Kurs:Elliptische Kurven/2/Klausur mit Lösungen

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	${}\sum$
Punkte	3	3	10	2	4	5	0	4	3	3	3	0	4	10	0	2	4	60

Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Ein lokaler Ring.
2. Eine kongruente Zahl
3. Eine elliptische Funktion zu einem Gitter ${}\Gamma \subseteq {\mathbb {C} }$.
4. Eine Isogenie zwischen elliptischen Kurven ${}E_{1}$ und ${}E_{2}$.
5. Ein Hauptdivisor auf einer glatten irreduziblen Kurve ${}C$.
6. Ein Absolutbetrag auf einem Körper.

Lösung Elliptische Kurven/Gemischte Definitionsabfrage/2/Aufgabe/Lösung

Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über den lokalen Ring an einem glatten Punkt einer Kurve.
2. Die Hasse-Schranke für eine elliptische Kurve.
3. Der Satz über die Rangcharakterisierung von kongruenten Zahlen.

Lösung Elliptische Kurven/Gemischte Satzabfrage/2/Aufgabe/Lösung

Aufgabe (10 Punkte)

Formulieren und beweisen Sie Ihren Lieblingssatz der Vorlesung.

Lösung Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Aufgabe (2 (1+1) Punkte)

1. Skizziere elliptische Kurven über ${}\mathbb {R}$.
2. Skizziere elliptische Kurven über ${}{\mathbb {C} }$.

Lösung Elliptische Kurve/R und C/Skizze/Aufgabe/Lösung

Aufgabe (4 Punkte)

Beschreibe die wesentlichen Punkte, wie komplexe eindimensionale Tori und elliptische Kurven über ${}{\mathbb {C} }$ zusammenhängen.

Lösung Komplexer Torus/Elliptische Kurve/Zusammenhang/Aufgabe/Lösung

Aufgabe (5 (1+3+1) Punkte)

Wir betrachten die elliptische Kurve ${}E$, die durch die affine Gleichung

${}Y^{2}=X^{3}-X\,$

gegeben ist.

1. Parametrisiere den oberen Bogen von ${}E(\mathbb {R} )$ für ${}x\in [-1,0]$.
2. Bestimme den Punkt ${}P$ aus ${}E(\mathbb {R} )$ mit ${}x\in [-1,0]$ und mit der maximalen ${}y$-Koordinate.
3. Beschreibe eine endliche Körpererweiterung ${}\mathbb {Q} \subseteq K$ derart, dass ${}P\in E(K)$ liegt.

Lösung

1. Es ist

   ${}y=f(x)={\sqrt {x^{3}-x}}\,,$

   für ${}x\in [-1,0]$ ist

   ${}x^{3}-x=x(x-1)(x+1)\,$

   nichtnegativ.

2. Der gesuchte Punkt ist das Maximum der Funktion

   ${}f(x)\,$

   auf ${}[-1,0]$. Zur Bestimmung dieses Extremum ziehen wir die Ableitung heran. Es ist

   ${}f'(x)={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {3x^{2}-1}{\sqrt {x^{3}-x}}}\,.$

   Die Nullstellenbedingung wird zu

   ${}x^{2}={\frac {1}{3}}\,,$

   wobei nur

   ${}x=-{\frac {1}{\sqrt {3}}}\,$

   im Intervall liegt. Der Wert an dieser Stelle ist

   ${}{\begin{aligned}y&={\sqrt {-\left({\frac {1}{\sqrt {3}}}\right)^{3}+{\frac {1}{\sqrt {3}}}}}\\&={\sqrt {-{\frac {1}{3{\sqrt {3}}}}+{\frac {1}{\sqrt {3}}}}}\\&={\sqrt {\frac {-1+3}{3{\sqrt {3}}}}}\\&={\sqrt {\frac {2}{3{\sqrt {3}}}}}\\&={\frac {\sqrt {2}}{{\sqrt {3}}{\sqrt[{4}]{3}}}}.\end{aligned}}$

   Es ist also

   ${}P=\left(-{\frac {1}{\sqrt {3}}},\,{\frac {\sqrt {2}}{{\sqrt {3}}{\sqrt[{4}]{3}}}}\right)\,.$

3. Der Punkt ${}P$ liegt in der endlichen Körpererweiterung

   ${}K=\mathbb {Q} [{\sqrt {2}},{\sqrt[{4}]{3}}]\,$

   (vom Grad ${}8$ über ${}\mathbb {Q}$).

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}E$ eine elliptische Kurve über einem algebraisch abgeschlossenen Körper ${}K$ der Charakteristik ${}\neq 2$, die affin durch eine Gleichung der Form

${}Y^{2}={\left(X-\lambda _{1}\right)}{\left(X-\lambda _{2}\right)}{\left(X-\lambda _{3}\right)}\,$

gegeben ist. Zeige, dass unter der durch ${}X$ gegebenen Projektion auf die projektive Gerade genau in den Punkten ${}{\mathfrak {O}},\,\left(\lambda _{1},\,0\right),\,\left(\lambda _{2},\,0\right),\,\left(\lambda _{3},\,0\right)$ Verzweigung vorliegt.

Lösung

Die Abbildung besitzt den Grad ${}2$ und wird projektiv durch

$E\longrightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{1},\,(x,y,z)\longmapsto (x,z),$

gegeben, in homogenen Koordinaten geht es um die vier Punkte ${}\left(0,\,1,\,0\right),\,\left(\lambda _{1},\,0,\,1\right),\,\left(\lambda _{2},\,0,\,1\right),\,\left(\lambda _{3},\,0,\,1\right)$. Wir verwenden Fakt ***** und müssen lediglich zeigen, dass genau in den angegebenen Punkten die Fasern nur aus einem Punkt bestehen. Es wird

${}{\mathfrak {O}}=\left(0,\,1,\,0\right)\,$

auf ${}\left(0,\,1\right)$ abgebildet (die Koordinantenbeschreibung ist etwas verwirrend, die rationale Funktion ${}x/z$ hat jedenfalls in ${}{\mathfrak {O}}$ einen Pol) und dies ist der einzige Urbildpunkt, da ${}V_{+}(Z)\cap E$ nur aus ${}{\mathfrak {O}}$ besteht. Für die anderen Punkte können wir allein im Affinen arbeiten. Für

${}x=\lambda _{i}\,$

ist das kubische Polynom gleich ${}0$ und daher gibt es für ${}y$ nur die Möglichkeit

${}y=0\,.$

In diesen Punkten liegt also Verzweigung vor. Für

${}x\neq \lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}\,$

ist der Wert des kubischen Polynoms ${}\neq 0$ und es gibt die beiden verschiedenen Urbildpunkte ${}\left(x,\,\pm {\sqrt {{\left(x-\lambda _{1}\right)}{\left(x-\lambda _{2}\right)}{\left(x-\lambda _{3}\right)}}}\right)$ und somit liegt dort keine Verzweigung vor.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}E$ eine elliptische Kurve über einem Körper ${}K$, die durch eine affine Gleichung

${}Y^{2}=X^{3}+aX+b\,$

gegeben sei. Es sei ${}K\subseteq K(t)$ der Funktionenkörper in einer Variablen über ${}K$. Es sei ${}(t,u)$ ein Punkt der Kurve über einem Erweiterungskörper ${}L\supseteq K(t)$. Zeige, dass ${}(t,u)$ in ${}E_{L}$ unendliche Ordnung besitzt.

Lösung

Wir können zum algebraischen Abschluss ${}K\subseteq {\overline {K}}$ übergehen und das Element ${}t$ im Funktionenkörper ${}{\overline {K}}(t)$ betrachten. Ebenso können wir die zweite Koordinate ${}u$ in einem Erweiterungskörper ${}L'$ von ${}{\overline {K}}(t)$ betrachten. Durch eine solche Körpererweiterung ändert sich die Ordnung eines Gruppenelementes nicht. Eine elliptische Kurve über einem algebraisch abgeschlossenen Körper enthält aber schon die volle Torsion, siehe Fakt *****. Wegen ${}(t,u)\notin E({\overline {K}})$ muss die Ordnung von ${}(t,u)$ unendlich sein.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}\ell$ eine Primzahl. Zeige, dass für den Tate-Modul von ${}\mathbb {Q} /\mathbb {Z}$ die Gleichheit

${}T_{\ell }(\mathbb {Q} /\mathbb {Z} )={\hat {\mathbb {Z} }}_{\ell }\,$

gilt.

Lösung

Die Torsionsuntergruppe ${}{\left(\mathbb {Q} /\mathbb {Z} \right)}[\ell ^{n}]$ der Ordnung ${}\ell ^{n}$ besteht aus allen Restklassen

$[{\frac {a}{\ell ^{n}}}],\,a=0,1,\ldots ,\ell ^{n}-1$

und ist somit isomorph zu ${}\mathbb {Z} /(\ell ^{n})$. Für ein Element ${}x\in {\left(\mathbb {Q} /\mathbb {Z} \right)}[\ell ^{n}]$ gilt ja

${}x\cdot \ell ^{n}=a\in \mathbb {Z} \,$

und somit besitzt ${}x$ eine Bruchdarstellung

${}x={\frac {a}{\ell ^{n}}}\,.$

In der Restklassengruppe kann man ${}a$ aus dem angegebenen Bereich wählen. Unter dem Gruppenhomomorphismus

$\cdot \ell \colon {\left(\mathbb {Q} /\mathbb {Z} \right)}[\ell ^{n+1}]\longrightarrow {\left(\mathbb {Q} /\mathbb {Z} \right)}[\ell ^{n}]$

wird der Erzeuger ${}[{\frac {1}{\ell ^{n+1}}}]$ rechts auf den Erzeuger

${}\ell [{\frac {1}{\ell ^{n+1}}}]=[{\frac {1}{\ell ^{n}}}]\,,$

links abgebildet. Das stimmt mit den Homomorphismen in der Definition von ${}{\hat {\mathbb {Z} }}_{\ell }$ überein.

Aufgabe (3 Punkte)

Es seien ${}p$ und ${}q$ verschiedene Primzahlen und seien ${}\vert {-}\vert _{p}$ und ${}\vert {-}\vert _{q}$ die zugehörigen Standardbeträge. Zeige, dass durch

${}h(x):=\vert {x}\vert _{p}\cdot \vert {x}\vert _{q}\,$

kein Betrag auf ${}\mathbb {Q}$ gegeben ist.

Lösung

Wir betrachten die Dreiecksabschätzung für ${}p+q$. Es ist

${}h(p+q)=\vert {p+q}\vert _{p}\cdot \vert {p+q}\vert _{q}=p^{0}\cdot q^{0}=1\,,$

da ja ${}p+q$ kein Vielfaches von ${}p$ (und auch nicht von ${}q$) ist. Ferner ist

${}h(p)=\vert {p}\vert _{p}\cdot \vert {p}\vert _{q}=p^{-1}\cdot q^{0}=p^{-1}\,$

und

${}h(q)=\vert {q}\vert _{p}\cdot \vert {q}\vert _{q}=p^{0}\cdot q^{-1}=q^{-1}\,.$

Somit ist

${}h(p)+h(q)=p^{-1}+q^{-1}<1=h(p+q)\,$

und die Dreiecksabschätzung ist nicht erfüllt.

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (4 Punkte)

Wir betrachten in ${}{\mathbb {P} }_{\mathbb {Q} }^{2}$ die endliche Punktemenge, die aus den drei Punkten ${}P_{1}=\left(4,\,3,\,5\right)$, ${}P_{2}=\left(6,\,6,\,6\right)$ und ${}P_{3}=\left(1,\,3,\,5\right)$ besteht. Für welche Primzahlen ${}p$ besteht die Reduktion dieser Punktemenge ebenfalls aus drei Punkten?

Lösung

Wir ersetzen direkt ${}P_{2}$ durch ${}\left(1,\,1,\,1\right)$. Dann werden alle Punkte ganzzahlig und teilerfremd repräsentiert und man kann direkt die Reduktion ausrechnen

Der erste Minor der ersten beiden Punkte ist

${}4\cdot 1-3\cdot 1=1\,,$

die ersten beiden Punkte sind also bei jeder Reduktion verschieden.

Der erste Minor des ersten und des dritten Punktes ist

${}4\cdot 3-3\cdot 1=9\,,$

somit bleiben diese beiden Punkte bei ${}p\neq 3$ verschieden. Bei ${}p=3$ sind die Reduktionen von ${}P_{1}$ und ${}P_{3}$ beide gleich ${}\left(1,\,0,\,2\right)$.

Der erste Minor des zweiten und des dritten Punktes ist

${}1\cdot 3-1\cdot 1=2\,,$

somit bleiben diese beiden Punkte bei ${}p\neq 2$ verschieden. Bei ${}p=2$ sind die Reduktionen von ${}P_{2}$ und ${}P_{3}$ beide gleich ${}\left(1,\,1,\,1\right)$. Für alle Primzahlen ${}p\neq 2,3$ besteht also die Reduktion ebenfalls aus drei Punkten.

Aufgabe (10 (1+1+1+4+3) Punkte)

Wir betrachten die durch die Gleichung

${}Y^{2}=X^{3}+3X-4\,$

gegebene elliptische Kurve über verschiedenen Körpern ${}K$.

1. Zerlege das Polynom ${}X^{3}+3X-4$ in ${}\mathbb {Q} [X]$ in irreduzible Faktoren.
2. Skizziere den reellen Verlauf der Kurve.
3. Zerlege das Polynom ${}X^{3}+3X-4$ in ${}{\mathbb {C} }[X]$ in irreduzible Faktoren.
4. Bestimme, für welche Primzahlen ${}p$ sich keine elliptische Kurve über ${}\mathbb {Z} /(p)$ ergibt.
5. Bestimme den Reduktionstyp für die Primzahlen mit schlechter Reduktion

Lösung

1. Es gilt

   ${}X^{3}+3X-4=(X-1){\left(X^{2}+X+4\right)}\,$

   über jedem Körper. In Charakteristik ${}\neq 2$ ist

   ${}X^{2}+X+4={\left(X+{\frac {1}{2}}\right)}^{2}-\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}+4={\left(X+{\frac {1}{2}}\right)}^{2}+{\frac {15}{4}}\,.$

   Deshalb ist über ${}\mathbb {Q}$ und über ${}\mathbb {R}$ auch der quadratische Faktor irreduzibel.

2. Die Kurve schneidet die ${}x$-Achse einmalig bei ${}x=0$ und der obere Strang ist streng wachsend, wegen

   ${}3x^{2}+3>0\,$

   und der Monotonie der Quadratwurzel.

3. Über ${}{\mathbb {C} }$ besitzt das quadratische Polynom ${}X^{2}+X+4$ die beiden Nullstellen ${}\pm {\frac {\sqrt {15}}{2}}{\mathrm {i} }-{\frac {1}{2}}$. Somit liegt die Zerlegung

   ${}X^{3}+3X-4=(X-1){\left(X-{\frac {-1+{\sqrt {15}}{\mathrm {i} }}{2}}\right)}{\left(X-{\frac {-1-{\sqrt {15}}{\mathrm {i} }}{2}}\right)}\,$

   vor.

4. Die partiellen Ableitungen sind ${}3X^{2}+3$ und ${}2Y$. In Charakteristik ${}2$ ist ${}(1,0)$ ein Punkt der Kurve, in dem die partiellen Ableitungen verschwinden. Es liegt also schlechte Reduktion vor. Es sei nun die Charakteristik ${}\neq 2$. Dann muss für einen singulären Punkt ${}Y=0$ sein. Es geht also darum, ob ${}X^{3}+3X-4$ und ${}3X^{2}+3$ eine gemeinsame Nullstelle besitzen. In Charakteristik ${}3$ ist wegen

   ${}X^{3}+3X-4=X^{3}-1=(X-1)^{3}\,$

   der Punkt ${}(1,0)$ ein singulärer Punkt. Es sei nun die Charakteristik ${}\geq 5$. In ${}\mathbb {Z} [X]$ gilt (die folgende Argumentation kann man durch die Betrachtung der Diskriminante vereinfachen)

   ${}{\left(X^{3}+3X-4\right)}-X{\left(X^{2}+1\right)}=2X-4\,$

   und

   ${}2{\left(X^{2}+1\right)}-X{\left(2X-4\right)}=4X+2\,$

   und schließlich

   ${}2{\left(2X+4\right)}-{\left(4X-2\right)}=10\,.$

   Wenn die Charakteristik ${}\neq 2,3,5$ ist, so liegt eine glatte Kurve vor, da dann die beiden Polynome das Einheitsideal erzeugen und keine gemeinsame Nullstelle haben können.

   In Charakteristik ${}5$ ist

   ${}X^{2}+X+4=(X-2)^{2}\,$

   und somit die Kurvengleichung gleich

   ${}Y^{2}=(X-1)(X-2)^{2}\,,$

   es liegt also ein singulärer Punkt in ${}(2,0)$ vor.

5. Wir bestimmen den Reuktionstyp in den Singularitäten bei schlechter Reduktion.

   ${}p=2\,.$

   Im Punkt ${}(1,0)$ wird die Kurvengleichung mit

   ${}W=X-1\,$

   zu

   ${}{\begin{aligned}X^{3}+3X-4-Y^{2}&=X^{3}+X-Y^{2}\\&=(W+1)^{3}+W+1-Y^{2}\\&=W^{3}+W^{2}-Y^{2}\\&=W^{3}+(W+Y)^{2},\end{aligned}}$

   es liegt also additive Reduktion vor.

   ${}p=3\,.$

   Im Punkt ${}(1,0)$ wird die Kurvengleichung mit

   ${}W=X-1\,$

   zu

   ${}{\begin{aligned}X^{3}+3X-4-Y^{2}&=(W+1)^{3}-1-Y^{2}\\&=W^{3}-Y^{2},\end{aligned}}$

   es liegt also additive Reduktion vor.

   ${}p=5\,.$

   Im Punkt ${}(2,0)$ wird die Kurvengleichung mit

   ${}W=X-2\,$

   zu

   ${}{\begin{aligned}X^{3}+3X-4-Y^{2}&=(W+2)^{3}+3(W+2)-4-Y^{2}\\&=W^{3}+W^{2}+2W+3+3W+1-4-Y^{2}\\&=W^{3}+W^{2}-Y^{2}\\&=W^{3}+(W-Y)(W+Y),\end{aligned}}$

   es liegt also spaltende multiplikative Reduktion vor.

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (2 (1+1) Punkte)

1. Bestimme die Menge ${}{\left\{(x,y,z)\in \mathbb {Z} ^{3}\mid 2x^{2}+y^{2}+32z^{2}=41\right\}}$ und ihre Anzahl.
2. Bestimme die Menge ${}{\left\{(x,y,z)\in \mathbb {Z} ^{3}\mid 2x^{2}+y^{2}+8z^{2}=41\right\}}$ und ihre Anzahl.

Lösung

1. Die ganzzahligen Lösungen der Gleichung ${}2x^{2}+y^{2}+32z^{2}=41$ sind ${}\left(\pm 4,\,\pm 3,\,0\right)$, ${}\left(0,\,\pm 3,\,\pm 1\right)$ und${}\left(\pm 2,\,\pm 1,\,\pm 1\right)$, also ${}4+4+8=16$ Elemente.
2. Die ganzzahligen Lösungen der Gleichung ${}2x^{2}+y^{2}+8z^{2}=41$ sind ${}\left(\pm 4,\,\pm 3,\,0\right)$ (wie oben), ${}\left(0,\,\pm 3,\,\pm 2\right)$, ${}\left(\pm 2,\,\pm 1,\,\pm 2\right)$, ${}\left(\pm 2,\,\pm 5,\,\pm 1\right)$ und ${}\left(\pm 4,\,\pm 1,\,\pm 1\right)$, also ${}4+4+8+8+8=32$ Elemente.

Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass die Exponentialfunktion

$f\colon {\mathbb {H} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto e^{2\pi {\mathrm {i} }z},$

zu keinem ${}k\in \mathbb {Z}$ schwach modular ist.

Lösung

Es sei angenommen, dass ${}f$ schwach modular zum Gewicht ${}k$ ist. Nach Fakt ***** gilt dann insbesondere ${}f(-{\frac {1}{z}})=z^{k}f(z)$ für alle ${}z\in {\mathbb {H} }$. Dies bedeutet

${}e^{2\pi {\mathrm {i} }{\left(-{\frac {1}{z}}\right)}}=z^{k}e^{2\pi {\mathrm {i} }z}\,.$

Multiplikation mit ${}e^{2\pi {\mathrm {i} }{\left({\frac {1}{z}}\right)}}$ ergibt

${}1=e^{0}=z^{k}e^{2\pi {\mathrm {i} }{\left(z+{\frac {1}{z}}\right)}}\,.$

Die Funktion ${}e^{2\pi {\mathrm {i} }{\left(z+{\frac {1}{z}}\right)}}$ ist invariant unter der Substitution ${}z\mapsto {\frac {1}{z}}$, was für ${}z^{k}$ bei ${}k\neq 0$ sicher nicht gilt. Also ist ${}k=0$. Es ist aber

${}e^{2\pi {\mathrm {i} }u}=1\,$

nur für ${}u\in \mathbb {Z}$, und für beliebiges ${}z\in {\mathbb {H} }$ ist definitiv nicht immer ${}z+{\frac {1}{z}}\in \mathbb {Z}$.