Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023)/Teil II/Arbeitsblatt 47

Die Pausenaufgabe

Aufgabe

Heinz Ngolo und Mustafa Müller sagen abwechselnd reelle Zahlen auf. Dabei sind die Zahlen von Heinz alle positiv und fallen, die Zahlen von Mustafa sind negativ und wachsen. Es sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ die dadurch gegebene Folge.

1. Kann ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gegen eine von ${}0$ verschiedene Zahl konvergieren?
2. Muss ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gegen ${}0$ konvergieren?

Übungsaufgaben

Aufgabe

Zeige, dass der einzige Körperisomorphismus

$\varphi \colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

die Identität ist.

Aufgabe

Es sei ${}u\in \mathbb {R}$ und ${}v\in \mathbb {Q}$.

1. Zeige, dass ${}u$ genau dann irrational ist, wenn ${}u+v$ irrational ist.
2. Es sei zusätzlich ${}v\neq 0$. Zeige, dass ${}u$ genau dann irrational ist, wenn ${}u\cdot v$ irrational ist.

Aufgabe *

a) Man gebe ein Beispiel für rationale Zahlen ${}a,b,c\in {]0,1[}$ mit

${}a^{2}+b^{2}=c^{2}\,.$

b) Man gebe ein Beispiel für rationale Zahlen ${}a,b,c\in {]0,1[}$ mit

${}a^{2}+b^{2}\neq c^{2}\,.$

c) Man gebe ein Beispiel für irrationale Zahlen ${}a,b\in {]0,1[}$ und eine rationale Zahl ${}c\in {]0,1[}$ mit

${}a^{2}+b^{2}=c^{2}\,.$

Aufgabe *

In ${}\mathbb {Q}$ sei eine Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gegeben, deren Anfangsglieder durch ${}x_{0}=0$, ${}x_{1}=0,7$, ${}x_{2}=0,73$, ${}x_{3}=0,734$ gegeben sind. Muss die Folge in ${}\mathbb {Q}$ konvergieren? Muss die Folge in ${}\mathbb {R}$ konvergieren? Kann die Folge in ${}\mathbb {Q}$ konvergieren? Kann die Folge in ${}\mathbb {R}$ konvergieren?

Aufgabe

Die Dezimalentwicklungen der beiden reellen Zahlen ${}x$ und ${}y$ beginnen

${}x=0{,}24\ldots \,$

und

${}y=0{,}51\ldots \,.$

Was kann man über die Ziffernentwicklung der Summe ${}x+y$ sagen?

Aufgabe

Die Dezimalentwicklungen der beiden reellen Zahlen ${}x$ und ${}y$ beginnen

${}x=0{,}24719113\dotso \,$

und

${}y=0{,}60421809\dotso \,.$

Was kann man über die Ziffernentwicklung der Summe ${}x+y$ sagen?

Aufgabe

Die Dezimalentwicklungen der beiden reellen Zahlen ${}x$ und ${}y$ beginnen

${}x=0,3\ldots \,$

und

${}y=0,3\ldots \,.$

Was kann man über die Ziffernentwicklung des Produktes ${}x\cdot y$ sagen? Was kann man über die erste Nachkommaziffer des Produktes sagen, wenn die zweite Nachkommaziffer gleich ${}5$ ist.

Aufgabe

Die Dezimalentwicklungen der beiden reellen Zahlen ${}x$ und ${}y$ beginnen

${}x=0{,}536\,080\,713\dotso \,$

und

${}y=0{,}663\,184\,254\dotso \,$

Was kann man über die Ziffernentwicklung des Produktes ${}x\cdot y$ sagen?

Aufgabe *

Es sei ${}T\subseteq \mathbb {R}$ die Teilmenge aller reellen Zahlen, bei denen die ${}17.$ Nachkommastelle in der (kanonischen) Dezimalentwicklung eine ${}0$ ist. Welche Eigenschaften eines Ideals erfüllt diese Menge, welche nicht?

Aufgabe *

Eine reelle Zahl ${}x$ besitze die Ziffernentwicklung

$0{,}523\dotso$

im Dezimalsystem. Was kann man über die Ziffernentwicklung von ${}1/x$ sagen?

Aufgabe

Eine reelle Zahl ${}x$ besitze die Ziffernentwicklung

$0,3715\ldots$

im Dezimalsystem. Was kann man über die Ziffernentwicklung von ${}1/x$ sagen?

Aufgabe

Zeige, dass es keinen Gruppenhomomorphismus

$\varphi \colon (\mathbb {R} ,0,+)\longrightarrow G$

in eine Gruppe ${}G$ mit der Eigenschaft gibt, dass ${}r\in \mathbb {R}$ genau dann irrational ist, wenn ${}\varphi (r)=0$ ist.

