Kurs:Maß- und Integrationstheorie (Osnabrück 2022-2023)/Arbeitsblatt 23/kontrolle
- Übungsaufgaben
Aufgabe Referenznummer erstellen
Bestimme Fourierkoeffizienten für die Funktion auf .
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei
eine Funktion und sei . Zeige, dass genau dann - periodisch ist, wenn es eine Faktorisierung
gibt, wobei die Quotientenabbildung modulo der Untergruppe ist.
Wenn man
auffasst, so kann man als realisieren. Wenn ein trigonometrisches Polynom zur Periode ist, sagen wir
so ist mit
Man erhält also , indem man in die rationale Funktion für die Variable die Funktion einsetzt.
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Es sei und . Zeige, dass ein trigonometrisches Polynom höchstens Nullstellen in besitzt.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei mit den Fourierkoeffizienten , . Zeige, dass die konjugiert-komplexe Funktion die Fourierkoeffizenten
besitzt.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei und mit den Fourierkoeffizienten , . Zeige, dass die (zu ) umskalierte Funktion
die Periodenlänge besitzt und dass die Fourierkoeffizienten von ebenfalls gleich sind (die sich nun aber auf ein anderes Orthonormalsystem beziehen).
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei , und mit den Fourierkoeffizienten , . Zeige, dass die im Argument verschobene Funktion zu einem die Fourierkoeffizienten besitzt.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei und sei
eine - periodische Funktion. Zeige, dass genau dann eine gerade Funktion ist, wenn der Graph von auf achsensymmetrisch zur Achse durch ist.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei und sei
eine - periodische Funktion. Zeige, dass genau dann eine ungerade Funktion ist, wenn der Graph von auf punktsymmetrisch zum Punkt ist.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei und sei
eine stetige - periodische Funktion. Zeige, dass folgende Aussagen äquivalent sind.
- ist gerade.
- Für die Fourierkoeffizienten gilt .
- Die reellen Koeffizienten sind alle .
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei und sei
eine stetige - periodische Funktion. Zeige, dass folgende Aussagen äquivalent sind.
- ist ungerade.
- Für die Fourierkoeffizienten gilt .
- Die reellen Koeffizienten sind alle .
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Bestimme die Fourierreihen zu den Funktionen , , wenn man sie auf auffasst.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei und es seien - periodische messbare Funktionen, die auf - integrierbar sind. Dann ist die periodische Faltung durch
definiert.
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Es sei und es seien - periodische messbare Funktionen, die auf - integrierbar sind und die Fourierreihen bzw. besitzen. Zeige, dass die periodische Faltung die Fourierreihe besitzt.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei . Zeige, dass mit der Addition von Funktionen und der periodischen Faltung zu einem kommutativen Ring wird, in dem allerdings das neutrale Element für die Multiplikation fehlt.
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Die sogenannten Bernoulli-Polynome für sind Polynome vom Grad , die rekursiv definiert werden: ist das konstante Polynom mit dem Wert . Das Polynom berechnet sich aus dem Polynom über die beiden Bedingungen: ist eine Stammfunktion von und es ist
- Berechne .
- Berechne .
- Berechne .
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Es seien die Fourierkoeffizienten zu den Potenzen (auf dem Einheitsintervall). Zeige, dass diese die rekursiven Bedingungen
für ,
für und
für erfüllen.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Bestimme die Fourierentwicklung zu auf unter Verwendung der Fourierreihen der Bernoulli-Polynome.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Aufgabe * Referenznummer erstellen
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Bestimme Fourierkoeffizienten für die Funktion auf .
Aufgabe (5 Punkte)Referenznummer erstellen
Bestimme die Fourierkoeffizienten der - periodischen Funktion, die auf durch die Betragsfunktion gegeben ist.
Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen