Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)/Teil II/Arbeitsblatt 52
- Übungsaufgaben
Aufgabe *
Es sei ein metrischer Raum. Zeige, dass die offenen Kugeln offen sind.
Aufgabe
Es sei ein metrischer Raum. Zeige, dass die abgeschlossenen Kugeln abgeschlossen sind.
Aufgabe *
Es sei ein metrischer Raum und sei ein Punkt. Zeige, dass abgeschlossen ist.
Aufgabe
Es sei ein Hausdorffraum und es sei eine Teilmenge, die die induzierte Topologie trage. Es sei kompakt. Zeige, dass abgeschlossen in ist.
Aufgabe
Es sei ein metrischer Raum. Zeige, dass folgende Eigenschaften gelten.
- Die leere Menge und die Gesamtmenge sind offen.
- Es sei eine beliebige Indexmenge und seien
, , offene Mengen. Dann ist auch die
Vereinigung
- Es sei eine endliche Indexmenge und seien
, , offene Mengen. Dann ist auch der
Durchschnitt
Aufgabe
Aufgabe
Aufgabe
Es sei ein metrischer Raum und eine Teilmenge mit der induzierten Metrik. Zeige, dass die Inklusion stetig ist.
Aufgabe
Aufgabe
Es sei ein metrischer Raum und sei
eine stetige Funktion. Es sei ein Punkt mit . Zeige, dass dann auch für alle aus einer offenen Ballumgebung von gilt.
Aufgabe
Es sei ein metrischer Raum und seien reelle Zahlen. Es seien
stetige Abbildungen mit . Zeige, dass dann die Abbildung
ebenfalls stetig ist.
Aufgabe
Aufgabe
Aufgabe
Zeige, dass eine reelle Quadrik, also eine durch ein reelles Polynom vom Grad zwei gegebene Nullstellenmenge (siehe die 43. Vorlesung), eine abgeschlossene Teilmenge des ist.
Wie sieht das für polynomiale Nullstellengebilde von höherem Grad aus?
Aufgabe
Es seien metrische Räume und seien
Abbildungen. Es sei stetig in und es sei stetig in . Zeige, dass die Hintereinanderschaltung
Aufgabe
Aufgabe
Aufgabe
Betrachte die Funktion
die durch
definiert ist. Zeige, dass die Einschränkung von auf jeder zur -Achse oder zur -Achse parallelen Geraden stetig ist, dass aber selbst nicht stetig ist.
Aufgabe
Es sei ein metrischer Raum und eine nichtleere Teilmenge. Zeige, dass durch
eine wohldefinierte, stetige Funktion gegeben ist.
Aufgabe
Es sei ein metrischer Raum und sei eine Folge in . Zeige, dass die Folge in genau dann im Sinne der Metrik konvergiert, wenn sie im Sinne der Topologie konvergiert.
Aufgabe
Es seien und topologische Räume und es sei
eine stetige Abbildung. Es sei kompakt. Zeige, dass das Bild ebenfalls kompakt ist.
Aufgabe *
Zeige, dass das offene Einheitsintervall und das abgeschlossene Einheitsintervall nicht homöomorph sind.
Aufgabe
Zeige, dass die Abbildung
zwischen dem halboffenen Intervall und dem Einheitskreis stetig und bijektiv ist, dass die Umkehrabbildung aber nicht stetig ist.
Aufgabe
Es sei mit der euklidischen Metrik und mit der diskreten Metrik. Es sei
die Identität. Zeige, dass stetig ist, die Umkehrabbildung aber nicht.
Aufgabe
Es sei eine nichtleere Menge versehen mit der diskreten Metrik. Zeige, dass eine stetige Abbildung
konstant ist.
Aufgabe
Es sei oder . Es sei ein -dimensionaler affiner Unterraum, der den Nullpunkt nicht enthält, und es sei der dazu parallele Unterraum durch den Nullpunkt. Es sei eine in offene Menge (in der metrischen Topologie) und es sei die Vereinigung aller Geraden durch den Nullpunkt und durch einen Punkt von . Zeige, dass der Durchschnitt von mit offen ist.
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (2 Punkte)
Es sei ein Untervektorraum im euklidischen Raum . Zeige, dass abgeschlossen im ist.
Aufgabe (4 Punkte)
Aufgabe (4 Punkte)
Aufgabe (5 Punkte)
Im Nullpunkt befinde sich die Pupille eines Auges (oder eine Linse) und die durch bestimmte Ebene sei die Netzhaut (oder eine Fotoplatte). Bestimme die Abbildung
die das Sehen (oder Fotografieren) beschreibt (d.h. einem Punkt des Halbraumes wird durch den Lichtstrahl ein Punkt der Netzhaut zugeordnet). Ist diese Abbildung stetig, ist sie linear?
<< | Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)/Teil II | >> |
---|