Lösung
- Ein Körper heißt algebraisch abgeschlossen, wenn jedes nichtkonstante Polynom eine Nullstelle in besitzt.
- Eine
Körpererweiterung
heißt eine einfache Radikalerweiterung, wenn es ein gibt mit
und ein mit .
- Ein
Integritätsbereich,
in dem jedes
Ideal
ein
Hauptideal
ist, heißt Hauptidealbereich.
- Das Element heißt algebraisch über , wenn es ein von verschiedenes Polynom mit gibt.
- Eine
Körpererweiterung
heißt normal, wenn es zu jedem ein
Polynom
, ,
mit
gibt, das über
zerfällt.
- Ein Punkt heißt aus in einem Schritt konstruierbar, wenn eine der folgenden Möglichkeiten zutrifft.
- Es gibt zwei aus elementar konstruierbare Geraden
und
mit
.
- Es gibt eine aus elementar konstruierbare Gerade und einen aus elementar konstruierbaren Kreis derart, dass ein Schnittpunkt von
und
ist.
- Es gibt zwei aus elementar konstruierbare Kreise
und
derart, dass ein Schnittpunkt der beiden Kreise ist.
Formuliere die folgenden Sätze.
- Der Satz über die Beziehung zwischen prim und irreduzibel in einem Integritätsbereich .
- Der Satz über die Charakterisierung normaler Körpererweiterungen.
- Der Satz über die Konstruktion der Quadratwurzel.
Lösung
- In einem Integritätsbereich ist ein Primelement stets irreduzibel.
- Sei
eine endliche Körpererweiterung. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
- Die Körpererweiterung ist normal.
- Wenn ein irreduzibles Polynom eine Nullstelle in besitzt, so zerfällt es in .
- Es gibt ein -Algebraerzeugendensystem
, ,
von und über zerfallende Polynome
, , ,
mit
.
- Für jede Körpererweiterung
und jeden -Algebrahomomorphismus
-
ist
.
- Es sei eine mit zwei Punkten
und markierte Gerade, die wir mit den reellen Zahlen identifizieren. Es sei eine positive reelle Zahl. Dann ist die Quadratwurzel aus mittels Zirkel und Lineal
konstruierbar.
Lösung /Aufgabe/Lösung
Lösung
Lösung
Die Äquivalenz (1) (2) gilt in jedem
kommutativen Ring
(auch für
),
siehe
Aufgabe 7.1 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)),
und (3) impliziert natürlich (2). Es sei also (1) erfüllt und sei
von verschieden. Wir bezeichnen einen Repräsentanten davon in ebenfalls mit . Es ist dann
und es ergibt sich eine echte Idealinklusion
.
Ferner können wir
schreiben, da wir in einem Hauptidealring sind. Es folgt
.
Da keine
Einheit
ist und prim
(also nach
Lemma 3.10 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019))
auch irreduzibel)
ist, muss eine Einheit sein. Es ist also
,
und das bedeutet modulo , also in , dass eine Einheit ist. Also ist ein Körper.
Lösung
Es sei der
Grad
von über . Es sei . Wir betrachten die Potenzen
-
Da dies Elemente in einem -dimensionalen
-
Vektorraum
sind, können sie nach
Satz 8.2 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025))
nicht
linear unabhängig
sein. Also gibt es Koeffizienten , die nicht alle gleich sind, mit
-
Das zugehörige Polynom
-
ist nicht das Nullpolynom und es annulliert . Somit ist algebraisch.
Lösung /Aufgabe/Lösung
Lösung
Wir betrachten die Untergruppenbeziehung
-
Die Gruppen besitzen
bzw.
Elemente. Wegen
-
besitzt die
Restklassengruppe
-
genau
-
Elemente. Da alle beteiligten Gruppen zyklisch sind, ist der Restklassenhomomorphismus gleich
-
wobei der Erzeuger auf einen Erzeuger geht. Deshalb wird der Kern von erzeugt. Es ist also
-
die erste Potenz, die in liegt, und dieses ist ein primitives Element.
Lösung /Aufgabe/Lösung
Es sei eine Primzahl.
a) Bestimme den
Grad
der
Körpererweiterung
-
Man gebe auch eine
-
Basis
von an.
b) Zeige, dass in alle Elemente der Form
und
mit eine dritte Wurzel besitzen.
c) Die rationale Zahl besitze in eine dritte Wurzel. Zeige, dass die Form
-
mit besitzt.
d) Es sei nun eine weitere, von verschiedene Primzahl. Bestimme den Grad der Körpererweiterung
-
Lösung
a) Wegen besitzt das Polynom keine Nullstelle in . Daher ist es
nach Aufgabe 3.14 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019))
irreduzibel
und somit ist nach
Lemma 7.12 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019))
das
Minimalpolynom
und somit besitzt die Körpererweiterung
-
den Grad . Eine
-
Basis
ist durch gegeben.
b) Es ist
-
und
-
c) Eine dritte Potenz in besitzt die Form mit . Sei
-
mit . Dann ist
-
mit
-
-
und
-
Wegen müssen die beiden hinteren Komponenten sein, also
-
Daher ist auch
-
Es sei zuerst der hintere Faktor . Bei
müsste
-
sein, was der Irrationalität dieser dritten Wurzel widerspricht. Also ist
und damit auch
.
Es sei nun
-
Wegen
folgt daraus
oder .
In jedem Fall sind also mindestens zwei der Koeffizienten gleich . Die zugehörigen dritten Potenzen sind
-
und somit sind die rationalen Zahlen, die in diesem Körper eine dritte Wurzel besitzen, von der beschriebenen Art.
d) Wir betrachten die Körpererweiterung
-
Nach Teil b) ist . Somit ist irreduzibel über und daher besitzt nach der gleichen Argumentation wie unter a) die Körpererweiterung
-
den Grad . Nach der
Gradformel
besitzt die Gesamterweiterung
-
den Grad
.
Lösung /Aufgabe/Lösung
Lösung
Wenn das Polynom schon über eine Nullstelle besitzt, so ist die Aussage klar, da es dann um den Zerfällungskörper eines Polynoms vom maximalen Grad handelt, dessen Grad maximal gleich
-
ist. Es sei
eine Körpererweiterung vom Grad , unter der das Polynom eine Nullstelle bekommt. Zu gehört auch , und da gerade ist, ist dies ebenfalls eine Nullstelle. Somit gilt über
-
und man braucht maximal den Grad , um zu zerfällen. Insgesamt ist der benötigte Grad also gleich . Dabei ist
-
da dies zu
-
äquivalent ist, was wegen
erfüllt ist.
Lösung
Es gilt die Gleichung
-
mit
. Das dritte
Kreisteilungspolynom errechnet sich aus
-
zu
(Division mit Rest)
-
Wegen berechnet man das neunte Kreisteilungspolynom durch die Divison
-
Dies ergibt
-
Lösung /Aufgabe/Lösung
Lösung
Die Kreisgleichungen der beiden Kreise sind
-
und
-
Die Differenz der beiden Gleichungen ergibt
-
Also ist
-
Dies setzen wir in die erste Kreisgleichung ein und erhalten
Nach der Lösungsformel für eine quadratische Gleichung ist
Somit ist
und
Die Schnittpunkte sind also
-
und
-
Lösung
Beweise den Satz, dass man zu einer positiven reellen Zahl ihre Quadratwurzel mit Zirkel und Lineal konstruieren kann.
Lösung
Beweise das Austauschlemma für Transzendenzbasen.
Lösung
Wir zeigen, dass man durch eines der ersetzen kann. Da die Körpererweiterung
algebraisch ist, gibt es zu jedem ein
irreduzibles Polynom
mit
.
Wir multiplizieren mit dem Hauptnenner sämtlicher Koeffizienten der und können dann annehmen, dass gilt. Nehmen wir an, dass sämtliche sogar zu gehören. Dann wäre die Körperkette
-
eine nach
Aufgabe 10.4 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019))
algebraische Erweiterung und insbesondere wäre algebraisch über im Widerspruch zur Voraussetzung, dass die algebraisch unabhängig sind. Es gibt also ein mit . Wir schreiben
-
mit
-
und . Dabei ist zumindest ein
für ein
.
Daher können wir die Gleichung
als eine algebraische Gleichung für über lesen. Dies bedeutet, dass algebraisch über ist.
Wir behaupten, dass eine Transzendenzbasis von über ist, wobei wir gerade gezeigt haben, dass darüber algebraisch ist. Es ist zu zeigen, dass diese Elemente algebraisch unabhängig sind. Wären sie algebraisch abhängig, so müsste algebraisch über sein. Doch dann wäre, wieder wegen der Transitivität von algebraisch, auch algebraisch über im Widerspruch zur Voraussetzung.