Kurs:Funktionentheorie/9/Klausur mit Lösungen

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	${}\sum$
Punkte	3	3	2	5	2	5	4	0	3	4	7	3	4	0	3	3	2	0	53

Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

Ein offener Kreisring in ${}{\mathbb {C} }$ .
Die antiholomorphe Ableitung einer reell differenzierbaren Funktion
$f\colon U\longrightarrow {\mathbb {C} },$

${}U\subseteq {\mathbb {C} }$ offen.
Eine sternförmige Teilmenge ${}T\subseteq V$ in einem reellen Vektorraum ${}V$ .
Ein Pol einer holomorphen Funktion
$f\colon U\setminus \{a\}\longrightarrow {\mathbb {C} }.$
Eine relative Homotopie von stetigen Wegen.
Die Eisenstein-Reihe vom Gewicht ${}k$ zu einem Gitter ${}\Gamma \subseteq {\mathbb {C} }$ .

Lösung

Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

Die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen.
Der Satz von Liouville.
Der Satz über die Laurent-Entwicklung auf einem Kreisring.

Lösung

Es sei ${}G\subseteq {\mathbb {C} }$ offen und ${}f\colon G\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine im Punkt ${}P\in G$ reell total differenzierbare Abbildung. Es sei ${}f=g+{\mathrm {i} }h$ mit reellwertigen Funktionen ${}g,h\colon G\rightarrow \mathbb {R}$ . Sei ${}z=x+{\mathrm {i} }y$ . Dann ist ${}f$ genau dann in ${}P$ komplex differenzierbar, wenn für die reellen partiellen Ableitungen die Beziehungen
${\frac {\partial g}{\partial y}}(P)=-{\frac {\partial h}{\partial x}}(P){\text{ und }}{\frac {\partial h}{\partial y}}(P)={\frac {\partial g}{\partial x}}(P)$
gelten.
Es sei ${}f\colon {\mathbb {C} }\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine holomorphe Funktion, die beschränkt sei. Dann ist ${}f$ konstant.
Es seien ${}0\leq r<R$ reelle Zahlen (wobei für ${}R$ auch ${}\infty$ erlaubt ist), ${}a\in {\mathbb {C} }$ ein Punkt und sei ${}f$ eine holomorphe Funktion auf dem offenen Kreisring
${}U=U(a,r,R)=U{\left(a,R\right)}\setminus B\left(a,r\right)\,.$

Dann gibt es eine auf ${}U$ konvergente Laurent-Reihe ${}\sum _{n\in \mathbb {Z} }c_{n}(z-a)^{n}$ , die dort ${}f$ darstellt.
Für die Koeffizienten der Laurent-Reihe gilt

${}c_{n}={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{\gamma }{\frac {f(z)}{(z-a)^{n+1}}}dz\,,$
wobei ${}\gamma$ eine einfache Umrundung von ${}a$ im Kreisring ${}U$ ist.

Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme die Ableitungsfunktion einer gebrochen-linearen Funktion

{\mathbb {C} }\setminus \{-{\frac {d}{c}}\}\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto {\frac {az+b}{cz+d}},

(mit ${}ad-bc\neq 0$ ) und insbesondere die Ableitung (bei ${}d\neq 0$ ) im Nullpunkt.

Lösung

Es ist

{}{\left({\frac {az+b}{cz+d}}\right)}'={\frac {a{\left(cz+d\right)}-{\left(az+b\right)}c}{{\left(cz+d\right)}^{2}}}={\frac {ad-bc}{{\left(cz+d\right)}^{2}}}\,,

im Nullpunkt ist dies gleich ${}{\frac {ad-bc}{d^{2}}}$ .

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine offene zusammenhängende Teilmenge. Zeige, dass ${}U$ auch wegzusammenhängend ist.

Lösung

Zu einem Punkt ${}x\in U$ betrachten wir die Menge

Z(x)={\left\{y\in U\mid {\text{ Es gibt einen stetigen Weg von }}x{\text{ nach }}y\right\}}\,.

Diese Menge ist offen, da offene Bälle wegzusammenhängend sind und man stetige Wege aneinander legen kann. Aus diesem Grund ist für zwei Punkte ${}x_{1},x_{2}\in U$ entweder ${}Z(x_{1})=Z(x_{2})$ oder aber ${}Z(x_{1})\cap Z(x_{2})=\emptyset$ . Wenn ${}U$ nicht wegzusammenhängend wäre, so wäre ${}U\neq Z(x)$ und es gäbe eine Zerlegung

{}U=Z(x)\uplus \bigcup _{y\not \in Z(x)}Z(y)\,

in nichtleere offene Teilmengen im Widerspruch zum Zusammenhang.

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ${}z\in {\mathbb {C} },\,\vert {z}\vert <1$ . Bestimme und beweise eine Formel für die Reihe

\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}z^{k}.

Lösung

Nach Satz 7.3 (Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)) gilt für alle ${}x\in {\mathbb {C} }$ mit ${}\vert {x}\vert <1$

{}\sum _{k=0}^{\infty }x^{k}={\frac {1}{1-x}}\,.

Angewendet auf ${}x=-z$ ist

{}\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}z^{k}={\frac {1}{1-(-z)}}={\frac {1}{1+z}}\,.

Es folgt

{}\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}z^{k}={\frac {1}{1+z}}\,.

Aufgabe (5 Punkte)

Beweise den Satz über Einheiten im Potenzreihenring ${}K[\![T]\!]$ .

Lösung

Die angegebene Bedingung ist notwendig, da die Abbildung

K[\![T]\!]\longrightarrow K,\,F\longmapsto a_{0},

die eine Potenzreihe ${}F$ auf ihren konstanten Term schickt, ein Ringhomomorphismus ist, siehe Aufgabe 9.13 (Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)). Für die Umkehrung müssen wir eine Potenzreihe ${}G={\sum }_{j=0}^{\infty }b_{j}T^{j}$ mit

{}FG={\left({\sum }_{i=0}^{\infty }a_{i}T^{i}\right)}{\left({\sum }_{j=0}^{\infty }b_{j}T^{j}\right)}=1\,

angeben. Für ${}b_{0}$ ergibt sich daraus die Bedingung ${}a_{0}b_{0}=1$ , die wegen ${}a_{0}\neq 0$ eine eindeutige Lösung besitzt, nämlich ${}b_{0}=a_{0}^{-1}$ . Nehmen wir induktiv an, dass die Koeffizienten ${}b_{j}$ für ${}j<n$ schon konstruiert seien, und zwar derart, dass sämtliche Koeffizienten ${}c_{k}$ , ${}1\leq k<n$ , der Produktreihe ${}FG$ gleich ${}0$ sind. Für den ${}n$ -ten Koeffizienten ergibt sich die Bedingung

{}0=c_{n}=a_{0}b_{n}+a_{1}b_{n-1}+\cdots +a_{n-1}b_{1}+a_{n}b_{0}\,.

Dabei sind bis auf ${}b_{n}$ alle Werte schon festgelegt, und wegen ${}a_{0}\neq 0$ ergibt sich eine eindeutige Lösung für ${}b_{n}$ .

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei

{}f(x)=-3x+x^{3}\,.

Wegen

{}f'(x)=-3+3x^{2}\,

ist diese Funktion auf dem offen Intervall ${}]-1,1[$ streng fallend und damit injektiv (mit dem Bildintervall ${}]-2,2[$ ). Dabei ist ${}f(0)=0$ . Es sei

{}g(y)=\sum _{k=0}^{\infty }b_{k}y^{k}\,

die Umkehrfunktion, die wir als eine Potenzreihe ansetzen. Bestimme aus der Bedingung

{}(g(f(x))=x\,

die Koeffizienten ${}b_{0},b_{1},b_{2},b_{3},b_{4}$ .

Lösung

Mit

{}y=f(x)=-3x+x^{3}\,.

und

{}g(y)=\sum _{k=0}^{\infty }b_{k}y^{k}\,

wird die Bedingung

{}g(f(x))=x\,

ausgeschrieben zu

{}{\begin{aligned}\sum _{k=0}^{\infty }b_{k}(-3x+x^{3})^{k}&=b_{0}+b_{1}(-3x+x^{3})+b_{2}(-3x+x^{3})^{2}+b_{3}(-3x+x^{3})^{3}+b_{4}(-3x+x^{3})^{4}+\ldots \\&=x.\end{aligned}}

Daraus können die ${}b_{k}$ sukzessive durch Koeffizientenvergleich bestimmt werden, da in der unendlichen Summe nur endlich viele Terme die Koeffizienten bestimmen. Zunächst ergibt sich

{}b_{0}=0\,.

Aus (Koeffizient vor ${}x$ )

{}-3b_{1}=1\,

ergibt sich

{}b_{1}=-{\frac {1}{3}}\,.

Aus (Koeffizient vor ${}x^{2}$ )

{}9b_{2}=0\,

ergibt sich

{}b_{2}=0\,.

Aus (Koeffizient vor ${}x^{3}$ )

{}b_{1}-27b_{3}=0\,

ergibt sich

{}b_{3}={\frac {1}{81}}\,.

Aus (Koeffizient vor ${}x^{4}$ )

{}-6b_{2}+81b_{4}=0\,

ergibt sich

{}b_{4}=0\,.

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (3 Punkte)

Es seien ${}V,W$ endlichdimensionale normierte ${}{\mathbb {K} }$ - Vektorräume, sei ${}U\subseteq V$ eine offene Teilmenge und sei ${}\omega$ eine ${}W$ -wertige stetige ${}1$ - Differentialform auf ${}U$ . Es sei ${}\gamma \colon [a,b]\rightarrow U$ ein stetig differenzierbarer Weg und sei ${}B$ eine obere Schranke für ${}\Vert {\omega (P)}\Vert _{\text{max}}$ auf ${}\gamma ([a,b])$ . Zeige, dass die Abschätzung

{}\Vert {\int _{\gamma }\omega }\Vert \leq B\cdot L(\gamma )\,

gilt.

Lösung

Es ist

{}{\begin{aligned}\Vert {\int _{\gamma }\omega }\Vert &=\Vert {\int _{a}^{b}\omega (\gamma (t),\gamma '(t))dt}\Vert \\&\leq \int _{a}^{b}\Vert {\omega (\gamma (t),\gamma '(t))}\Vert dt\\&\leq \int _{a}^{b}\Vert {\omega (\gamma (t))}\Vert _{\text{max}}\cdot \Vert {\gamma '(t)}\Vert dt\\&\leq \int _{a}^{b}B\cdot \Vert {\gamma '(t)}\Vert dt\\&\leq B\cdot L(\gamma )\end{aligned}}

nach Satz 39.1 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) und Satz 38.6 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)).

Aufgabe (4 Punkte)

Berechne das Wegintegral ${}\int _{\gamma }\omega$ zur ${}{\mathbb {C} }$ -wertigen Differentialform

{}\omega ={\overline {z}}dz+zd{\overline {z}}\,

auf ${}{\mathbb {C} }$ zum Weg ${}\gamma (t)=-2+{\mathrm {i} }t+3t^{2}$ auf dem Intervall ${}[-3,1]$ .

Lösung

Es ist

{}{\begin{aligned}\omega &={\overline {z}}dz+zd{\overline {z}}\\&=(x-{\mathrm {i} }y)d(x+{\mathrm {i} }y)+(x+{\mathrm {i} }y)d(x-{\mathrm {i} }y)\\&={\left(x-{\mathrm {i} }y+x+{\mathrm {i} }y\right)}dx+{\mathrm {i} }{\left(x-{\mathrm {i} }y-x-{\mathrm {i} }y\right)}dy\\&=2xdx+{\mathrm {i} }{\left(-2{\mathrm {i} }y\right)}dy\\&=2xdx+2ydy.\end{aligned}}

Diese Differentialform ist exakt mit der Stammform

{}\varphi (x+{\mathrm {i} }y)=x^{2}+y^{2}\,.

Wegen

{}\gamma (-3)=-2-3{\mathrm {i} }+27=25-3{\mathrm {i} }\,

und

{}\gamma (1)=-2+{\mathrm {i} }+3=1+{\mathrm {i} }\,

ist nach Satz 12.11 (Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024))

{}{\begin{aligned}\int _{\gamma }\omega &=\varphi (\gamma (1))-\varphi (\gamma (-3))\\&=\varphi (1+{\mathrm {i} })-\varphi (25-3{\mathrm {i} })\\&=1+1+625+9\\&=636.\end{aligned}}

Aufgabe (7 Punkte)

Beweise den riemannschen Hebbarkeitssatz.

Lösung

Die Implikationen von (1) nach (2), von (2) nach (3) und von (4) nach (1) sind klar. Sei also (3) erfüllt. Zur Notationsvereinfachung sei ${}P=0$ . Wir betrachten die Funktion

{}g(z)=zf(z)\,,

die wir durch ${}g(0)=0$ zu einer Funktion auf ${}G$ fortsetzen. Diese ist stetig nach Voraussetzung in Verbindung mit Korollar 12.14 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)). Ferner setzen wir

{}h(z)=zg(z)\,.

Wir lesen die Gleichung

{}h(z)=zg(z)=0+0z+zg(z)\,

als eine affin-lineare Approximation für ${}h$ (vergleiche Satz 1.2 (Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024))). Daher ist ${}h$ im Nullpunkt komplex differenzierbar und damit auf ganz ${}G$ holomorph. Nach Satz 14.1 (Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)) gibt es für ${}h$ eine Beschreibung als Potenzreihe in einer offenen Umgebung,

{}h(z)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}z^{n}\,.

Aufgrund der Definition von ${}h$ ist ${}c_{0}=c_{1}=0$ und damit ist

{}{\begin{aligned}h(z)&=\sum _{n=2}^{\infty }c_{n}z^{n}\\&=z^{2}{\left(\sum _{n=2}^{\infty }c_{n}z^{n-2}\right)}\\&=z^{2}{\left(\sum _{k=0}^{\infty }c_{k+2}z^{k}\right)}.\end{aligned}}

Daher ist

{}{\tilde {f}}=\sum _{k=0}^{\infty }c_{k+2}z^{k}\,

eine holomorphe Fortsetzung von ${}f$ .

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme den Hauptteil des Produktes der meromorphen Funktionen

{}f=3z^{-2}+4z^{-1}+2-5z+\ldots \,

und

{}g=-z^{-2}+6z^{-1}+3-4z+\ldots \,.

Lösung

Es sind nur die Produkte relevant, die zu einem negativen Exponenten führen, insbesondere ist das Ergebnis unabhängig davon, wie die Reihen weitergehen. Der Hauptteil von ${}fg$ ist wegen

{}{\begin{aligned}fg&={\left(3z^{-2}+4z^{-1}+2-5z+\ldots \right)}{\left(-z^{-2}+6z^{-1}+3-4z+\ldots \right)}\\&=-3z^{-4}+{\left(18-4\right)}z^{-3}+{\left(9+24-2\right)}z^{-2}+{\left(-12+12+12+5\right)}z^{-1}+\ldots \\&=-3z^{-4}+14z^{-3}+31z^{-2}+17z^{-1}+\ldots .\end{aligned}}

Der Hauptteil des Produktes ist also

-3z^{-4}+14z^{-3}+31z^{-2}+17z^{-1}.

Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass die (stetige) Funktion

f\colon [0,1]\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)={\begin{cases}x\sin {\frac {1}{x}}{\text{ bei }}x>0\,,\\0{\text{ bei }}x=0\,,\end{cases}}

nicht rektifizierbar ist.

Lösung

Für jedes ${}x_{n}={\frac {1}{n\pi +{\frac {1}{2}}\pi }}$ ist ${}f(x_{n})=\pm x_{n}$ , wobei das Vorzeichen davon abhängt, ob ${}n$ gerade oder ungerade ist. Für jedes ${}n$ ist daher ${}\vert {f(x_{n})-f(x_{n-1})}\vert \geq 2x_{n}$ . Wählt man dann die Unterteilungspunkte

{}0<x_{k}<x_{k-1}<\ldots <x_{1}<x_{0}={\frac {2}{\pi }}<1\,,

so ist die Länge des zugehörigen Streckenzugs mindestens gleich

{}\sum _{n=1}^{k}2x_{n}=2\cdot \sum _{n=1}^{k}{\frac {1}{n\pi +{\frac {1}{2}}\pi }}={\frac {2}{\pi }}\cdot \sum _{n=1}^{k}{\frac {1}{n+{\frac {1}{2}}}}\geq {\frac {2}{\pi }}\cdot \sum _{n=1}^{k}{\frac {1}{n+1}}\,.

Wegen der Divergenz der harmonischen Reihe ist dieser Ausdruck für ${}{k}\rightarrow \infty$ nicht beschränkt. Daher kann das Supremum über alle Streckenzüge nicht existieren und die Kurve ist nicht rektifizierbar.

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}p\colon Y\rightarrow X$ eine Überlagerung von topologischen Räumen ${}X$ und ${}Y$ mit ${}X$ hausdorffsch. Zeige, dass dann auch ${}Y$ hausdorffsch ist.

Lösung

Es seien ${}y,y'\in Y$ verschiedene Punkte. Wenn ${}p(y)\neq p(y')$ ist, so gibt es nach der Hausdorffeigenschaft von ${}X$ offene Mengen ${}p(y)\in U$ und ${}p(y')\in U'$ mit ${}U\cap U'=\emptyset$ . In diesem Fall sind ${}p^{-1}(U)$ und ${}p^{-1}(U')$ trennende offene Umgebungen der beiden Punkte. Bei ${}p(y)=p(y')$ sei ${}p(y)\in U$ eine offene Umgebung, über der die Überlagerung trivialisiert. Dann ist ${}p^{-1}(U)$ eine disjunkte Vereinigung von offenen Mengen ${}V_{j}$ und die beiden Punkte liegen auf verschiedenen Kopien von ${}U$ .