Kurs:Lineare Algebra/Teil I/33/Klausur mit Lösungen



Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
Punkte 3 3 3 2 8 0 0 0 0 3 0 0 0 3 0 0 0 0 25




Aufgabe (3 Punkte)


Lösung


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. /Fakt/Name
  2. /Fakt/Name
  3. /Fakt/Name


Lösung


Aufgabe (3 (1+1+1) Punkte)

Bei einer Fußballweltmeisterschaft werden in der Runde der letzten vier die Plätze nach folgendem Modus bestimmt: Es gibt zwei Halbfinals, deren Gewinner das Finale und deren Verlierer das Spiel um Platz bestreiten. Von einer solchen Runde seien die Mannschaften und die Ergebnisse der insgesamt vier Spiele bekannt, aber nicht die Rolle der Spiele.

  1. Welche Information über die Platzierung kann man stets aus den Daten erschließen?
  2. Unter welcher Bedingung kann man die Rolle aller Spiele erschließen,
  3. unter welcher nicht?


Lösung

  1. Es gibt genau eine Mannschaft, die zweimal gewinnt, diese ist Weltmeister, und genau eine Mannschaft, die zweimal verliert, diese ist Vierter. Die beiden anderen Mannschaften gewinnen einmal und verlieren einmal und sind Zweiter oder Dritter.
  2. Wenn der Erste gegen den Vierten (die ja beide bekannt sind) spielt, so muss dieses Spiel ein Hauptfinale sein. Das komplementäre Spiel ist ebenfalls ein Halbfinale, das andere Spiel des Ersten muss das Finale und das andere Spiel des Vierten muss das Spiel um Platz drei sein. Somit sind alle Platzierungen bekannt.
  3. Wenn der Erste nicht gegen den Vierten spielt, so kann man den Zweiten nicht vom Dritten unterscheiden.


Aufgabe (2 Punkte)

Angelika Freiwurf kommt um 15:00 zum See und angelt bis 18:00. Zu Beginn befinden sich 10 Hechte und 80000 Buntbarsche im See. Ein Hecht verspeist pro Stunde 3 Buntbarsche. Angelika fängt pro Stunde 5 Buntbarsche. Darüber hinaus fängt sie um 16:00 einen Hecht und zum Abschluss um 18:00 noch mal einen Hecht. Wie viele Hechte und wie viele Buntbarsche befinden sich um 18:00 im See?


Lösung

Angelika fängt insgesamt 2 Hechte und

Buntbarsche. In der ersten Stunde verspeisen die 10 Hechte

Buntbarsche und in den folgenden zwei Stunden verspeisen die 9 verbliebenen Hechte

Buntbarsche. Wegen

gibt es um noch 8 Hechte und

Buntbarsche im See.


Aufgabe (8 Punkte)

Es seien endliche Mengen mit bzw. Elementen. Wir betrachten die Abbildung

die durch die Hintereinanderschaltung von Abbildungen gegeben ist. Zeige, dass genau dann surjektiv ist, wenn

ist.


Lösung

Sei zuerst

Wir nennen das Minimum rechts . Wir wählen Teilmengen und mit jeweils Elementen und eine bijektive Abbildung

Diese erweitern wir zu einer Abbildung

indem wir die Werte zu Elementen aus irgendwie festlegen. Das Bild von besitzt zumindest Elemente. Diese Abbildung kann nicht durch faktorisieren, da weniger als Elemente besitzt.

Es sei nun

Dabei sei zunächst

Daher gibt es eine injektive Abbildung von nach , und wir fixieren eine injektive Abbildung

Es sei

vorgegeben. Wir definieren

durch

wobei fixiert ist. Dabei ist

nach Konstruktion.

Es sei nun

Bei ist die Aussage direkt klar, sei also . Dann gibt es eine surjektive Abbildung von nach , und wir fixieren eine surjektive Abbildung

Es sei

vorgegeben. Wir definieren

durch

wobei ein Element mit

ist. Dabei ist

nach Konstruktion.


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (3 Punkte)

Löse das folgende lineare Gleichungssystem über dem Körper .


Lösung

Das inverse Element zu in ist , somit ist in die Variable eliminiert. Dies ergibt

Somit ist

und aus

ergibt sich

und somit

Die einzige Lösung ist also .


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die Eigenwerte, Eigenvektoren und Eigenräume zu einer ebenen Drehung zu einem Drehwinkel , , über .


Lösung

Das charakteristische Polynom ist

Die Eigenwerte sind die Nullstellen davon, also

und

Zur Berechnung der Eigenräume setzen wir die Eigenwerte für in die obige Matrix ein und bestimmen den Kern. Sei dafür zunächst .

Für ergibt sich die Matrix

der Kern wird vom Vektor

erzeugt. Also ist .

Für ergibt sich die Matrix

der Kern wird vom Vektor

erzeugt. Also ist .

Für fallen die Eigenwerte zusammen und der einzige Eigenraum ist .


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung