Kurs:Funktionentheorie/9/Klausur mit Lösungen



Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
Punkte 3 3 2 5 2 5 4 0 3 4 7 3 4 0 3 3 2 0 53




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Ein offener Kreisring in .
  2. Die antiholomorphe Ableitung einer reell differenzierbaren Funktion

    offen.

  3. Eine sternförmige Teilmenge in einem reellen Vektorraum .
  4. Ein Pol einer holomorphen Funktion
  5. Eine relative Homotopie von stetigen Wegen.
  6. Die Eisenstein-Reihe vom Gewicht zu einem Gitter .


Lösung


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen.
  2. Der Satz von Liouville.
  3. Der Satz über die Laurent-Entwicklung auf einem Kreisring.


Lösung

  1. Es sei offen und eine im Punkt reell total differenzierbare Abbildung. Es sei mit reellwertigen Funktionen . Sei . Dann ist genau dann in komplex differenzierbar, wenn für die reellen partiellen Ableitungen die Beziehungen
    gelten.
  2. Es sei eine holomorphe Funktion, die beschränkt sei. Dann ist konstant.
  3. Es seien reelle Zahlen (wobei für auch erlaubt ist), ein Punkt und sei eine holomorphe Funktion auf dem offenen Kreisring

    Dann gibt es eine auf konvergente Laurent-Reihe , die dort darstellt.

    Für die Koeffizienten der Laurent-Reihe gilt

    wobei eine einfache Umrundung von im Kreisring ist.


Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme die Ableitungsfunktion einer gebrochen-linearen Funktion

(mit ) und insbesondere die Ableitung (bei ) im Nullpunkt.


Lösung

Es ist

im Nullpunkt ist dies gleich .


Aufgabe (5 Punkte)

Es sei eine offene zusammenhängende Teilmenge. Zeige, dass auch wegzusammenhängend ist.


Lösung

Zu einem Punkt betrachten wir die Menge

Diese Menge ist offen, da offene Bälle wegzusammenhängend sind und man stetige Wege aneinander legen kann. Aus diesem Grund ist für zwei Punkte entweder oder aber . Wenn nicht wegzusammenhängend wäre, so wäre und es gäbe eine Zerlegung

in nichtleere offene Teilmengen im Widerspruch zum Zusammenhang.


Aufgabe (2 Punkte)

Es sei . Bestimme und beweise eine Formel für die Reihe


Lösung

Nach Satz 7.3 (Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)) gilt für alle mit

Angewendet auf ist

Es folgt


Aufgabe (5 Punkte)

Beweise den Satz über Einheiten im Potenzreihenring .


Lösung

Die angegebene Bedingung ist notwendig, da die Abbildung

die eine Potenzreihe auf ihren konstanten Term schickt, ein Ringhomomorphismus ist, siehe Aufgabe 9.13 (Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)). Für die Umkehrung müssen wir eine Potenzreihe mit

angeben. Für ergibt sich daraus die Bedingung , die wegen eine eindeutige Lösung besitzt, nämlich . Nehmen wir induktiv an, dass die Koeffizienten für schon konstruiert seien, und zwar derart, dass sämtliche Koeffizienten , , der Produktreihe gleich sind. Für den -ten Koeffizienten ergibt sich die Bedingung

Dabei sind bis auf alle Werte schon festgelegt, und wegen ergibt sich eine eindeutige Lösung für .


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei

Wegen

ist diese Funktion auf dem offen Intervall streng fallend und damit injektiv (mit dem Bildintervall ). Dabei ist . Es sei

die Umkehrfunktion, die wir als eine Potenzreihe ansetzen. Bestimme aus der Bedingung

die Koeffizienten .


Lösung

Mit

und

wird die Bedingung

ausgeschrieben zu

Daraus können die sukzessive durch Koeffizientenvergleich bestimmt werden, da in der unendlichen Summe nur endlich viele Terme die Koeffizienten bestimmen. Zunächst ergibt sich

Aus (Koeffizient vor )

ergibt sich

Aus (Koeffizient vor )

ergibt sich

Aus (Koeffizient vor )

ergibt sich

Aus (Koeffizient vor )

ergibt sich


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (3 Punkte)

Es seien endlichdimensionale normierte - Vektorräume, sei eine offene Teilmenge und sei eine -wertige stetige - Differentialform auf . Es sei ein stetig differenzierbarer Weg und sei eine obere Schranke für auf . Zeige, dass die Abschätzung

gilt.


Lösung

Es ist

nach Satz 39.1 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) und Satz 38.6 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)).


Aufgabe (4 Punkte)

Berechne das Wegintegral zur -wertigen Differentialform

auf zum Weg auf dem Intervall .


Lösung

Es ist

Diese Differentialform ist exakt mit der Stammform

Wegen

und

ist nach Satz 12.11 (Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024))


Aufgabe (7 Punkte)

Beweise den riemannschen Hebbarkeitssatz.


Lösung

Die Implikationen von (1) nach (2), von (2) nach (3) und von (4) nach (1) sind klar. Sei also (3) erfüllt. Zur Notationsvereinfachung sei . Wir betrachten die Funktion

die wir durch zu einer Funktion auf fortsetzen. Diese ist stetig nach Voraussetzung in Verbindung mit Korollar 12.14 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)). Ferner setzen wir

Wir lesen die Gleichung

als eine affin-lineare Approximation für (vergleiche Satz 1.2 (Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024))). Daher ist im Nullpunkt komplex differenzierbar und damit auf ganz holomorph. Nach Satz 14.1 (Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)) gibt es für eine Beschreibung als Potenzreihe in einer offenen Umgebung,

Aufgrund der Definition von ist und damit ist

Daher ist

eine holomorphe Fortsetzung von .


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme den Hauptteil des Produktes der meromorphen Funktionen

und


Lösung

Es sind nur die Produkte relevant, die zu einem negativen Exponenten führen, insbesondere ist das Ergebnis unabhängig davon, wie die Reihen weitergehen. Der Hauptteil von ist wegen

Der Hauptteil des Produktes ist also


Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass die (stetige) Funktion

nicht rektifizierbar ist.


Lösung

Für jedes ist , wobei das Vorzeichen davon abhängt, ob gerade oder ungerade ist. Für jedes ist daher . Wählt man dann die Unterteilungspunkte

so ist die Länge des zugehörigen Streckenzugs mindestens gleich

Wegen der Divergenz der harmonischen Reihe ist dieser Ausdruck für nicht beschränkt. Daher kann das Supremum über alle Streckenzüge nicht existieren und die Kurve ist nicht rektifizierbar.


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei eine Überlagerung von topologischen Räumen und mit hausdorffsch. Zeige, dass dann auch hausdorffsch ist.


Lösung

Es seien verschiedene Punkte. Wenn ist, so gibt es nach der Hausdorffeigenschaft von offene Mengen und mit . In diesem Fall sind und trennende offene Umgebungen der beiden Punkte. Bei sei eine offene Umgebung, über der die Überlagerung trivialisiert. Dann ist eine disjunkte Vereinigung von offenen Mengen und die beiden Punkte liegen auf verschiedenen Kopien von .


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei

das komplexe Potenzieren zum Exponenten . Beschreibe den zugehörigen Gruppenhomomorphismus


Lösung Punktierte Ebene/Komplexe Potenz/Fundamentalgruppe/Aufgabe/Lösung


Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme die Windungszahl auf den Teilgebieten des gezeigten Weges (der Weg verlaufe unten rum nach rechts).


Lösung Windungszahl/Skizze/Teilgebiete/1/Aufgabe/Lösung


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung