aufgabe

Bestimme zum Vektorbündel

{}L={\left\{(r,s,t,u,v,w)\mid ru+sv+tw=0,\,(r,s,t)\neq (0,0,0)\right\}}\subseteq \mathbb {R} ^{3}\setminus \{0,0,0\}\times \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3}\setminus \{0,0,0\}\,

diejenigen Parameter ${}(r,s,t)$ , für die der Vektor ${}\left(3,\,7,\,4\right)$ zur Faser ${}L_{(r,s,t)}$ gehört.

Aufgabe

Zeige, dass in Beispiel 1.2 auf ${}D(r)$ durch

{}u(r,s,t)={\frac {t}{r}}{\begin{pmatrix}s\\-r\\0\end{pmatrix}}-{\frac {s}{r}}{\begin{pmatrix}t\\0\\-r\end{pmatrix}}\,

ein (von den Parametern abhängiger) Vektor im Lösungsraum definiert ist, der auf ganz ${}\mathbb {R} ^{3}$ polynomial fortsetzbar ist, obwohl die Koeffizientenfunktionen ${}{\frac {t}{r}}$ und ${}-{\frac {s}{r}}$ nur auf ${}D(r)$ definiert sind und nicht fortsetzbar sind. Ist ${}u(r,s,t)$ überall Teil einer Basis?

Aufgabe

Bestimme in Beispiel 1.3 die Parameter, für die der Lösungsraum ${}L_{(a,b,c,d,e,f)}$ ein-, zwei- oder dreidimensional ist. Sind diese Mengen offen oder abgeschlossen?

Aufgabe

Zeige, dass über einem beliebigen Körper ${}K$ zu linear unabhängigen Vektoren ${}u={\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}}$ und ${}v={\begin{pmatrix}d\\e\\f\end{pmatrix}}$ das Kreuzprodukt ${}{\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}d\\e\\f\end{pmatrix}}$ zusammen mit ${}u$ und ${}v$ keine Basis des ${}K^{3}$ bilden müssen.

Aufgabe

Betrachte den topologischen Raum

{}Y:={\left\{(s,t,u,v)\in \mathbb {R} ^{4}\mid su+tv=1\right\}}\,

mit der Projektion

p\colon Y\longrightarrow \mathbb {R} ^{2}\setminus \{(0,0)\}=X,\,(s,t,u,v)\longmapsto (s,t).

Zeige, dass jede Faser von ${}p$ homöomorph zu einer reellen Geraden ist.
Zeige, dass durch
${}\varphi (s,t)=(s,t,u(s,t),v(s,t))={\left(s,t,{\frac {s}{s^{2}+t^{2}}},{\frac {t}{s^{2}+t^{2}}}\right)}\,$

eine stetige Abbildung ${}\varphi \colon X\rightarrow Y$ mit

${}p\circ \varphi =\operatorname {Id} _{X}\,$

gegeben ist.
Definiere einen Homöomorphismus zwischen ${}Y$ und ${}X\times \mathbb {R}$ .
Zeige, dass es keine polynomiale Abbildung ${}\psi \colon X\rightarrow Y$ mit
${}p\circ \psi =\operatorname {Id} _{X}\,$

gibt.

Aufgabe

Zeige, dass ein reelles Vektorbündel über einem Punkt (also einem einpunktigen topologischen Raum) das gleiche ist wie ein reeller endlichdimensionaler Vektorraum.

Aufgabe

Es sei ${}p\colon V\rightarrow X$ ein reelles Vektorbündel über einem topologischen Raum ${}X$ . Zeige, dass ${}V$ genau dann ein Hausdorffraum ist, wenn ${}X$ ein Hausdorffraum ist.

Aufgabe

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum. Zeige, dass man die Identität ${}\operatorname {Id} _{X}\colon X\rightarrow X$ als ein reelles Vektorbündel vom Rang ${}0$ auffassen kann.

Aufgabe

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum. Zeige, dass ein Homomorphismus der (trivialen) Vektorbündel

\varphi \colon X\times \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow X\times \mathbb {R} ^{m}

das gleiche ist wie eine ${}m\times n$ - Matrix, der Einträge stetige Funktionen von ${}X$ nach ${}\mathbb {R}$ sind.

Aufgabe

Es sei ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen und ${}f\colon U\rightarrow \mathbb {R} ^{m}$ eine stetig differenzierbare Abbildung. Zeige, dass durch das totale Differential in der Form

U\times \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow U\times \mathbb {R} ^{m},\,(x,v)\longmapsto (x,\left(Df\right)_{x}(v)),

ein Homomorphismus des Vektorbündels ${}U\times \mathbb {R} ^{n}$ in das Vektorbündel ${}U\times \mathbb {R} ^{m}$ gegeben ist.

Aufgabe

Zeige, dass es eine Homöomorphie des Tangentialbündels ${}T_{S_{1}}$ der ${}1$ - Sphäre ${}S^{1}$ mit dem Produkt ${}S^{1}\times \mathbb {R}$ gibt.

Was hat die vorstehende Aufgabe mit Beispiel 1.1 zu tun?

Aufgabe

Man gebe ein Beispiel einer differenzierbaren Kurve

\gamma \colon [0,1[\longrightarrow S^{1}

derart, dass der Grenzwert ${}\operatorname {lim} _{t\rightarrow 1}\,\gamma (t)$ existiert, dass aber der Grenzwert ${}\operatorname {lim} _{t\rightarrow 1}\,(\gamma (t),T_{t}(\gamma )(1))$ in ${}TS^{1}$ nicht existiert.

Aufgabe

Zeige, dass die Abbildung

TS^{1}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,((a,b),t(-b,a))\longmapsto (a,b)+t(-b,a),

für jeden Punkt ${}(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}$ außerhalb der Einheitskreisscheibe zwei Urbildpunkte, auf dem Einheitskreis einen Urbildpunkt und innerhalb der offenen Einheitskreisscheibe keinen Urbildpunkt besitzt. Man interpretiere dies geometrisch.