Kurs:Elementare Algebra/14/Klausur mit Lösungen

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	${}\sum$
Punkte	3	3	0	1	2	5	6	1	3	3	2	3	1	8	3	4	7	55

Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Eine Einheit in einem Ring ${}R$.
2. Der Realteil einer komplexen Zahl ${}z$.
3. Ein maximales Ideal ${}{\mathfrak {m}}$ in einem kommutativen Ring ${}R$.
4. Der Kern eines Gruppenhomomorphismus

   $\varphi \colon G\longrightarrow H.$

5. Ein Erzeugendensystem ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ eines ${}K$-Vektorraumes ${}V$.
6. Der Grad einer endlichen Körpererweiterung ${}K\subseteq L$.

Lösung

1. Ein Element ${}u\in T$ heißt Einheit, wenn es ein Element ${}v\in R$ mit

   ${}uv=vu=1\,$

   gibt.

2. Zu einer komplexen Zahl ${}z=a+b{\mathrm {i} }$ nennt man ${}a$ den Realteil von ${}z$.
3. Das Ideal ${}{\mathfrak {m}}$ heißt maximal, wenn ${}{\mathfrak {m}}\neq R$ ist und wenn es zwischen ${}{\mathfrak {m}}$ und ${}R$ keine weiteren Ideale gibt.
4. Man nennt das Urbild des neutralen Elementes unter einem Gruppenhomomorphismus ${}\varphi \colon G\rightarrow H$ den Kern von ${}\varphi$.
5. Die Vektoren ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ bilden ein Erzeugendensystem von ${}V$, wenn man jeden Vektor ${}v\in V$ als Linearkombination der ${}v_{i}$ darstellen kann.
6. Bei einer endlichen Körpererweiterung ${}K\subseteq L$ nennt man die ${}K$- (Vektorraum-)Dimension von ${}L$ den Grad der Körpererweiterung.

Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über die Division mit Rest für die ganzen Zahlen.
2. Der Satz über die Norm im Ring der Gaußschen Zahlen.
3. Der Satz über das Minimalpolynom und Irreduzibilität bei einer Körpererweiterung ${}K\subseteq L$.

Lösung

1. Es sei ${}d$ eine fixierte positive natürliche Zahl. Dann gibt es zu jeder ganzen Zahl ${}n$ eine eindeutig bestimmte ganze Zahl ${}q$ und eine eindeutig bestimmte natürliche Zahl ${}r$, ${}0\leq r\leq d-1$, mit

   ${}n=qd+r\,.$

2. Im Ring der Gaußschen Zahlen ist die Normfunktion eine euklidische Funktion.
3. Sei ${}K\subseteq L$ eine Körpererweiterung und sei ${}f\in L$ ein algebraisches Element. Dann gelten folgende Aussagen.
   1. Das Minimalpolynom ${}P$ von ${}f$ über ${}K$ ist irreduzibel.
   2. Wenn ${}Q\in K[X]$ ein normiertes, irreduzibles Polynom mit ${}Q(f)=0$ ist, so handelt es sich um das Minimalpolynom.

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (1 Punkt)

Ist die Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {N} _{+}\times \mathbb {N} _{+}\longrightarrow \mathbb {N} _{+}\times \mathbb {N} _{+}\times \mathbb {N} _{+},\,(a,b)\longmapsto (a+b,ab,a^{b}),$

injektiv oder nicht?

Lösung

Die Abbildung ist nicht injektiv, da wegen

${}2^{4}=16=4^{2}\,$

die beiden Paare ${}(2,4)$ und ${}(4,2)$ unter ${}\varphi$ auf das gleiche Element abgebildet werden.

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}x\in K$ ein Element mit ${}x\neq 1$. Beweise für ${}n\in \mathbb {N}$ durch Induktion die Beziehung

${}\sum _{k=0}^{n}x^{k}={\frac {x^{n+1}-1}{x-1}}\,.$

Lösung

Für ${}n=0$ steht beidseitig ${}1$. Es sei die Gleichung für ein bestimmtes ${}n$ bewiesen. Dann ist

${}{\begin{aligned}\sum _{k=0}^{n+1}x^{k}&=\sum _{k=0}^{n}x^{k}+x^{n+1}\\&={\frac {x^{n+1}-1}{x-1}}+x^{n+1}\\&={\frac {x^{n+1}-1+x^{n+1}(x-1)}{x-1}}\\&={\frac {x^{n+1}-1+x^{n+2}-x^{n+1}}{x-1}}\\&={\frac {x^{n+2}-1}{x-1}},\end{aligned}}$

was die Behauptung für ${}n+1$ ist.

Aufgabe (5 (2+2+1) Punkte)

Es seien ${}a,b\geq 2$ und sei ${}n=ab$.

a) Zeige, dass die beiden Polynome ${}X^{a}-1$ und ${}X^{b}-1$ Teiler des Polynoms ${}X^{n}-1$ sind.

b) Es sei ${}a\neq b$. Ist ${}(X^{a}-1)(X^{b}-1)$ stets ein Teiler von ${}X^{n}-1$

c) Man gebe drei Primfaktoren von ${}2^{30}-1$ an.

Lösung

a) Es ist

${}X^{n}-1={\left(X^{b}\right)}^{a}-1={\left(X^{b}-1\right)}{\left({\left(X^{b}\right)}^{a-1}+{\left(X^{b}\right)}^{a-2}+\cdots +{\left(X^{b}\right)}^{2}+X^{b}+1\right)}\,$

und daher ist ${}X^{b}-1$ (und ebenso ${}X^{a}-1$) ein Teiler von ${}X^{n}-1$.

b) Dies ist nicht der Fall. Für

${}n=8=4\cdot 2\,$

ist

${}X^{8}-1=(X^{4}-1)(X^{4}+1)\,.$

Das Polynom ${}X^{4}+1$ hat keine reelle Nullstelle und ist deshalb kein Vielfaches von ${}X^{2}-1$. Daher ist ${}(X^{4}-1)(X^{2}-1)$ kein Teiler von ${}X^{8}-1$.

c) Da ${}2,3,5$ Teiler von ${}30$ sind, ergibt sich aus Teil a), dass ${}2^{2}-1=3,\,2^{3}-1=7$ und ${}2^{5}-1=31$ Teiler von ${}2^{30}-1$ sind. Daher sind ${}3,7,31$ Primteiler von ${}2^{30}-1$.

Aufgabe (6 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und es seien ${}n$ verschiedene Elemente ${}a_{1},\ldots ,a_{n}\in K$ und ${}n$ Elemente ${}b_{1},\ldots ,b_{n}\in K$ gegeben. Zeige, dass es ein eindeutiges Polynom ${}P\in K[X]$ vom Grad ${}\leq n-1$ derart gibt, dass ${}P(a_{i})=b_{i}$ für alle ${}i$ ist.

Lösung

Wir beweisen die Existenz und betrachten zuerst die Situation, wo ${}b_{j}=0$ ist für alle ${}j\neq i$ für ein festes ${}i$. Dann ist

$(X-a_{1})\cdots (X-a_{i-1})(X-a_{i+1})\cdots (X-a_{n})$

ein Polynom vom Grad ${}n-1$, das an den Stellen ${}a_{1},\ldots ,a_{i-1},a_{i+1},\ldots ,a_{n}$ den Wert ${}0$ hat. Das Polynom

${\frac {b_{i}}{(a_{i}-a_{1})\cdots (a_{i}-a_{i-1})(a_{i}-a_{i+1})\cdots (a_{i}-a_{n})}}(X-a_{1})\cdots (X-a_{i-1})(X-a_{i+1})\cdots (X-a_{n})$

hat an diesen Stellen ebenfalls eine Nullstelle, zusätzlich aber noch bei ${}a_{i}$ den Wert ${}b_{i}$. Nennen wir dieses Polynom ${}P_{i}$. Dann ist

${}P=P_{1}+P_{2}+\cdots +P_{n}\,$

das gesuchte Polynom. An der Stelle ${}a_{i}$ gilt ja

${}P_{j}(a_{i})=0\,$

für ${}j\neq i$ und ${}P_{i}(a_{i})=b_{i}$.

Die Eindeutigkeit folgt aus Fakt *****.

Aufgabe (1 Punkt)

Finde eine Darstellung der ${}1$ für das Zahlenpaar ${}11$ und ${}13$.

Lösung

Es ist

${}6\cdot 11-5\cdot 13=66-65=1\,.$

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme den Exponenten zu ${}2$ von ${}203264$.

Lösung

Es ist

${}{\begin{aligned}203264&=2\cdot 101632\\&=2^{2}\cdot 50816\\&=2^{3}\cdot 25408\\&=2^{4}\cdot 12704\\&=2^{5}\cdot 6352\\&=2^{6}\cdot 3176\\&=2^{7}\cdot 1588\\&=2^{8}\cdot 794\\&=2^{9}\cdot 397.\end{aligned}}$

Da ${}397$ ungerade ist, ist der Exponent zu ${}2$ von ${}203264$ gleich ${}9$.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}z$ eine natürliche Zahl. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.

1. ${}z$ ist teilerfremd zu ${}10$.
2. ${}z$ ist teilerfremd zu ${}10^{k}$ für ein ${}k\in \mathbb {N} _{+}$.
3. ${}z$ ist teilerfremd zu ${}10^{k}$ für jedes ${}k\in \mathbb {N} _{+}$.
4. Die Endziffer von ${}z$ im Zehnersystem ist ${}1,3,7$ oder ${}9$.

Lösung

Wegen

${}10^{k}=2^{k}\cdot 5^{k}\,$

bedeuten (1), (2) und (3) jeweils, dass in der Primfaktorzerlegung von ${}z$ weder ${}2$ noch ${}5$ vorkommt. Wegen

${}z=10v+r\,$

mit der Endziffer ${}r$ zwischen ${}0$ und ${}9$ ist ${}z$ ein Vielfaches von ${}2$ (bzw. von ${}5$) genau dann, wenn das für die Endziffer ${}r$ gilt. Dies sind aber genau die geraden Ziffern oder die ${}5$. Dass ${}z$ weder ein Vielfaches der ${}2$ noch der ${}5$ ist, ist somit äquivalent dazu, dass die Endziffer gleich ${}1,3,7$ oder ${}9$ ist.

Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme das inverse Element zu ${}{\overline {8}}$ in ${}\mathbb {Z} /(17)$.

Lösung

Der euklidische Algorithmus liefert direkt

${}17=2\cdot 8+1\,.$

Somit ist

${}{\begin{aligned}1&=17-2\cdot 8\\\end{aligned}}$

Daher ist

${}-2=15\,$

das inverse Element zu ${}8$ in ${}\mathbb {Z} /(17)$.

Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass das lineare Gleichungssystem

${\begin{matrix}5x-7y-4z&=&0\\2x+y-3z&=&0\\7x+6y-2z&=&0\,\end{matrix}}$

nur die triviale Lösung ${}(0,0,0)$ besitzt.

Lösung

Wir rechnen

${}II'=II-{\frac {2}{5}}I={\frac {19}{5}}y-{\frac {7}{5}}z=0\,$

und

${}III'=III-{\frac {7}{5}}I={\frac {79}{5}}y+{\frac {18}{5}}z=0\,.$

Somit ist

${}5\cdot 79\cdot II'-5\cdot 19\cdot III'=(-7\cdot 79-18\cdot 19)z=-895z=0\,.$

Daraus ergibt sich ${}z=0$, aus ${}II'$ ergibt sich ${}y=0$ und aus ${}I$ ergibt sich ${}x=0$.

Aufgabe (1 Punkt)

Erläutere, warum das Achsenkreuz im ${}\mathbb {R} ^{2}$ kein Untervektorraum ist

Lösung

Offensichtlich gehören die Vektoren ${}e_{1},e_{2}$ zum Achsenkreuz, die Summe dieser beiden Vektoren jedoch nicht. Folglich ist das Achsenkreuz kein Untervektorraum

Aufgabe (8 Punkte)

Beweise das Basisaustauschlemma.

Lösung

Wir zeigen zuerst, dass die neue Familie ein Erzeugendensystem ist. Zunächst kann man wegen

${}w=\sum _{i=1}^{n}s_{i}v_{i}\,$

und ${}s_{k}\neq 0$ den Vektor ${}v_{k}$ als

${}v_{k}={\frac {1}{s_{k}}}w-\sum _{i=1}^{k-1}{\frac {s_{i}}{s_{k}}}v_{i}-\sum _{i=k+1}^{n}{\frac {s_{i}}{s_{k}}}v_{i}\,$

schreiben. Es sei nun ${}u\in V$ beliebig vorgegeben. Dann kann man schreiben

${}{\begin{aligned}u&=\sum _{i=1}^{n}t_{i}v_{i}\\&=\sum _{i=1}^{k-1}t_{i}v_{i}+t_{k}v_{k}+\sum _{i=k+1}^{n}t_{i}v_{i}\\&=\sum _{i=1}^{k-1}t_{i}v_{i}+t_{k}{\left({\frac {1}{s_{k}}}w-\sum _{i=1}^{k-1}{\frac {s_{i}}{s_{k}}}v_{i}-\sum _{i=k+1}^{n}{\frac {s_{i}}{s_{k}}}v_{i}\right)}+\sum _{i=k+1}^{n}t_{i}v_{i}\\&=\sum _{i=1}^{k-1}{\left(t_{i}-t_{k}{\frac {s_{i}}{s_{k}}}\right)}v_{i}+{\frac {t_{k}}{s_{k}}}w+\sum _{i=k+1}^{n}{\left(t_{i}-t_{k}{\frac {s_{i}}{s_{k}}}\right)}v_{i}.\end{aligned}}$

Zum Nachweis der linearen Unabhängigkeit nehmen wir zwecks Notationsvereinfachung ${}k=1$ an. Es sei

${}t_{1}w+\sum _{i=2}^{n}t_{i}v_{i}=0\,$

eine Darstellung der Null. Dann ist

${}0=t_{1}w+\sum _{i=2}^{n}t_{i}v_{i}=t_{1}{\left(\sum _{i=1}^{n}s_{i}v_{i}\right)}+\sum _{i=2}^{n}t_{i}v_{i}=t_{1}s_{1}v_{1}+\sum _{i=2}^{n}{\left(t_{1}s_{i}+t_{i}\right)}v_{i}\,.$

Aus der linearen Unabhängigkeit der Ausgangsfamilie folgt insbesondere ${}t_{1}s_{1}=0$ und wegen ${}s_{1}\neq 0$ ergibt sich ${}t_{1}=0$. Deshalb ist ${}\sum _{i=2}^{n}t_{i}v_{i}=0$ und daher gilt ${}t_{i}=0$ für alle ${}i$.

Aufgabe (3 Punkte)

Ein angeordneter Körper ${}K$ enthalte die Wurzeln ${}{\sqrt[{3}]{2}}$ und ${}{\sqrt[{7}]{2}}$. Zeige, dass ${}K$ auch ${}{\sqrt[{21}]{2}}$ enthält.

Lösung

Aus

${}1\cdot 7-2\cdot 3=1\,$

erhält man durch Division durch ${}21$ die Gleichung

${}{\frac {1}{3}}-2\cdot {\frac {1}{7}}={\frac {1}{21}}\,.$

Somit ist

${}{\begin{aligned}{\sqrt[{21}]{2}}&=2^{\frac {1}{21}}\\&=2^{{\frac {1}{3}}-2\cdot {\frac {1}{7}}}\\&=2^{\frac {1}{3}}\cdot 2^{-2\cdot {\frac {1}{7}}}\\&=2^{\frac {1}{3}}\cdot {\left(2^{\frac {1}{7}}\right)}^{-2}\\&={\sqrt[{3}]{2}}\cdot {\left({\sqrt[{7}]{2}}\right)}^{-2}.\end{aligned}}$

Da nach Voraussetzung der Körper die beiden Zahlen ${}{\sqrt[{3}]{2}}$ und ${}{\sqrt[{7}]{2}}$ enthält, muss er auch das inverse Element ${}{\left({\sqrt[{7}]{2}}\right)}^{-1}$ und somit auch das angegebene Produkt enthalten.

Aufgabe (4 Punkte)

Forme die Gleichung

${}x^{4}+3x^{3}-5x^{2}+2x-7=0\,$

in eine äquivalente Gleichung der Form

${}y^{4}+b_{2}y^{2}+b_{1}y+b_{0}=0\,$

mit ${}b_{i}\in \mathbb {Q}$ um.

Lösung

Wir setzen ${}x=y-{\frac {3}{4}}$ an und drücken das Polynom bzw. die Gleichung in ${}y$ aus. Es ist

${}{\begin{aligned}x^{4}&={\left(y-{\frac {3}{4}}\right)}^{4}\\&=y^{4}-4{\frac {3}{4}}y^{3}+6{\frac {9}{16}}y^{2}-4{\frac {27}{64}}y+{\frac {81}{256}}\\&=y^{4}-3y^{3}+{\frac {27}{8}}y^{2}-{\frac {27}{16}}y+{\frac {81}{256}},\end{aligned}}$

${}{\begin{aligned}3x^{3}&=3{\left(y-{\frac {3}{4}}\right)}^{3}\\&=3{\left(y^{3}-3{\frac {3}{4}}y^{2}+3{\frac {9}{16}}y-{\frac {27}{64}}\right)}\\&=3y^{3}-{\frac {27}{4}}y^{2}+{\frac {81}{16}}y-{\frac {81}{64}},\end{aligned}}$

${}-5x^{2}=-5{\left(y-{\frac {3}{4}}\right)}^{2}=-5{\left(y^{2}-{\frac {3}{2}}y+{\frac {9}{16}}\right)}=-5y^{2}+{\frac {15}{2}}y-{\frac {45}{16}}\,$

und

${}2x=2{\left(y-{\frac {3}{4}}\right)}=2y-{\frac {3}{2}}\,.$

Insgesamt ergibt sich also

${}{\begin{aligned}x^{4}+3x^{3}-5x^{2}+2x-7&=y^{4}+{\left({\frac {27}{8}}-{\frac {27}{4}}-5\right)}y^{2}+{\left(-{\frac {27}{16}}+{\frac {81}{16}}+{\frac {15}{2}}+2\right)}y+{\left({\frac {81}{256}}-{\frac {81}{64}}-{\frac {45}{16}}-{\frac {3}{2}}-7\right)}\\&=y^{4}-{\frac {67}{8}}y^{2}+{\frac {103}{8}}y-{\frac {3139}{256}}.\,\end{aligned}}$

Eine äquivalente Gleichung ist also

${}y^{4}-{\frac {67}{8}}y^{2}+{\frac {103}{8}}y-{\frac {3139}{256}}=0\,.$

Aufgabe (7 (3+1+3) Punkte)

Es sei ${}\epsilon ={\frac {-1+{\sqrt {3}}{\mathrm {i} }}{2}}$ die dritte komplexe Einheitswurzel. Wir betrachten die Körpererweiterung

${}\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} [\epsilon {\sqrt[{3}]{7}}]=L\subseteq {\mathbb {C} }\,.$

1. Bestimme das Minimalpolynom von ${}\epsilon {\sqrt[{3}]{7}}$.
2. Zeige, dass der Grad der Körpererweiterung ${}\mathbb {Q} \subseteq L$ gleich ${}3$ ist.
3. Zeige, dass die komplexe Konjugation nicht ${}L$ in ${}L$ überführt.

Lösung

1. Es ist

   ${}{\left(\epsilon {\sqrt[{3}]{7}}\right)}^{3}=\epsilon ^{3}7=7\,.$

   Daher annulliert ${}X^{3}-7$ das Element. Als Minimalpolynom kommt nur ein Teiler (mit rationalen Koeffizienten) dieses Polynoms in Frage. Die andern komplexen Nullstellen dieses Polynoms sind ${}{\sqrt[{3}]{7}}$ und ${}\epsilon ^{2}{\sqrt[{3}]{7}}$. Die Faktorzerlegung dieses Polynoms über ${}{\mathbb {C} }$ ist daher

   ${}X^{3}-7={\left(X-{\sqrt[{3}]{7}}\right)}{\left(X-\epsilon {\sqrt[{3}]{7}}\right)}{\left(X-\epsilon ^{2}{\sqrt[{3}]{7}}\right)}\,.$

   Die echten Teiler des Polynoms, die den mittleren Linearfaktor als Faktor enthalten, sind

   ${}{\left(X-{\sqrt[{3}]{7}}\right)}{\left(X-\epsilon {\sqrt[{3}]{7}}\right)}=X^{2}-{\left(1+\epsilon \right)}{\sqrt[{3}]{7}}X+\epsilon 7^{\frac {2}{3}}\,$

   und

   ${}{\left(X-\epsilon {\sqrt[{3}]{7}}\right)}{\left(X-\epsilon ^{2}{\sqrt[{3}]{7}}\right)}=X^{2}-{\left(\epsilon +\epsilon ^{2}\right)}{\sqrt[{3}]{7}}X+7^{\frac {2}{3}}=X^{2}+{\sqrt[{3}]{7}}X+7^{\frac {2}{3}}\,,$

   die beide keine rationalen Koeffizienten besitzen. Also ist ${}X^{3}-7$ das Minimalpolynom.

2. Der Grad der Körpererweiterung ist ${}3$, da nach Fakt ***** die Isomorphie

   ${}\mathbb {Q} [\epsilon {\sqrt[{3}]{7}}]\cong \mathbb {Q} [X]/(X^{3}-7)\,$

   gilt und somit der Grad ${}3$ vorliegt.

3. Die konjugiert-komplexe Zahl zu ${}\epsilon$ ist ${}\epsilon ^{2}$ und somit ist die konjugiert-komplexe Zahl von ${}\epsilon {\sqrt[{3}]{7}}$ gleich ${}\epsilon ^{2}{\sqrt[{3}]{7}}$. Wir behaupten, dass diese Zahl nicht zu ${}L$ gehört. Nehmen wir an, sie würde doch dazugehören. Dann ist auch

   ${}\epsilon {\sqrt[{3}]{7}}+\epsilon ^{2}{\sqrt[{3}]{7}}={\left(\epsilon +\epsilon ^{2}\right)}{\sqrt[{3}]{7}}=-{\sqrt[{3}]{7}}\in L\,$

   und somit würde auch ${}{\sqrt[{3}]{7}}\in L$ gelten. Es ist aber

   ${}L\cap \mathbb {R} =\mathbb {Q} \,,$

   da der Durchschnitt ein Zwischenkörper ist, dessen Grad ein Teiler des Gesamtgrades sein muss. Wegen ${}\epsilon {\sqrt[{3}]{7}}\notin \mathbb {R}$ ist aber der Grad ${}3$ ausgeschlossen und der Grad muss ${}1$ sein. Dies ist ein Widerspruch, da ${}{\sqrt[{3}]{7}}$ reell, aber nicht rational ist.