Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)/Teil I/Arbeitsblatt 24/kontrolle

Die Pausenaufgabe

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestätige den Satz von Cayley-Hamilton durch eine explizite Rechnung für die Matrix

${\begin{pmatrix}4&7\\5&3\end{pmatrix}}.$

Übungsaufgaben

Aufgabe * Referenznummer erstellen

a) Formuliere den Satz von Cayley-Hamilton für eine ${}n\times n$-Matrix.

b) Bestätige durch Nachrechnen den Satz von Cayley-Hamilton für die Matrix

${\begin{pmatrix}2&1\\3&-4\end{pmatrix}}.$

c) Beweise den Satz von Cayley-Hamilton für eine beliebige ${}2\times 2$-Matrix.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestätige den Satz von Cayley-Hamilton durch eine explizite Rechnung für die Matrix

${\begin{pmatrix}3&1&0&0\\0&3&0&0\\0&0&2&1\\0&0&0&2\end{pmatrix}}.$

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestätige den Satz von Cayley-Hamilton für eine obere Dreiecksmatrix der Form

${\begin{pmatrix}a&b&c\\0&a&d\\0&0&a\end{pmatrix}}.$

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}M$ eine diagonalisierbare Matrix mit dem charakteristischen Polynom ${}\chi _{M}$. Zeige direkt, dass

${}\chi _{M}\,(M)=0\,$

gilt.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein Körper und es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$- Vektorraum. Es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

eine lineare Abbildung und es sei

$\psi =\varphi \oplus \cdots \oplus \varphi \colon V\oplus \cdots \oplus V\longrightarrow V\oplus \cdots \oplus V$

die ${}m$-fache direkte Summe von ${}\varphi$ mit sich selbst. Wie verhält sich das Minimalpolynom (das charakteristische Polynom) von ${}\psi$ zum Minimalpolynom (zum charakteristischen Polynom) von ${}\varphi$?

Aufgabe Referenznummer erstellen

Schreibe die Matrix

${}M={\begin{pmatrix}4X^{2}-3X+2&X^{3}-2X+8\\3X^{4}-X^{3}-2X^{2}+7&X^{4}-6\end{pmatrix}}\,$

(mit Einträgen aus ${}\mathbb {Q} [X]\subset \mathbb {Q} (X)$) als

$A_{4}X^{4}+A_{3}X^{3}+A_{2}X^{2}+A_{1}X+A_{0}$

mit Matrizen ${}A_{4},A_{3},A_{2},A_{1},A_{0}\in \operatorname {Mat} _{2}(\mathbb {Q} )$.

Aufgabe Aufgabe 24.8 ändern

Es sei ${}M$ eine ${}n\times n$- Matrix über einem Körper ${}K$, dessen Minimalpolynom die Form

$(X-\lambda _{1})\cdots (X-\lambda _{k})$

mit verschiedenen ${}\lambda _{i}$ besitze. Zeige, dass ${}M$ diagonalisierbar ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}n\in \mathbb {N}$ und sei ${}M$ die Menge der ${}n$-ten Einheitswurzeln in ${}K$. Zeige, dass ${}M$ eine Untergruppe der Einheitengruppe ${}K^{\times }$ ist.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Zeige, dass jede komplexe Einheitswurzel auf dem Einheitskreis liegt.

Die folgende Aufgabe benötigt den Begriff der konvergenten Potenzreihe, wie er in der Analysis entwickelt wird.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}n\in \mathbb {N} _{+}$. Es sei ${}F$ eine komplexe, auf ${}{\mathbb {C} }$ konvergente Potenzreihe der Form

${}F=\sum _{j=0}^{\infty }c_{jn}z^{jn}\,.$

Zeige, dass für jede ${}n$-te komplexe Einheitswurzel ${}\zeta$ die Gleichheit ${}F(\zeta z)=F(z)$ für alle ${}z\in {\mathbb {C} }$ gilt.

Eine ${}n$-te Einheitswurzel heißt primitiv, wenn sie die Ordnung ${}n$ besitzt.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}\zeta \in K$ eine ${}n$-te primitive Einheitswurzel in einem Körper ${}K$. Zeige die „Schwerpunktformel“

${}1+\zeta +\zeta ^{2}+\cdots +\zeta ^{n-1}=0\,.$

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}a\in K$ und ${}n\in \mathbb {N}$. Beweise die folgenden Aussagen.

1. Wenn ${}b_{1},b_{2}\in K$ zwei Lösungen der Gleichung ${}X^{n}=a$ sind und ${}b_{2}\neq 0$, so ist ihr Quotient ${}b_{1}/b_{2}$ eine ${}n$-te Einheitswurzel.
2. Wenn ${}b\in K$ eine Lösung der Gleichung ${}X^{n}=a$ und ${}\zeta$ eine ${}n$-te Einheitswurzel ist, so ist auch ${}\zeta b$ eine Lösung der Gleichung ${}X^{n}=a$.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}M$ die Permutationsmatrix zu einer Transposition. Zeige, dass ${}M$ über ${}\mathbb {R}$ diagonalisierbar ist.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Es sei der Zykel ${}1\mapsto 2\mapsto 3\mapsto \ldots \mapsto n\mapsto 1$ gegeben und sei ${}M$ die zugehörige ${}n\times n$- Permutationsmatrix über einem Körper ${}K$.

a) Es sei ${}P\in K[X]$ ein Polynom vom Grad ${}<n$. Erstelle eine Formel für ${}(P(M))(e_{1})$.

b) Bestimme das Minimalpolynom von ${}M$.

c) Man gebe ein Beispiel für einen Endomorphismus ${}\varphi$ auf einem reellen Vektorraum ${}V$ mit untereinander verschiedenen Vektoren ${}v_{1},v_{2},v_{3}\in V$ derart, dass ${}\varphi (v_{1})=v_{2}$, ${}\varphi (v_{2})=v_{3}$ und ${}\varphi (v_{3})=v_{1}$ gilt und dass das Minimalpolynom von ${}\varphi$ nicht ${}X^{3}-1$ ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Von einer Permutation ${}\pi \in S_{n}$ sei die Zyklenzerlegung bekannt. Bestimme das Minimalpolynom und das charakteristische Polynom der Permutationsmatrix ${}M_{\pi }$.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}\pi \in S_{n}$ eine Permutation und ${}M_{\pi }$ die zugehörige Permutationsmatrix über einem Körper ${}K$. Zu ${}J\subseteq {\{1,\ldots ,n\}}$ sei

${}V_{J}=\langle e_{j},\,j\in J\rangle \subseteq K^{n}\,.$

a) Zeige, dass ${}V_{J}$ genau dann ${}M_{\pi }$- invariant ist, wenn ${}\pi (J)\subseteq J$ ist.

b) Zeige, dass es ${}M_{\pi }$-invariante Unterräume geben kann, die nicht von der Form ${}V_{J}$ sind.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein endlicher Körper. Zeige, dass jede Einheit in ${}K$ eine Einheitswurzel ist.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Bestimme die Ordnung der Matrix

${\begin{pmatrix}0&1\\2&0\end{pmatrix}}$

über dem Körper mit ${}3$ Elementen.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein endlicher Körper und ${}M$ eine invertierbare ${}n\times n$- Matrix über ${}K$. Zeige, dass ${}M$ endliche Ordnung besitzt.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Man gebe eine Matrix ${}M\in \operatorname {GL} _{2}\!{\left(\mathbb {Q} \right)}$ der Ordnung ${}4$ an.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestätige den Satz von Cayley-Hamilton für die Matrix

${\begin{pmatrix}7&4&5\\6&3&8\\2&2&1\end{pmatrix}}$

durch eine explizite Rechnung.

Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}M$ eine ${}n\times n$- Matrix über einem Körper ${}K$ und sei

${}P=a_{0}+a_{1}X+\cdots +a_{m}X^{m}\in K[X]\,$

ein Polynom mit

${}P(M)=0\,$

und mit ${}a_{0}\neq 0$. Zeige, dass ${}M$ invertierbar ist und dass die inverse Matrix durch

${}M^{-1}=-{\frac {1}{a_{0}}}{\left(a_{1}+a_{2}M+\cdots +a_{m}M^{m-1}\right)}\,$

beschrieben wird.

Aufgabe (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Es seien ${}V$ und ${}W$ endlichdimensionale ${}K$- Vektorräume und

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

und

$\psi \colon W\longrightarrow W$

Endomorphismen mit den Minimalpolynomen ${}P$ bzw. ${}Q$. Zeige, dass das Minimalpolynom von

$\varphi \oplus \psi \colon V\oplus W\longrightarrow V\oplus W$

gleich dem normierten Erzeuger des Ideals ${}(P)\cap (Q)$ ist.

Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme die Ordnung der Matrix

${\begin{pmatrix}4&1\\2&3\end{pmatrix}}$

über dem Körper ${}\mathbb {Z} /(5)$ mit ${}5$ Elementen.

Aufgabe (4 Punkte)Aufgabe 24.26 ändern

Zeige, dass eine Permutationsmatrix über ${}{\mathbb {C} }$ diagonalisierbar ist.