a) Die Länge des Intervalls ist
, daher muss die Länge der Teilintervalle gleich
-
![{\displaystyle {}{\frac {9}{6}}={\frac {3}{2}}=1{,}5\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3687d48abcfc7be678113900133aa8a6e1253b19)
sein. Dies ergibt die Teilintervalle
-
b) Die Treppenfunktion, die abwechselnd die Werte
und
besitzt, hat das Treppenintegral
-
![{\displaystyle {}1{,}5\cdot (2-1+2-1+2-1)=1{,}5\cdot 3=4{,}5\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/972fd41dd9f12d90b5e5a57020a183da7953e22b)
Wir schreiben
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}3x^{2}+5x-4&={\left({\sqrt {3}}x+{\frac {5}{2{\sqrt {3}}}}\right)}^{2}-{\frac {25}{12}}-4\\&={\left({\sqrt {3}}x+{\frac {5}{2{\sqrt {3}}}}\right)}^{2}-{\frac {73}{12}}\\&={\frac {73}{12}}\left(({\frac {{\sqrt {12}}{\sqrt {3}}}{\sqrt {73}}}x+{\frac {5{\sqrt {12}}}{2{\sqrt {3}}{\sqrt {73}}}})^{2}-1\right)\\&={\frac {73}{12}}\left(\left({\frac {6}{\sqrt {73}}}x+{\frac {5}{\sqrt {73}}}\right)^{2}-1\right).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/148f98b6a853ec826c73570843ca072d42a2e081)
Daher ist mit der Substitution
-
![{\displaystyle {}u={\frac {6}{\sqrt {73}}}x+{\frac {5}{\sqrt {73}}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ef9891377eaba02213ff9c33d313ae55418617d)
bzw.
-
![{\displaystyle {}x={\frac {\sqrt {73}}{6}}u-{\frac {5}{6}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba532efad6e602bb540ae843b957bcbf19e1f8dc)
-
![{\displaystyle {}\int _{}^{}{\sqrt {3x^{2}+5x-4}}\,dx=\int _{}^{}{\sqrt {{\frac {73}{12}}(u^{2}-1)}}\cdot {\frac {\sqrt {73}}{6}}\,du={\frac {73}{12{\sqrt {3}}}}\int _{}^{}{\sqrt {u^{2}-1}}\,du\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/804f27bc4c24bc9ec0ddc61b64df362b2e1ab3ab)
Eine Stammfunktion hiervon ist
-
und damit ist
-
eine Stammfunktion von
-
a) Wir betrachten die Substitution
bzw.
. Damit ist
-
![{\displaystyle {}\int _{}^{}f(x)\,dx=\int _{}^{}R(x,{\sqrt[{k}]{x}})\,dx=\int _{}^{}R(u^{k},u)\cdot ku^{k-1}\,du\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/450137d49607e9de6669be56a36615ce12959738)
Dabei ist jetzt
eine rationale Funktion in
, und bei der Multiplikation mit
bleibt dies eine rationale Funktion.
b) Mit der Substitution
bzw.
ist
-
![{\displaystyle {}\int _{}^{}{\frac {{\sqrt[{3}]{x}}+x}{({\sqrt[{3}]{x}})^{2}-{\sqrt[{3}]{x}}}}\,dx=\int _{}^{}{\frac {u+u^{3}}{u^{2}-u}}\cdot 3u^{2}\,du=\int _{}^{}{\frac {3u^{2}+3u^{4}}{u-1}}\,du\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6878af4503e5ab45b92864fb677856816a83c4e4)
Polynomdivision ergibt
-
![{\displaystyle {}u^{4}+u^{2}=(u-1)(u^{3}+u^{2}+2u+2)+2\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c3d9a1510481dfd8e8e4abf52a4d14c7ba207ae)
und daher ist dieses Integral gleich
-
![{\displaystyle {}\int _{}^{}{\frac {3u^{2}+3u^{4}}{u-1}}\,du=\int _{}^{}3u^{3}+3u^{2}+6u+6+{\frac {6}{u-1}}\,du\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3e869f155360f44865220d34ba7324e876f5eb9)
Eine Stammfunktion ist daher
-
Somit ist
-
eine Stammfunktion von
.
Die
Stammfunktion
von
-
berechnet sich unter Verwendung von
Lemma 35.4
folgendermaßen.
-
![{\displaystyle {}\int _{}^{}{\frac {1}{\cos t}}\,dt=\int _{}^{}{\frac {1+s^{2}}{1-s^{2}}}\cdot {\frac {2}{1+s^{2}}}\,ds=\int _{}^{}{\frac {2}{1-s^{2}}}\,ds\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55c184245b8d55fb76aca01f5ae801ccdb57f5b3)
Eine Stammfunktion von
ist
. Daher ist
-
eine Stammfunktion von
.
Es ist
-
![{\displaystyle {}{\frac {4s}{s^{4}-2s^{2}+1}}={\frac {4s}{(s^{2}-1)^{2}}}={\frac {4s}{(s-1)^{2}(s+1)^{2}}}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/820604497045921af1a6cf7aa99fe221513dad71)
Damit liegt die Faktorzerlegung des Nenners vor, so dass die Partialbruchzerlegung die Gestalt
-
mit reellen Zahlen
besitzt. Multiplikation mit dem Hauptnenner ergibt
-
![{\displaystyle {}4s=a(s-1)(s+1)^{2}+b(s+1)^{2}+c(s+1)(s-1)^{2}+d(s-1)^{2}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60f05364997a5ae2d432ce9471d077f8d63d3fb5)
Einsetzen von
ergibt
, also
.
Einsetzen von
ergibt
, also
.
Einsetzen von
ergibt
, also ist
, also
.
Einsetzen von
ergibt
-
![{\displaystyle {}8=9a+9b+3c+d=9a+9+3c-1\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/edec502e110201104a6851808eb43761ea07fd16)
Also ist
und daher
. Die Partialbruchzerlegung ist also
-
![{\displaystyle {}{\frac {4s}{(s-1)^{2}(s+1)^{2}}}={\frac {1}{(s-1)^{2}}}-{\frac {1}{(s+1)^{2}}}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/198d392e47eb1d1cf41645e73abe70b360a0016c)
b) Eine Stammfunktion von
-
![{\displaystyle {}{\frac {4s}{(s-1)^{2}(s+1)^{2}}}={\frac {1}{(s-1)^{2}}}-{\frac {1}{(s+1)^{2}}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69c1f94ac925885a572397a290ded8b2423415c6)
ist
-
c) Es ist
-
![{\displaystyle {}{\frac {1}{\sinh ^{2}t}}={\frac {4}{(e^{t}-e^{-t})^{2}}}={\frac {4}{(e^{t})^{2}-2+(e^{t})^{-2}}}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3aab898a5c9c963fe3af323e5afba185291944fb)
Wir wenden die Standardsubstitution
an und erhalten
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}\int {\frac {1}{\sinh ^{2}t}}dt&=\int {\frac {4}{(e^{t})^{2}-2+(e^{t})^{-2}}}dt\\&=\int {\frac {4}{s^{2}-2+s^{-2}}}\cdot {\frac {1}{s}}ds\\&=\int {\frac {4s}{s^{4}-2s^{2}+1}}ds.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a12084a1b4869da24c041ae36c2c773f1c0e1ab2)
Nach Teil b) ist
-
eine Stammfunktion von
.
a) Da das uneigentliche Integral existiert sind insbesondere die eigentlichen Integrale
für
nach oben beschränkt, sagen wir durch die Schranke
. Nehmen wir an, dass die Funktion
für
nicht gegen
konvergiert. Dann gibt es ein
derart, dass es zu jedem
ein
mit
gibt. Wegen der Monotonie gilt auch
für alle
. Daher ist
-
![{\displaystyle {}\int _{0}^{s}f(t)\,dt\geq s\epsilon \,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c2fefdf08c7fd1677a37da406f966912b3e14d8)
Wir wählen
so, dass
ist und erhalten einen Widerspruch.
b) Wir betrachten die Funktion
-
die folgendermaßen definiert ist. Wenn
![{\displaystyle {}x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3cef7035ba3d8882f7b3f26329ab9fb9641f5ab)
zu einem Intervall der Form
-
(mit einer natürlichen Zahl
)
gehört, so setzen wir
-
und
sonst. Dabei ist
für natürliche Zahlen
, wie sich direkt durch Einsetzen ergibt. Da andererseits
ist, existiert kein Grenzwert für
. Die Abbildung ist stetig, wie sich ebenfalls durch Einsetzen an den Übergangsstellen ergibt. Um zu zeigen, dass das uneigentliche Integral existiert, betrachten wir zu natürlichen Zahlen
die Integrale
-
Da es sich um ein Dreieck mit Grundseite
und Höhe
handelt, ist dieses Integral gleich
(man kann auch durch
abschätzen).
Daher ist
-
Da die Reihe rechts konvergiert, ist die linke Seite nach oben beschränkt, daher existiert das uneigentliche Integral.
a) Es ist
-
![{\displaystyle {}\int _{0}^{1}t^{x}e^{-t}\,dt\leq \int _{0}^{1}t^{x}\,dt\leq \int _{0}^{1}t\,dt<1\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0681b25a696f4b861516f43ed3e4c839bc69c533)
b)
Es sei
.
Dann ist
-
![{\displaystyle {}t^{x'}\geq t^{x}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ebb084d81f467df08de85e240de4ba9bd049c0f)
für alle
.
Daher ist
-
![{\displaystyle {}t^{x'}e^{-t}\geq t^{x}e^{-t}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8b3603a31a53422bf911e22847dd4dab23be826)
für alle
und daher überträgt sich dies auf die uneigentlichen Integrale, also ist
-
![{\displaystyle {}H(x')=\int _{1}^{\infty }t^{x'}e^{-t}\,dt\geq \int _{1}^{\infty }t^{x}e^{-t}\,dt=H(x)\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17ec0f1a6c830b38e2b0f5414c3cdcdc70173786)
c) Es ist
.
Daher ist
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}10!&=10\cdot 9\cdot (8\cdot 1)\cdot (7\cdot 2)\cdot (6\cdot 3)\cdot (5\cdot 4)\\&=10\cdot 9\cdot 8\cdot 14\cdot 18\cdot 20\\&\geq 10\cdot 9\cdot 8\cdot 14\cdot 18\cdot 19+1\\&>e^{2}\cdot e^{2}\cdot e\cdot e^{2}\cdot e^{2}\cdot e^{2}+1\\&=e^{11}+1.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b39d9abd3f7003a4d743d77bb3c8d795193bc4e0)
d)
Es sei
.
Es sei
-
![{\displaystyle {}n=\lfloor x\rfloor \leq x\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2250570ef81abbf043080523296710bf0a0b4f7)
Dann ist wegen a), b) und c)
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}\operatorname {Fak} \,(x)&=\int _{0}^{\infty }t^{x}e^{-t}\,dt\\&=\int _{0}^{1}t^{x}e^{-t}\,dt+\int _{1}^{\infty }t^{x}e^{-t}\,dt\\&\geq \int _{1}^{\infty }t^{x}e^{-t}\,dt\\&\geq \int _{1}^{\infty }t^{n}e^{-t}\,dt\\&=\int _{0}^{\infty }t^{n}e^{-t}\,dt-\int _{0}^{1}t^{n}e^{-t}\,dt\\&\geq n!-1\\&=n(n-1)\cdots 11\cdot (10!)-1\\&\geq e^{n-10}\cdot (e^{11}+1)-1\\&\geq e^{n+1}+1-1\\&\geq e^{x}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb4da336dbf5710d2cf80145eb925cf264999e95)
a) Nach dem Lösungsansatz für homogene lineare Differentialgleichungen müssen wir zuerst eine Stammfunktion von
bestimmen, eine solche ist
. Die Exponentialfunktion davon ist
, so dass
(mit
)
die Lösungen von
-
![{\displaystyle {}y'=y/t\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4b4cadf875a496b3c4d5231861aa113cebebc00)
sind.
b) Eine Stammfunktion zu
ist
-
Damit ist
-
![{\displaystyle {}{\frac {1}{7}}t^{7}\cdot t={\frac {1}{7}}t^{8}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d1a30084b1f3ea4dff12facd7c66db99d3d76ab)
eine Lösung der inhomogenen Differentialgleichung und somit sind
-
alle Lösungen.
c) Wenn zusätzlich die Anfangsbedingung
erfüllt sein soll, so muss
-
![{\displaystyle {}{\frac {1}{7}}+c=5\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa2cbb21e422104f9e3f4bd36e25e35bacfa9ee5)
gelten, also
-
![{\displaystyle {}c=5-{\frac {1}{7}}={\frac {34}{7}}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7daea076e908b00692ba852d4113bab031e91b6)
Die Lösungs des Anfangsproblems ist also
-
![{\displaystyle {}y(t)={\frac {1}{7}}t^{8}+{\frac {34}{7}}t\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b9bae87d790b4da9eead29f698b741b42ffbf2e)
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