Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2018-2019)/Teil II/Arbeitsblatt 47/kontrolle



Die Pausenaufgabe

Heinz Ngolo und Mustafa Müller sagen abwechselnd reelle Zahlen auf. Dabei sind die Zahlen von Heinz alle positiv und fallen, die Zahlen von Mustafa sind negativ und wachsen. Es sei die dadurch gegebene Folge.

  1. Kann gegen eine von verschiedene Zahl konvergieren?
  2. Muss gegen konvergieren?




Übungsaufgaben

Zeige, dass der einzige Körperisomorphismus

die Identität ist.


Es sei ein Körper, ein Ring mit und

ein Ringhomomorphismus. Zeige, dass injektiv ist.


Es sei und .

  1. Zeige, dass genau dann irrational ist, wenn irrational ist.
  2. Es sei zusätzlich . Zeige, dass genau dann irrational ist, wenn irrational ist.


a) Man gebe ein Beispiel für rationale Zahlen mit

b) Man gebe ein Beispiel für rationale Zahlen mit

c) Man gebe ein Beispiel für irrationale Zahlen und eine rationale Zahl mit


In sei eine Folge gegeben, deren Anfangsglieder durch , , , gegeben sind. Muss die Folge in konvergieren? Muss die Folge in konvergieren? Kann die Folge in konvergieren? Kann die Folge in konvergieren?


Die Dezimalentwicklungen der beiden reellen Zahlen und beginnen

und

Was kann man über die Ziffernentwicklung der Summe sagen?


Die Dezimalentwicklungen der beiden reellen Zahlen und beginnen

und

Was kann man über die Ziffernentwicklung der Summe sagen?


Die Dezimalentwicklungen der beiden reellen Zahlen und beginnen

und

Was kann man über die Ziffernentwicklung des Produktes sagen? Was kann man über die erste Nachkommaziffer des Produktes sagen, wenn die zweite Nachkommaziffer gleich ist.


Die Dezimalentwicklungen der beiden reellen Zahlen und beginnen

und

Was kann man über die Ziffernentwicklung des Produktes sagen?


Es sei die Teilmenge aller reellen Zahlen, bei denen die Nachkommastelle in der (kanonischen) Dezimalentwicklung eine ist. Welche Eigenschaften eines Ideals erfüllt diese Menge, welche nicht?


Eine reelle Zahl besitze die Ziffernentwicklung

im Dezimalsystem. Was kann man über die Ziffernentwicklung von sagen?


Eine reelle Zahl besitze die Ziffernentwicklung

im Dezimalsystem. Was kann man über die Ziffernentwicklung von sagen?


Zeige, dass es keinen Gruppenhomomorphismus

in eine Gruppe mit der Eigenschaft gibt, dass genau dann irrational ist, wenn ist.


Aufgabe * Aufgabe 47.15 ändern

Es sei eine irrationale Zahl und sei

  1. Zeige, dass eine Untergruppe von ist.
  2. Zeige, dass es kein Element mit

    gibt.

  3. Zeige, dass es in kein positives minimales Element gibt.


Es sei ein angeordneter Körper und eine Folge in . Wir definieren zwei Folgen mit den Anfangswerten und rekursiv durch

und

  1. Zeige, dass wachsend ist.
  2. Zeige, dass fallend ist.
  3. Zeige

    Man kann also jede Folge als Summe einer wachsenden und einer fallenden Folge darstellen.


Es sei ein angeordneter Körper. Zeige, dass man die alternierende Folge nicht als Summe

schreiben kann, wenn und beschränkte und monotone Folgen sind.


Es sei . Zu einem Startwert sei eine reelle Folge rekursiv durch

definiert. Zeige die folgenden Aussagen.

(a) Bei ist für alle und die Folge ist streng fallend.

(b) Bei ist die Folge konstant.

(c) Bei ist für alle und die Folge ist streng wachsend.

(d) Die Folge konvergiert.

(e) Der Grenzwert ist .


Es sei ein archimedisch angeordneter Körper mit der Eigenschaft, dass jede wachsende, nach oben beschränkte Folge in konvergiert. Zeige, dass vollständig ist.


Aufgabe * Aufgabe 47.20 ändern

Wir betrachten die Folge, die durch die Folgenglieder

gegeben ist. Zeige, dass dies eine Nullfolge ist.


Die Folge der Fibonacci-Zahlen ist rekursiv definiert durch


Es sei die Folge der Fibonacci-Zahlen und

Zeige, dass diese Folge in konvergiert und dass der Grenzwert die Bedingung

erfüllt. Berechne daraus .


Beweise durch Induktion die Binet-Formel für die Fibonacci-Zahlen. Diese besagt, dass

gilt ().


Es sei und . Zeige, dass zu einem beliebigen Startwert durch

eine Folge definiert wird, die gegen konvergiert.


Entscheide, ob die Folge

konvergiert, und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.


Welche Dezimalbruchfolgen der Form mit sind Nullfolgen in ? Welche in ?


Bestimme die rationale Zahl, die im Dezimalsystem durch

gegeben ist.


Bestimme die Ziffernentwicklung im Dualsystem derjenigen reellen Zahl, die im Dezimalsystem durch gegeben ist.


Bestimme die Ziffernentwicklung im Dreiersystem derjenigen reellen Zahl, die im Dezimalsystem durch gegeben ist.


Zu den reellen Zahlen und sei die periodische Ziffernentwicklung bekannt,

und

Zeige, dass die Summe ebenfalls eine (nicht unbedingt minimale) Periode der Länge besitzt. Erläutere, wie sich die Periode der Summe aus den beiden einzelnen Perioden ergibt.


Zu den reellen Zahlen und sei die periodische Ziffernentwicklung bekannt,

und

Was kann man über die Periodenlänge der Summe sagen?


Zu den reellen Zahlen und sei die periodische Ziffernentwicklung bekannt,

und

Was kann man über die Periodenlänge des Produktes sagen?


Es sei und sei

die reelle Zahl mit Periodenlänge (die Periode besteht aus Nullen und einer ). Sei

mit . Zeige


Aufgrund der Wohldefiniertheit der Addition und der Multiplikation für die reellen Zahlen können wir je zwei Zahlen, die in der Form

(mit Ziffern aus , die nach rechts unendlich weiter gehen können) miteinander addieren und multiplizieren, insbesondere kommt dabei wieder eine Zahl in einer solchen Form heraus. Jemand kommt auf folgende Idee: „Es müsste dann ebenfalls möglich sein, auch Zahlen der Form

die also nach links unendlich weiter gehen dürfen, miteinander zu addieren und zu multiplizieren. Die Situation ist ja völlig symmetrisch

(Spiegelung an der Einerstelle) zur Dezimalentwicklung und man muss nur die gleichen Rechenregeln analog anwenden“. Was ist davon zu halten?


Die Situation im Schildkröten-Paradoxon von Zenon von Elea ist folgendermaßen: Eine langsame Schildkröte (mit der Kriechgeschwindigkeit ) hat einen Vorsprung gegenüber dem schnelleren Achilles (mit der Geschwindigkeit und dem Startpunkt ). Sie starten gleichzeitig. Achilles kann die Schildkröte nicht einholen: Wenn er beim Ausgangspunkt der Schildkröte ankommt, so ist die Schildkröte nicht mehr dort, sondern ein Stück weiter, sagen wir an der Stelle . Wenn Achilles an der Stelle ankommt, so ist die Schildkröte wieder ein Stück weiter, an der Stelle , u.s.w.

Berechne die Folgenglieder , die zugehörigen Zeitpunkte , sowie die jeweiligen Grenzwerte. Vergleiche diese Grenzwerte mit den direkt berechneten Überholungsdaten.


Es sei . Zeige, dass die Reihe

konvergiert.


Zeige, dass die Folge mit konvergiert.


Es sei ein archimedisch angeordneter Körper mit der Eigenschaft, dass jede Dezimalbruchfolge in konvergiert. Zeige, dass vollständig ist.


Eine Teilmenge heißt dicht, wenn es zu jeder reellen Zahl und jedem Elemente mit

gibt.


Zeige, dass die Menge der rationalen Zahlen in dicht ist.


Zeige, dass die Menge der Dezimalbrüche in dicht ist.


Es sei eine fixierte natürliche Zahl und es sei die Menge aller rationalen Zahlen, die man mit einer Potenz von als Nenner schreiben kann. Zeige, dass in dicht ist.


Aufgabe Aufgabe 47.41 ändern

Es sei eine Teilmenge. Zeige, dass genau dann dicht in ist, wenn es zu jeder reellen Zahl eine Folge gibt, die gegen konvergiert.


Zeige, dass die Menge der irrationalen Zahlen in dicht ist.


Für die folgende Aufgabe ist Aufgabe 47.15 hilfreich.

Zeige, dass die Untergruppe

dicht ist.


Es sei eine (additive) Untergruppe der reellen Zahlen . Zeige, dass entweder mit einer eindeutig bestimmten nichtnegativen reellen Zahl ist, oder aber dicht in ist.




Aufgaben zum Abgeben

Die Teilmenge

ist ein Körper. Zeige, dass es einen von der Identität verschiedenen bijektiven Ringhomomorphismus

gibt.


Bestimme den Grenzwert der durch

definierten reellen Folge.


Es sei ein angeordneter Körper und eine Cauchy-Folge in . Zeige, dass man im Allgemeinen nicht

mit einer wachsenden Cauchy-Folge und einer fallenden Cauchy-Folge schreiben kann.


Es sei eine konvergente Folge mit dem Grenzwert . Zeige, dass die Folge gegen konvergiert.


Bestimme die rationale Zahl, die im Dezimalsystem durch

gegeben ist.



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