Kurs:Elemente der Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Arbeitsblatt 14/kontrolle
- Übungsaufgaben
Es sei ein Körper und sei der Polynomring über . Es sei ein fixiertes Element. Zeige, dass der Restklassenring zu isomorph ist.
![{\displaystyle {}K[X]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7861df9df3d7463835d927c4d0d4c27f5e2f8416)
![{\displaystyle {}K[X]/(X-a)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a60ea993f44b3248d4f692632e4a7368ce02c261)
Es sei ein Körper und ein Polynom vom Grad . Zeige, dass jedes Element im Restklassenring durch ein Polynom vom Grad repräsentiert werden kann.
![{\displaystyle {}P\in K[X]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4692e3ffcbd66e900f8975113ff3f32f1cabc21a)
![{\displaystyle {}R=K[X]/(P)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/251873f9f4643df359c1142317b3b11df0abd493)
Berechne in das Produkt
![{\displaystyle {}\mathbb {Q} [X]/(X^{5})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe43cb19ee8be2ec4ac906d776998a5382a57f66)
Berechne in
![{\displaystyle \mathbb {Z} /(7)[X]/(X^{3}+4X^{2}+X+5)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9aeba313312b4ee42cbc8fc4702cf0a71326c4e)
( bezeichne die Restklasse von ).
Zeige, dass die komplexen Zahlen die Restklassendarstellung
![{\displaystyle {}{\mathbb {C} }\cong \mathbb {R} [X]/(X^{2}+1)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09051e119d1799fd5aed514bd280592764ef33b3)
besitzen.
Vereinfache den Restklassenring .
![{\displaystyle {}\mathbb {Z} [X]/(3,11X^{2}-4)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9111491447286d34ae52c23bf4eec35c57797e86)
Berechne im Restklassenring das Produkt
![{\displaystyle {}\mathbb {Z} [X]/(6X)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19e5d4120f34e6824339cd700068710e755080bb)
Lucy Sonnenschein kennt von einer natürlichen Zahl nur den Rest bei Division durch . Welche der Reste von bei Division durch die folgenden Zahlen kann sie daraus erschließen?
- ,
- ,
- ,
- ,
- ,
- ,
- ,
- ,
- .
Man konstruiere zu jedem einen kommutativen Ring der Charakteristik derart, dass es in ein Element der Ordnung (bezüglich der additiven Struktur) gibt.
Man konstruiere einen kommutativen Ring , in dem die mindestens drei Quadratwurzeln besitzt.
Man gebe zu jedem einen kommutativen Ring und ein Element , , an, für das und gilt.
Bestimme den Kern und das Bild des Einsetzungshomomorphismus
![{\displaystyle \varphi \colon \mathbb {Q} [X]\longrightarrow \mathbb {R} ,\,X\longmapsto {\sqrt {5}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c55ad2c1634223d208d645e426152a571a4babdc)
Es sei ein kommutativer Ring und , . Zeige, dass genau dann ein Primelement ist, wenn der Restklassenring ein Integritätsbereich ist.
Zeige, dass jeder Restklassenring eines Hauptidealringes wieder ein Hauptidealring ist. Man gebe ein Beispiel, dass ein Restklassenring eines Hauptidealbereiches kein Hauptidealbereich sein muss.
Es sei ein kommutativer Ring und ein Ideal. Zeige, dass genau dann ein Primideal ist, wenn der Restklassenring ein Integritätsbereich ist.
Wende Satz 14.6 auf den kanonischen Ringhomomorphismus zu einem kommutativen Ring an.
Es sei ein Körper, eine - Algebra mit einem Element . Wende Satz 14.6 auf den zugehörigen Einsetzungshomomorphismus , , an.
![{\displaystyle {}K[X]\longrightarrow A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84bcd54077db0316d0f551e23b6a57bd88f72516)
Es sei ein kommutativer Ring und sei ein Ideal mit dem Restklassenring
Zeige, dass die Ideale von eindeutig denjenigen Idealen von entsprechen, die umfassen.
Aufgabe ( Punkte)Referenznummer erstellen
Bestimme die Ideale im Restklassenring .
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Es seien und natürliche Zahlen mit . Es sei
die Darstellung von zur Basis (also mit ). Es sei ein Teiler von . Dann wird von genau dann geteilt, wenn die Quersumme von geteilt wird.
Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei eine positive reelle Zahl. Zeige, dass der Restklassenring isomorph zu ist.
![{\displaystyle {}\mathbb {R} [X]/(X^{2}+a)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12e10f933576cf85f22df324662bdf75d55a4b0a)
Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei ein kommutativer Ring und ein Ideal in . Zeige, dass genau dann ein maximales Ideal ist, wenn der Restklassenring ein Körper ist.
Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen
![{\displaystyle \mathbb {Z} /(2)[X]/(X^{2}+X+1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/553d1bdbefd0caed22598cf503d34bc072a3d6eb)
Die nächste Aufgabe verwendet folgende Definition.
Ein kommutativer Ring heißt reduziert, wenn das einzige nilpotente Element von ist.
Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Zeige, dass ein Ideal in einem kommutativen Ring genau dann ein Radikal ist, wenn der Restklassenring reduziert ist.
Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Bestimme die Ideale im Restklassenring . Zu jedem Ideal sollen die Elemente aufgelistet werden. Bestimme die zugehörigen Restklassenringe.