Aufgabe *

Es sei ${}u\in \mathbb {R}$ eine irrationale Zahl und sei

${}G={\left\{a+bu\mid a,b\in \mathbb {Z} \right\}}\subseteq \mathbb {R} \,.$

1. Zeige, dass ${}G$ eine Untergruppe von ${}(\mathbb {R} ,0,+)$ ist.
2. Zeige, dass es kein Element ${}v\in \mathbb {R}$ mit

   ${}G=\mathbb {Z} v={\left\{cv\mid c\in \mathbb {Z} \right\}}\,$

   gibt.

3. Zeige, dass es in ${}G$ kein positives minimales Element gibt.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper und ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge in ${}K$. Wir definieren zwei Folgen mit den Anfangswerten ${}y_{0}=x_{0}$ und ${}z_{0}=0$ rekursiv durch

${}y_{n+1}={\begin{cases}y_{n}+x_{n+1}-x_{n},{\text{ falls }}x_{n+1}\geq x_{n}\,,\\y_{n}{\text{ sonst}}\,,\end{cases}}\,$

und

${}z_{n+1}={\begin{cases}z_{n}+x_{n+1}-x_{n},{\text{ falls }}x_{n+1}<x_{n}\,,\\z_{n}{\text{ sonst}}\,.\end{cases}}\,$

1. Zeige, dass ${}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ wachsend ist.
2. Zeige, dass ${}{\left(z_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ fallend ist.
3. Zeige

   ${}x_{n}=y_{n}+z_{n}\,.$

   Man kann also jede Folge als Summe einer wachsenden und einer fallenden Folge darstellen.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper. Zeige, dass man die alternierende Folge ${}(-1)^{n}$ nicht als Summe

${}(-1)^{n}=y_{n}+z_{n}\,$

schreiben kann, wenn ${}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${}{\left(z_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ beschränkte und monotone Folgen sind.

Aufgabe *

Es sei ${}a\in \mathbb {R}$. Zu einem Startwert ${}x_{0}\in \mathbb {R}$ sei eine reelle Folge rekursiv durch

${}x_{n+1}={\frac {x_{n}+a}{2}}\,$

definiert. Zeige die folgenden Aussagen.

(a) Bei ${}x_{0}>a$ ist ${}x_{n}>a$ für alle ${}n\in \mathbb {N}$ und die Folge ist streng fallend.

(b) Bei ${}x_{0}=a$ ist die Folge konstant.

(c) Bei ${}x_{0}<a$ ist ${}x_{n}<a$ für alle ${}n\in \mathbb {N}$ und die Folge ist streng wachsend.

(d) Die Folge konvergiert.

(e) Der Grenzwert ist ${}a$.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein archimedisch angeordneter Körper mit der Eigenschaft, dass jede wachsende, nach oben beschränkte Folge in ${}K$ konvergiert. Zeige, dass ${}K$ vollständig ist.

Aufgabe *

Wir betrachten die Folge, die durch die Folgenglieder

${}x_{n}={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {3}{4}}\cdot {\frac {5}{6}}\cdots {\frac {2n-1}{2n}}\,$

gegeben ist. Zeige, dass dies eine Nullfolge ist.

Die Folge der Fibonacci-Zahlen ${}f_{n}$ ist rekursiv definiert durch

$f_{1}:=1\,,f_{2}:=1{\text{ und }}f_{n+2}:=f_{n+1}+f_{n}.$

Aufgabe

Es sei ${}{\left(f_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ die Folge der Fibonacci-Zahlen und

${}x_{n}={\frac {f_{n}}{f_{n-1}}}\,.$

Zeige, dass diese Folge in ${}\mathbb {R}$ konvergiert und dass der Grenzwert ${}x$ die Bedingung

${}x=1+x^{-1}\,$

erfüllt. Berechne daraus ${}x$.

Aufgabe

Beweise durch Induktion die Binet-Formel für die Fibonacci-Zahlen. Diese besagt, dass

${}f_{n}={\frac {{\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)}^{n}-{\left({\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\right)}^{n}}{\sqrt {5}}}\,$

gilt (${}n\geq 1$).

Aufgabe

Es sei ${}a\in \mathbb {R} _{\geq 0}$ und ${}k\in \mathbb {N} _{+}$. Zeige, dass zu einem beliebigen Startwert ${}x_{0}\in \mathbb {R} _{+}$ durch

${}x_{n+1}:={\frac {(k-1)x_{n}+{\frac {a}{x_{n}^{k-1}}}}{k}}\,$

eine Folge definiert wird, die gegen ${}{\sqrt[{k}]{a}}$ konvergiert.

Aufgabe

Entscheide, ob die Folge

$a_{n}={\sqrt {\frac {2{\sqrt {n}}-3}{3{\sqrt {n}}-2}}}$

konvergiert, und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.

Aufgabe *

Welche Dezimalbruchfolgen der Form ${}0,z_{-1}z_{-2}z_{-3}\ldots$ mit ${}z_{i}\in \{0,\ldots ,9\}$ sind Nullfolgen in ${}\mathbb {R}$? Welche in ${}\mathbb {Q}$?

Aufgabe

Bestimme die rationale Zahl, die im Dezimalsystem durch

$0,11{\overline {05}}$

gegeben ist.

Aufgabe

Bestimme die Ziffernentwicklung im Dualsystem derjenigen reellen Zahl, die im Dezimalsystem durch ${}0{,}{\overline {3}}$ gegeben ist.

Aufgabe

Bestimme die Ziffernentwicklung im Dreiersystem derjenigen reellen Zahl, die im Dezimalsystem durch ${}0{,}{\overline {17}}$ gegeben ist.

Aufgabe

Zu den reellen Zahlen ${}x$ und ${}y$ sei die periodische Ziffernentwicklung bekannt,

${}x=z_{0}{,}{\overline {z_{1}\ldots z_{m}}}\,$

und

${}y=w_{0}{,}{\overline {w_{1}\ldots w_{m}}}\,.$

Zeige, dass die Summe ${}x+y$ ebenfalls eine (nicht unbedingt minimale) Periode der Länge ${}m$ besitzt. Erläutere, wie sich die Periode der Summe aus den beiden einzelnen Perioden ergibt.

Aufgabe

Zu den reellen Zahlen ${}x$ und ${}y$ sei die periodische Ziffernentwicklung bekannt,

${}x=z_{0},z_{1}\ldots z_{k}{\overline {z_{k+1}\ldots z_{k+r}}}\,$

und

${}y=w_{0},w_{1}\ldots w_{\ell }{\overline {w_{\ell +1}\ldots z_{\ell +s}}}\,.$

Was kann man über die Periodenlänge der Summe ${}x+y$ sagen?

Aufgabe

Zu den reellen Zahlen ${}x$ und ${}y$ sei die periodische Ziffernentwicklung bekannt,

${}x=z_{0},z_{1}\ldots z_{k}{\overline {z_{k+1}\ldots z_{k+r}}}\,$

und

${}y=w_{0},w_{1}\ldots w_{\ell }{\overline {w_{\ell +1}\ldots z_{\ell +s}}}\,.$

Was kann man über die Periodenlänge des Produktes ${}x\cdot y$ sagen?

Aufgabe *

Es sei ${}m\in \mathbb {N} _{+}$ und sei

${}x=0,{\overline {0\ldots 01}}\,$

die reelle Zahl mit Periodenlänge ${}m$ (die Periode besteht aus ${}m-1$ Nullen und einer ${}1$). Sei

${}y=\sum _{i=0}^{m-1}z_{i}10^{i}\,$

mit ${}z_{i}\in \{0,1,2,\ldots ,9\}$. Zeige

${}xy=0,{\overline {z_{m-1}z_{m-2}\ldots z_{1}z_{0}}}\,.$

Aufgabe

Aufgrund der Wohldefiniertheit der Addition und der Multiplikation für die reellen Zahlen können wir je zwei Zahlen, die in der Form

$z_{n}z_{n-1}\ldots z_{1}z_{0},z_{-1}z_{-2}\ldots$

(mit Ziffern ${}z_{i}$ aus ${}\{0,1,\ldots ,9\}$, die nach rechts unendlich weiter gehen können) miteinander addieren und multiplizieren, insbesondere kommt dabei wieder eine Zahl in einer solchen Form heraus. Jemand kommt auf folgende Idee: „Es müsste dann ebenfalls möglich sein, auch Zahlen der Form

$\ldots z_{1}z_{0},z_{-1}z_{-2}\ldots z_{-k},$

die also nach links unendlich weiter gehen dürfen, miteinander zu addieren und zu multiplizieren. Die Situation ist ja völlig symmetrisch

(Spiegelung an der Einerstelle) zur Dezimalentwicklung und man muss nur die gleichen Rechenregeln analog anwenden“. Was ist davon zu halten?

Aufgabe

Die Situation im Schildkröten-Paradoxon von Zenon von Elea ist folgendermaßen: Eine langsame Schildkröte (mit der Kriechgeschwindigkeit ${}v>0$) hat einen Vorsprung ${}s>0$ gegenüber dem schnelleren Achilles (mit der Geschwindigkeit ${}w>v$ und dem Startpunkt ${}0$). Sie starten gleichzeitig. Achilles kann die Schildkröte nicht einholen: Wenn er beim Ausgangspunkt der Schildkröte ${}s_{0}=s$ ankommt, so ist die Schildkröte nicht mehr dort, sondern ein Stück weiter, sagen wir an der Stelle ${}s_{1}>s_{0}$. Wenn Achilles an der Stelle ${}s_{1}$ ankommt, so ist die Schildkröte wieder ein Stück weiter, an der Stelle ${}s_{2}>s_{1}$, u.s.w.

Berechne die Folgenglieder ${}s_{n}$, die zugehörigen Zeitpunkte ${}t_{n}$, sowie die jeweiligen Grenzwerte. Vergleiche diese Grenzwerte mit den direkt berechneten Überholungsdaten.

Aufgabe

Es sei ${}k\geq 2$. Zeige, dass die Reihe

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{k}}}$

konvergiert.

Aufgabe

Zeige, dass die Folge ${}(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ mit ${}a_{n}={\frac {1}{n+1}}+\cdots +{\frac {1}{2n}}$ konvergiert.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein archimedisch angeordneter Körper mit der Eigenschaft, dass jede Dezimalbruchfolge in ${}K$ konvergiert. Zeige, dass ${}K$ vollständig ist.

Eine Teilmenge ${}T\subseteq \mathbb {R}$ heißt dicht, wenn es zu jeder reellen Zahl ${}x\in \mathbb {R}$ und jedem ${}\epsilon >0$ Elemente ${}t\in T$ mit

${}\vert {t-x}\vert <\epsilon \,$

gibt.

Aufgabe

Zeige, dass die Menge der rationalen Zahlen ${}\mathbb {Q}$ in ${}\mathbb {R}$ dicht ist.

Aufgabe

Zeige, dass die Menge der Dezimalbrüche in ${}\mathbb {R}$ dicht ist.

Aufgabe

Es sei ${}k\in \mathbb {N} _{\geq 2}$ eine fixierte natürliche Zahl und es sei ${}T$ die Menge aller rationalen Zahlen, die man mit einer Potenz von ${}k$ als Nenner schreiben kann. Zeige, dass ${}T$ in ${}\mathbb {R}$ dicht ist.

Aufgabe

Es sei ${}T\subseteq \mathbb {R}$ eine Teilmenge. Zeige, dass ${}T$ genau dann dicht in ${}\mathbb {R}$ ist, wenn es zu jeder reellen Zahl ${}x\in \mathbb {R}$ eine Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }\in T$ gibt, die gegen ${}x$ konvergiert.

Aufgabe

Zeige, dass die Menge der irrationalen Zahlen in ${}\mathbb {R}$ dicht ist.

Für die folgende Aufgabe ist Aufgabe 47.14 hilfreich.

Aufgabe

Zeige, dass die Untergruppe

${}\mathbb {Z} +\mathbb {Z} \cdot {\sqrt {3}}\subseteq \mathbb {R} \,$

dicht ist.

Aufgabe

Es sei ${}H$ eine (additive) Untergruppe der reellen Zahlen ${}\mathbb {R}$. Zeige, dass entweder ${}H={\mathbb {Z} }a$ mit einer eindeutig bestimmten nichtnegativen reellen Zahl ${}a$ ist, oder aber ${}H$ dicht in ${}\mathbb {R}$ ist.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Die Teilmenge

${}S=\mathbb {Q} +\mathbb {Q} {\sqrt {3}}={\left\{x+y{\sqrt {3}}\mid x,y\in \mathbb {Q} \right\}}\subseteq \mathbb {R} \,$

ist ein Körper. Zeige, dass es einen von der Identität verschiedenen bijektiven Ringhomomorphismus

$\varphi \colon S\longrightarrow S$

gibt.

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme den Grenzwert der durch

$x_{n}={\frac {2n+5{\sqrt {n}}+7}{-5n+3{\sqrt {n}}-4}}$

definierten reellen Folge.

Aufgabe (6 Punkte)

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper und ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Cauchy-Folge in ${}K$. Zeige, dass man im Allgemeinen nicht

${}x_{n}=y_{n}+z_{n}\,$

mit einer wachsenden Cauchy-Folge ${}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und einer fallenden Cauchy-Folge ${}{\left(z_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ schreiben kann.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}x_{n}\in \mathbb {R} _{\geq 0}$ eine konvergente Folge mit dem Grenzwert ${}x$. Zeige, dass die Folge ${}{\sqrt {x_{n}}}$ gegen ${}{\sqrt {x}}$ konvergiert.

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die rationale Zahl, die im Dezimalsystem durch

$0,23{\overline {4707}}$

gegeben ist.