Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2015-2016)/Teil I/Arbeitsblatt 27/kontrolle
- Die Pausenaufgabe
- Übungsaufgaben
Es sei
die Einschränkung des Ableitungsoperators auf die Polynome vom Grad . Zeige, dass nilpotent ist. Zeige ebenfalls, dass
nicht nilpotent ist.
Es sei ein Körper und es sei ein endlichdimensionaler - Vektorraum. Es sei
eine nilpotente lineare Abbildung. Zeige, dass ist, wobei die Dimension von bezeichnet.
Es sei ein Körper und es sei ein - Vektorraum. Es sei
eine nilpotente lineare Abbildung. Zeige, dass der einzige Eigenwert von ist.
Es sei ein Körper und es sei ein endlichdimensionaler - Vektorraum. Es sei
eine nilpotente lineare Abbildung, die auch diagonalisierbar sei. Zeige
Es sei ein Körper und es sei ein endlichdimensionaler - Vektorraum. Es sei
eine nilpotente lineare Abbildung. Was ist die Determinante von ?
Es sei ein Körper und es sei ein endlichdimensionaler - Vektorraum. Es sei
eine nilpotente lineare Abbildung. Was ist die Spur von ?
Es sei ein
Körper.
a) Charakterisiere die nilpotenten - Matrizen
über mit Hilfe von zwei Gleichungen in den Variablen .
b) Sind die Gleichungen linear?
a) Es sei eine - Matrix, die trigonalisierbar, aber weder diagonalisierbar noch invertierbar ist. Zeige, dass nilpotent ist.
b) Man gebe ein Beispiel einer
-
Matrix
, die trigonalisierbar, aber weder diagonalisierbar noch invertierbar, noch nilpotent ist.
Zeige, dass die im Beweis zu Lemma 27.11 konstruierten Untervektorräume im Allgemeinen nicht - invariant sind.
Es sei
ein nilpotenter Endomorphismus auf einem endlichdimensionalen - Vektorraum . Es sei
Zeige, dass für die Dimensionsprünge die Beziehung
gilt.
Die folgende Aufgabe verallgemeinert das Konzept, bei dem einer Permutation eine Permutationsmatrix zugeordnet wird.
Wir betrachten auf der Menge
die Menge der Abbildungen
Zu assoziieren wir (bei einem fixierten Körper ) die lineare Abbildung
die durch
festgelegt ist. Mit bezeichnen wir die zugehörige Matrix bezüglich der Standardbasis.
a) Erstelle die Matrix bei
für die folgenden :
(1)
(2)
(3)
(4)
b) Welche Eigenschaften gelten für die Spalten und für die Zeilen von ?
c) Für welche ist
bijektiv?
d) Für welche ist
nilpotent?
e) Welche Dimension besitzt der Kern von ?
f) Zeige
g) Zeige, dass jede nilpotente -Matrix
ähnlich
zu einer Matrix der Form ist.
Es sei ein - Vektorraum und
eine nilpotente lineare Abbildung. Es sei
eine weitere lineare Abbildung mit
Zeige, dass ebenfalls nilpotent ist.
Man gebe ein Beispiel für zwei nilpotente lineare Abbildungen
derart, dass weder noch nilpotent sind.
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei eine - Matrix über einem Körper . Zeige, dass genau dann nilpotent ist, wenn sowohl die Determinante als auch die Spur von gleich ist.
Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei ein - Vektorraum mit einer Basis , . Es sei
diejenige lineare Abbildung, die durch
und
für alle festgelegt ist. Ist nilpotent?
Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei ein - Vektorraum und
nilpotente lineare Abbildungen, die
erfüllen. Zeige, dass dann auch nilpotent ist.
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