Kurs:Lineare Algebra/Teil II/11/Klausur mit Lösungen

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	${}\sum$
Punkte	3	3	4	4	5	0	4	0	6	5	4	4	3	3	12	0	60

Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Ein Skalarprodukt auf einem ${}{\mathbb {K} }$- Vektorraum ${}V$.
2. Die Gramsche Matrix zu einer Bilinearform ${}\left\langle -,-\right\rangle$ auf einem ${}K$- Vektorraum ${}V$ bezüglich einer Basis ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ von ${}V$.
3. Eine Relation zwischen den Mengen ${}X$ und ${}Y$.
4. Eine Orientierung auf einem reellen endlichdimensionalen Vektorraum ${}V$.
5. Die offene Kugel mit Mittelpunkt ${}x\in M$ und Radius ${}r\in \mathbb {R} _{+}$ in einem metrischen Raum ${}M$.
6. Eine spaltenstochastische Matrix.

Lösung

1. Ein Skalarprodukt auf ${}V$ ist eine Abbildung

   $V\times V\longrightarrow {\mathbb {K} },\,(v,w)\longmapsto \left\langle v,w\right\rangle ,$

   mit folgenden Eigenschaften:

   1. Es ist

      ${}\left\langle \lambda _{1}x_{1}+\lambda _{2}x_{2},y\right\rangle =\lambda _{1}\left\langle x_{1},y\right\rangle +\lambda _{2}\left\langle x_{2},y\right\rangle \,$

      für alle ${}\lambda _{1},\lambda _{2}\in {\mathbb {K} }$, ${}x_{1},x_{2},y\in V$ und

      ${}\left\langle x,\lambda _{1}y_{1}+\lambda _{2}y_{2}\right\rangle ={\overline {\lambda _{1}}}\left\langle x,y_{1}\right\rangle +{\overline {\lambda _{2}}}\left\langle x,y_{2}\right\rangle \,$

      für alle ${}\lambda _{1},\lambda _{2}\in {\mathbb {K} }$, ${}x,y_{1},y_{2}\in V$.

   2. Es ist

      ${}\left\langle v,w\right\rangle ={\overline {\left\langle w,v\right\rangle }}\,$

      für alle ${}v,w\in V$.

   3. Es ist ${}\left\langle v,v\right\rangle \geq 0$ für alle ${}v\in V$ und ${}\left\langle v,v\right\rangle =0$ genau dann, wenn ${}v=0$ ist.
2. Die ${}n\times n$- Matrix

   $\left\langle v_{i},v_{j}\right\rangle _{1\leq i,j\leq n}$

   heißt die Gramsche Matrix von ${}\left\langle -,-\right\rangle$ bezüglich der Basis.

3. Eine Relation zwischen ${}X$ und ${}Y$ ist eine Teilmenge ${}R\subseteq X\times Y$.
4. Eine Orientierung auf ${}V$ ist eine Äquivalenzklasse von Basen von ${}V$ unter der Äquivalenzrelation, orientierungsgleich zu sein.
5. Die offene Kugel zum Mittelpunkt ${}x$ und Radius ${}r$ ist durch

   ${}U{\left(x,r\right)}={\left\{y\in M\mid d(x,y)<r\right\}}\,$

   definiert.

6. Eine reelle quadratische Matrix

   ${}M=(a_{ij})_{1\leq i,j\leq n}\,$

   heißt spaltenstochastisch, wenn alle Einträge

   ${}a_{ij}\geq 0\,$

   sind und für jede Spaltensumme (also jedes ${}j$)

   ${}\sum _{i=1}^{n}a_{ij}=1\,$

   gilt.

Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über die Eigenwerte bei einer Isometrie

   $\varphi \colon V\longrightarrow V$

   auf einem endlichdimensionalen ${}{\mathbb {C} }$-

   Vektorraum.
2. Der Satz über die Charakterisierung der Mittelsenkrechten mit einer Abstandsbedingung.
3. Der Charakterisierungssatz für asymptotisch stabile Endomorphismen.

Lösung

1. Sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}{\mathbb {K} }$-Vektorraum und sei

   $\varphi \colon V\longrightarrow V$

   eine lineare Isometrie. Dann besitzt jeder Eigenwert von ${}\varphi$ den Betrag ${}1$.
2. Es seien ${}A,B$ verschiedene Punkte in einer euklidischen Ebene. Dann besteht die Mittelsenkrechte zu ${}A$ und ${}B$ genau aus allen Punkten, die zu ${}A$ und ${}B$ den gleichen Abstand haben.
3. Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}{\mathbb {K} }$-Vektorraum und

   $\varphi \colon V\longrightarrow V$

   ein Endomorphismus. Dann sind folgende Eigenschaften äquivalent.

   1. ${}\varphi$ ist asymptotisch stabil.
   2. Zu jedem ${}v\in V$ konvergiert die Folge ${}\varphi ^{n}(v)$, ${}n\in \mathbb {N}$, gegen ${}0\in V$.
   3. Es gibt ein Erzeugendensystem ${}v_{1},\ldots ,v_{m}\in V$ derart, dass ${}\varphi ^{n}(v_{j})$, ${}j=1,\ldots ,m$, gegen ${}0$ konvergiert.
   4. Der Betrag eines jeden komplexen Eigenwerts von ${}\varphi$ ist kleiner als ${}1$.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}V$ ein Vektorraum über ${}{\mathbb {C} }$ mit einem Skalarprodukt ${}\left\langle -,-\right\rangle$ und der zugehörigen Norm ${}\Vert {-}\Vert$. Zeige

${}\left\langle v,w\right\rangle ={\frac {1}{4}}{\left(\Vert {v+w}\Vert ^{2}-\Vert {v-w}\Vert ^{2}+{\mathrm {i} }\Vert {v+{\mathrm {i} }w}\Vert ^{2}-{\mathrm {i} }\Vert {v-{\mathrm {i} }w}\Vert ^{2}\right)}\,.$

Lösung

Es ist

${}{\begin{aligned}&\,\Vert {v+w}\Vert ^{2}-\Vert {v-w}\Vert ^{2}+{\mathrm {i} }\Vert {v+{\mathrm {i} }w}\Vert ^{2}-{\mathrm {i} }\Vert {v-{\mathrm {i} }w}\Vert ^{2}\\&=\left\langle v+w,v+w\right\rangle -\left\langle v-w,v-w\right\rangle +{\mathrm {i} }\left\langle v+{\mathrm {i} }w,v+{\mathrm {i} }w\right\rangle -{\mathrm {i} }\left\langle v-{\mathrm {i} }w,v-{\mathrm {i} }w\right\rangle \\&=2\left\langle v,w\right\rangle +2\left\langle w,v\right\rangle +{\mathrm {i} }\left\langle v+{\mathrm {i} }w,v+{\mathrm {i} }w\right\rangle -{\mathrm {i} }\left\langle v-{\mathrm {i} }w,v-{\mathrm {i} }w\right\rangle \\&=2\left\langle v,w\right\rangle +2\left\langle w,v\right\rangle +{\mathrm {i} }\left\langle v,{\mathrm {i} }w\right\rangle +{\mathrm {i} }\left\langle {\mathrm {i} }w,v\right\rangle -{\mathrm {i} }\left\langle v,-{\mathrm {i} }w\right\rangle -{\mathrm {i} }\left\langle -{\mathrm {i} }w,v\right\rangle \\&=2\left\langle v,w\right\rangle +2\left\langle w,v\right\rangle +\left\langle v,w\right\rangle -\left\langle w,v\right\rangle +\left\langle v,w\right\rangle -\left\langle w,v\right\rangle \\&=4\left\langle v,w\right\rangle .\end{aligned}}$

Division durch ${}4$ liefert das Resultat.

Aufgabe (4 Punkte)

Betrachte die Matrix

${}M={\begin{pmatrix}\operatorname {cos} \,\alpha &-\operatorname {sin} \,\alpha \\\operatorname {sin} \,\alpha &\operatorname {cos} \,\alpha \end{pmatrix}}\,$

als lineare Abbildung

$M\colon {\mathbb {C} }^{2}\longrightarrow {\mathbb {C} }^{2}.$

Bestimme die Eigenwerte und eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren von ${}M$.

Lösung

Das charakteristische Polynom von ${}M$ ist

${}{\begin{aligned}\det {\begin{pmatrix}X-\cos \alpha &\sin \alpha \\-\sin \alpha &X-\cos \alpha \end{pmatrix}}&={\left(X-\cos \alpha \right)}^{2}+\sin ^{2}\alpha \\\end{aligned}}$

Die Nullstellen davon sind

${}x_{1,2}=\cos \alpha +\pm {\mathrm {i} }\sin \alpha \,,$

und dies sind die (komplexen) Eigenwerte von ${}M$. Der Eigenraum zu ${}x_{1}=\cos \alpha +{\mathrm {i} }\sin \alpha$ ergibt sich als Kern von ${}{\begin{pmatrix}\cos \alpha +{\mathrm {i} }\sin \alpha -\cos \alpha &\sin \alpha \\-\sin \alpha &\cos \alpha +{\mathrm {i} }\sin \alpha -\cos \alpha \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\mathrm {i} }\sin \alpha &\sin \alpha \\-\sin \alpha &{\mathrm {i} }\sin \alpha \end{pmatrix}}$. Dieser ist ${}{\mathbb {C} }{\begin{pmatrix}{\mathrm {i} }\\1\end{pmatrix}}$ und ${}{\begin{pmatrix}{\mathrm {i} }\\1\end{pmatrix}}$ ist ein Eigenvektor.

Der Eigenraum zu ${}x_{1}=\cos \alpha -{\mathrm {i} }\sin \alpha$ ergibt sich als Kern von ${}{\begin{pmatrix}\cos \alpha -{\mathrm {i} }\sin \alpha -\cos \alpha &\sin \alpha \\-\sin \alpha &\cos \alpha -{\mathrm {i} }\sin \alpha -\cos \alpha \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-{\mathrm {i} }\sin \alpha &\sin \alpha \\-\sin \alpha &-{\mathrm {i} }\sin \alpha \end{pmatrix}}$. Dieser ist ${}{\mathbb {C} }{\begin{pmatrix}-{\mathrm {i} }\\1\end{pmatrix}}$ und ${}{\begin{pmatrix}-{\mathrm {i} }\\1\end{pmatrix}}$ ist ein Eigenvektor. Wegen

${}\left\langle {\begin{pmatrix}{\mathrm {i} }\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}-{\mathrm {i} }\\1\end{pmatrix}}\right\rangle ={\mathrm {i} }\cdot {\mathrm {i} }+1=0\,$

stehen die beiden Eigenvektoren senkrecht aufeinander. Beide haben die Norm ${}2$, sodass ${}{\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}-{\mathrm {i} }\\1\end{pmatrix}}$ und ${}{\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}{\mathrm {i} }\\1\end{pmatrix}}$ eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren ist.

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei

${}M={\begin{pmatrix}1&a_{12}&\ldots &\ldots &a_{1n}\\0&1&a_{23}&\ldots &a_{2n}\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\ldots &0&1&a_{n-1n}\\0&\ldots &\ldots &0&1\end{pmatrix}}\,$

eine obere Dreiecksmatrix derart, dass die zugehörige lineare Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$

winkeltreu ist. Zeige

${}M=E_{n}\,.$

Lösung

Wir führen Induktion über den Index der Spalten, wir zeigen also, dass in den ersten ${}k$ Spalten oberhalb der Diagonalen nur ${}0$ stehen. Für die erste Spalte ist dies klar. Es sei also nun als Induktionsvoraussetzung schon bewiesen, dass in den ersten ${}k$ Spalten oberhalb der Diagonalen nur ${}0$ stehen. Wir betrachten die ${}k+1$-te Spalte

${\begin{pmatrix}a_{1\,k+1}\\a_{2\,k+1}\\\vdots \\a_{k\,k+1}\\1\\0\\\vdots \\0\end{pmatrix}}.$

Da ${}\varphi$ winkeltreu ist, ist insbesondere

${}\left\langle \varphi (e_{i}),\varphi (e_{j})\right\rangle =\left\langle e_{i},e_{j}\right\rangle =\delta _{ij}\,.$

Die Spalten der Matrix sind ${}\varphi (e_{j})$. Daher ist für

${}i<k+1\,$

unter Verwendung der Induktionsvoraussetzung

${}0=\left\langle \varphi (e_{i}),\varphi (e_{k+1})\right\rangle =\left\langle e_{i},{\begin{pmatrix}a_{1\,k+1}\\a_{2\,k+1}\\\vdots \\a_{k\,k+1}\\1\\0\\\vdots \\0\end{pmatrix}}\right\rangle =a_{i\,k+1}\,,$

d.h. auch die Einträge in der ${}k+1$-Spalte oberhalb der Diagonalen sind ${}0$.

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme den Typ der Matrix

${\begin{pmatrix}-6&1-4{\mathrm {i} }&2+3{\mathrm {i} }\\1+4{\mathrm {i} }&1&-6{\mathrm {i} }\\2-3{\mathrm {i} }&6{\mathrm {i} }&-1\end{pmatrix}}.$

Lösung

Die relevanten Minoren der Matrix

${\begin{pmatrix}-6&1-4{\mathrm {i} }&2+3{\mathrm {i} }\\1+4{\mathrm {i} }&1&-6{\mathrm {i} }\\2-3{\mathrm {i} }&6{\mathrm {i} }&-1\end{pmatrix}}$

sind ${}-6,$

${}\det {\begin{pmatrix}-6&1-4{\mathrm {i} }\\1+4{\mathrm {i} }&1\end{pmatrix}}=-6-{\left(1+4{\mathrm {i} }\right)}{\left(1-4{\mathrm {i} }\right)}=-6-17=-23\,$

und

${}{\begin{aligned}\det {\begin{pmatrix}-6&1-4{\mathrm {i} }&2+3{\mathrm {i} }\\1+4{\mathrm {i} }&1&-6{\mathrm {i} }\\2-3{\mathrm {i} }&6{\mathrm {i} }&-1\end{pmatrix}}&=-6{\left(-1-36\right)}-{\left(1+4{\mathrm {i} }\right)}{\left(-{\left(1-4{\mathrm {i} }\right)}-6{\mathrm {i} }{\left(2+3{\mathrm {i} }\right)}\right)}+{\left(2-3{\mathrm {i} }\right)}{\left(-6{\mathrm {i} }{\left(1-4{\mathrm {i} }\right)}-{\left(2+3{\mathrm {i} }\right)}\right)}\\&=222-{\left(1+4{\mathrm {i} }\right)}{\left(17-8{\mathrm {i} }\right)}+{\left(2-3{\mathrm {i} }\right)}{\left(-26-9{\mathrm {i} }\right)}\\&=222-128\\&=94.\end{aligned}}$

In der Folge ${}1,-6,-23,94$ gibt es zwei Vorzeichenwechsel, daher ist der Typ gleich ${}(1,2)$.

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (6 (2+2+2) Punkte)

Es sei ${}M$ eine Menge und ${}\preccurlyeq$ eine Relation auf ${}M$, die reflexiv und transitiv sei.

1. Zeige, dass auf ${}M$ durch ${}x\sim y$, falls ${}x\preccurlyeq y$ und ${}y\preccurlyeq x$ ist, eine Äquivalenzrelation definiert wird.
2. Es sei ${}Q$ die Quotientenmenge zu ${}M$ zur Äquivalenzrelation aus (1). Zeige, dass durch ${}[x]\leq [y]$, falls ${}x\preccurlyeq y$, eine wohldefinierte Relation auf ${}Q$ gegeben ist.
3. Zeige, dass die Relation auf ${}Q$ aus (2) eine Ordnungsrelation ist.

Lösung

1. Die Reflexivität ist klar. Zur Symmetrie: Sei ${}x\sim y$, also ${}x\preccurlyeq y$ und ${}y\preccurlyeq x$. Somit gilt auch ${}y\sim x$. Zur Transitivität: Sei ${}x\sim y$ und ${}y\sim z$. Dies bedeutet ${}x\preccurlyeq y$ und ${}y\preccurlyeq x$ und ${}y\preccurlyeq z$ und ${}z\preccurlyeq y$. Die Transitivität von ${}\preccurlyeq$ liefert ${}x\preccurlyeq z$ und ${}z\preccurlyeq x$. Dies bedeutet ${}x\sim z$.
2. Es sei ${}[x]=[u]$ und ${}[y]=[v]$ und es gelte ${}x\preccurlyeq y$. Da ${}u$ zu ${}x$ und ${}v$ zu ${}y$ äquivalent sind, gilt insbesondere ${}u\preccurlyeq x$ und ${}y\preccurlyeq v$. Eine doppelte Anwendung der Transitivität von ${}\preccurlyeq$ liefert ${}u\preccurlyeq v$, was die Wohldefiniertheit besagt.
3. Nach Definition von ${}\leq$ auf ${}Q$ gilt ${}[x]\leq [y]$ genau dann, wenn ${}x\preccurlyeq y$ gilt. Somit ergibt sich die Reflexivität und die Transitivität von ${}\leq$ unmittelbar aus den entsprechenden Eigenschaften von ${}\preccurlyeq$. Zur Antisymmetrie: Sei ${}[x]\leq [y]$ und ${}[y]\leq [x]$. Dies bedeutet ${}x\preccurlyeq y$ und ${}y\preccurlyeq x$, was wiederum ${}x\sim y$, also ${}[x]=[y]$, bedeutet.

Aufgabe (5 Punkte)

Zeige, dass die Untergruppen von ${}\mathbb {Z}$ genau die Teilmengen der Form

${}\mathbb {Z} d={\left\{kd\mid k\in \mathbb {Z} \right\}}\,$

mit einer eindeutig bestimmten nicht-negativen Zahl ${}d$ sind.

Lösung

Eine Teilmenge der Form ${}\mathbb {Z} d$ ist aufgrund der Distributivgesetze eine Untergruppe. Es sei umgekehrt ${}H\subseteq \mathbb {Z}$ eine Untergruppe. Bei ${}H=0$ kann man ${}d=0$ nehmen, sodass wir voraussetzen dürfen, dass ${}H$ neben ${}0$ noch mindestens ein weiteres Element ${}x$ enthält. Wenn ${}x$ negativ ist, so muss die Untergruppe ${}H$ auch das Negative davon, also ${}-x$ enthalten, welches positiv ist. D.h. ${}H$ enthält auch positive Zahlen. Es sei nun ${}d$ die kleinste positive Zahl aus ${}H$. Wir behaupten ${}H=\mathbb {Z} d$. Dabei ist die Inklusion ${}\mathbb {Z} d\subseteq H$ klar, da mit ${}d$ alle (positiven und negativen) Vielfachen von ${}d$ dazugehören müssen. Für die umgekehrte Inklusion sei ${}h\in H$ beliebig. Nach der Division mit Rest gilt

$h=qd+r{\text{ mit }}0\leq r<d.$

Wegen $h\in H$ und $qd\in H$ ist auch ${}r=h-qd\in H$. Nach der Wahl von ${}d$ muss wegen ${}r<d$ gelten: ${}r=0$ Dies bedeutet ${}h=qd$ und damit ${}h\in \mathbb {Z} d$, also ${}H\subseteq \mathbb {Z} d$.

Aufgabe (4 (2+2) Punkte)

Wir betrachten die endliche Permutationsgruppe ${}S_{n}$ zu einer Menge mit ${}n$ Elementen.

a) Zeige, dass es in ${}S_{n}$ Elemente der Ordnung ${}n$ gibt.

b) Man gebe ein Beispiel für eine Permutationsgruppe ${}S_{n}$ und einem Element darin, dessen Ordnung größer als ${}n$ ist.

Lösung

Die Menge sei ${}M=\{1,2,\ldots ,n\}$.

a) Die zyklische Permutation

${}x$	${}1$	${}2$	${}\cdots$	${}n-1$	${}n$
${}\sigma (x)$	${}2$	${}3$	${}\cdots$	${}n$	${}1$

hat offenbar die Ordnung ${}n$, da zu jedem Element ${}a\in M$ die Potenzen ${}\sigma ^{j}(a)$ für ${}j=0,1,2,\ldots ,n-1$ die Elemente von ${}M$ durchlaufen.

b) Es sei ${}M=\{1,2,\ldots ,n\}$ und betrachte die Permutation

${}x$	${}1$	${}2$	${}3$	${}4$	${}5$
${}\sigma (x)$	${}2$	${}1$	${}4$	${}5$	${}3$

Die Zahlen ${}1$ und ${}2$ sind wieder an ihrer Stelle, wenn man eine Potenz von ${}\sigma$ mit einem geraden Exponenten anwendet, und die Zahlen ${}3,4$ und ${}5$ sind wieder an ihrer Stelle, wenn der Exponent ein Vielfaches von ${}3$ ist. Die Ordnung ist also ${}6>5$.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}n\in \mathbb {N} _{+}$. Definiere einen injektiven Gruppenhomomorphismus

$\operatorname {O} _{n}\!{\left(\mathbb {R} \right)}\longrightarrow \operatorname {SO} _{n+1}\!{\left(\mathbb {R} \right)}$

von der Gruppe der Isometrien auf dem ${}\mathbb {R} ^{n}$ in die Gruppe der eigentlichen Isometrien auf dem ${}\mathbb {R} ^{n+1}$.

Lösung

Wir betrachten die Abbildung

$M\longmapsto {\begin{pmatrix}M&0\\0&\det M\end{pmatrix}},$

wobei die beiden ${}0$ für eine Nullspalte bzw. eine Nullzeile der Länge ${}n$ stehen. Die orthogonale Matrix ${}M$ wird also auf eine Blockmatrix abgebildet, wobei die Matrix selbst einen ${}n\times n$-Block und die Determinante einen ${}1\times 1$-Block bildet. Dies Zuordnung ist injektiv, da sich ${}M$ aus dem Bild rekonstruieren lässt. Die Abbildung ist ein Gruppenhomomorphismus, da Blockmatrizen blockweise multipliziert werden. Die Matrix ${}{\begin{pmatrix}M&0\\0&\det M\end{pmatrix}}$ ist wieder orthogonal und ihre Determinante ist nach dem Entwicklungssatz gleich

${}\det M\cdot \det M=1\,,$

da die Determinante von ${}M$ nach Lemma 33.13 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)) gleich ${}\pm 1$ ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass der Kern eines Ringhomomorphismus

$\varphi \colon R\longrightarrow S$

ein Ideal in ${}R$ ist.

Lösung

Es sei

${}I:=\varphi ^{-1}(0)\,.$

Wegen ${}\varphi (0)=0$. ist ${}0\in I$. Es seien ${}a,b\in I$. Das bedeutet ${}\varphi (a)=0$ und ${}\varphi (b)=0$. Dann ist

${}\varphi (a+b)=\varphi (a)+\varphi (b)=0+0=0\,$

und daher ${}a+b\in I$.

Es sei nun ${}a\in I$ und ${}r\in R$ beliebig. Dann ist

${}\varphi (ra)=\varphi (r)\varphi (a)=\varphi (r)\cdot 0=0\,,$

also ist ${}ra\in I$.

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die eigentliche und die uneigentliche Symmetriegruppe eines Fußballfeldes. Dabei soll zu jeder Symmetrie die Ordnung angegeben werden.

Lösung

Eigentliche Isometrien der Ebene sind Drehungen, somit sind lediglich die Identität (mit Ordnung ${}1$) und die Halbdrehung (mit Ordnung ${}2$) eigentliche Symmetrien des Fußballfeldes. Im uneigentlichen Fall kommen noch Achsenspiegelungen dazu, nämlich die Achsenspiegelung an der Mittellinie und die Achsenspiegelung an der Achse durch die Tormittelpunkte. Diese beiden haben die Ordnung ${}2$. Die Hintereinanderschaltung dieser beiden Spiegelungen ist die Halbdrehung.

Aufgabe (12 (6+1+5) Punkte)

Wir wollen Aussagen über die Determinante einer spaltenstochastischen ${}d\times d$- Matrix machen.

1. Zeige, dass für die Determinante einer spaltenstochastischen Matrix ${}M$ die Beziehung

   ${}\vert {\det M}\vert \leq 1\,$

   gilt.

2. Man gebe ein Beispiel für eine spaltenstochastische Matrix, die nicht die Einheitsmatrix sei, mit

   ${}\det M=1\,$

3. Es sei ${}d\geq 2$ und ${}M$ besitze zusätzlich die Eigenschaft, dass es eine Zeile mit ausschließlich positiven Einträgen gebe. Zeige

   ${}\vert {\det M}\vert <1\,$

Lösung

1. Nach Fakt ***** ist eine spaltenstochastische Matrix stabil, d.h. die Folge ${}M^{n}$, ${}n\in \mathbb {N}$, ist beschränkt. Ferner ist die Menge der spaltenstochastischen Matrizen abgeschlossen im Raum aller Matrizen, da die Summenbedingung und die Bedingung, dass alle Einträge ${}\geq 0$ sind, durch stetige Funktionen ausgedrückt werden können. Nach dem Satz von Heine-Borel ist die Menge der spaltenstochastischen Matrizen kompakt. Die Determinante ist als Polynomfunktion ebenfalls stetig und dies gilt auch für den Betrag. Daher ist die Menge

   $\vert {\det M^{n}}\vert ,n\in \mathbb {N}$

   Fakt ***** ebenfalls kompakt und beschränkt. Nach dem Determinantenmultiplikationssatz ist

   ${}\det M^{n}={\left(\det M\right)}^{n}\,$

   und

   ${}\vert {\det M^{n}}\vert =\vert {\det M}\vert ^{n}\,$

   Somit kann diese Folge nur bei

   ${}\vert {\det M}\vert \leq 1\,$

   beschränkt sein.

2. Die Matrix ${}{\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}$ ist spaltenstochastisch und der Betrag ihrer Determinante ist ${}1$.
3. Nach Satz 54.11 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)) konvergiert unter der gegebenen Voraussetzung für jede Startverteilung ${}v$ die Folge ${}M^{n}v$, ${}n\in \mathbb {N}$, gegen die eindeutig bestimmte Eigenverteilung ${}w$. Dies gilt insbesondere für die Standardverteilungen ${}e_{1},\ldots ,e_{n}$. Da ${}M^{n}e_{i}$ die ${}i$-te Spalte der Matrix ${}M^{n}$ ist, konvergiert ${}M^{n}$ gegen diejenige Matrix, nennen wir sie ${}N$, deren sämtliche Spalten gleich der Eigenverteilung ${}w$ sind. Wegen der Stetigkeit der Determinante konvergiert die Folge ${}\det M^{n}$, ${}n\in \mathbb {N}$, gegen die Determinante dieser Grenzmatrix ${}N$. Wegen ${}d\geq 2$, der Spaltengleichheit und Satz 16.11 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)) ist die Determinante von ${}N$ gleich ${}0$, daher sind die Werte ${}\det M=\pm 1$ ausgeschlossen und es ist

   ${}\vert {\det M}\vert <1\,.$

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung