a) Die Länge des Intervalls ist , daher muss die Länge der Teilintervalle gleich
-
sein. Dies ergibt die Teilintervalle
-
b) Die Treppenfunktion, die abwechselnd die Werte und besitzt, hat das Treppenintegral
-
Berechne durch geeignete Substitutionen eine Stammfunktion zu
-
Wir schreiben
Daher ist mit der Substitution
-
bzw.
-
-
Eine Stammfunktion hiervon ist
-
und damit ist
-
eine Stammfunktion von
-
a) Es sei
und es sei
-
eine rationale Funktion in
und in .
Man gebe direkt
(ohne Bezug auf Standardsubstitutionen der Vorlesung) eine geeignete Substitution an, mit der die Berechnung der Stammfunktion zu auf die Berechnung einer Stammfunktion einer rationalen Funktion in einer Variablen zurückgeführt werden kann.
b) Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion
(mit )
-
a) Wir betrachten die Substitution bzw. . Damit ist
-
Dabei ist jetzt eine rationale Funktion in , und bei der Multiplikation mit bleibt dies eine rationale Funktion.
b) Mit der Substitution bzw. ist
-
Polynomdivision ergibt
-
und daher ist dieses Integral gleich
-
Eine Stammfunktion ist daher
-
Somit ist
-
eine Stammfunktion von .
Bestimme eine
Stammfunktion
für die
Funktion
()
-
Die
Stammfunktion
von
-
berechnet sich unter Verwendung von
Lemma 35.4
folgendermaßen.
-
Eine Stammfunktion von ist . Daher ist
-
eine Stammfunktion von .
Bestimme eine
Stammfunktion
von
-
Aufgabe * (8 (4+1+3) Punkte)
a) Bestimme die
reelle Partialbruchzerlegung
von
-
b) Bestimme eine
Stammfunktion von
-
c) Bestimme eine Stammfunktion von
-
Es ist
-
Damit liegt die Faktorzerlegung des Nenners vor, so dass die Partialbruchzerlegung die Gestalt
-
mit reellen Zahlen besitzt. Multiplikation mit dem Hauptnenner ergibt
-
Einsetzen von ergibt , also .
Einsetzen von ergibt , also .
Einsetzen von ergibt , also ist , also .
Einsetzen von ergibt
-
Also ist und daher . Die Partialbruchzerlegung ist also
-
b) Eine Stammfunktion von
-
ist
-
c) Es ist
-
Wir wenden die Standardsubstitution an und erhalten
Nach Teil b) ist
-
eine Stammfunktion von .
a) Sei
-
eine
monoton fallende
stetige Funktion.
Es sei vorausgesetzt, dass das
uneigentliche Integral
-
existiert. Zeige, dass
-
ist.
b) Man zeige durch ein Beispiel, dass die Aussage in a) für eine stetige, nicht monoton fallende Funktion nicht gelten muss.
a) Da das uneigentliche Integral existiert sind insbesondere die eigentlichen Integrale für nach oben beschränkt, sagen wir durch die Schranke . Nehmen wir an, dass die Funktion für nicht gegen konvergiert. Dann gibt es ein derart, dass es zu jedem ein mit gibt. Wegen der Monotonie gilt auch für alle . Daher ist
-
Wir wählen so, dass ist und erhalten einen Widerspruch.
b) Wir betrachten die Funktion
-
die folgendermaßen definiert ist. Wenn
zu einem Intervall der Form
-
(mit einer natürlichen Zahl )
gehört, so setzen wir
-
und sonst. Dabei ist für natürliche Zahlen , wie sich direkt durch Einsetzen ergibt. Da andererseits ist, existiert kein Grenzwert für . Die Abbildung ist stetig, wie sich ebenfalls durch Einsetzen an den Übergangsstellen ergibt. Um zu zeigen, dass das uneigentliche Integral existiert, betrachten wir zu natürlichen Zahlen die Integrale
-
Da es sich um ein Dreieck mit Grundseite und Höhe handelt, ist dieses Integral gleich
(man kann auch durch abschätzen).
Daher ist
-
Da die Reihe rechts konvergiert, ist die linke Seite nach oben beschränkt, daher existiert das uneigentliche Integral.
Aufgabe * (7 (1+2+2+2) Punkte)
a) Zeige, dass für
die Abschätzung
-
gilt.
b)
Zeige, dass die Funktion mit
-
für
monoton wachsend ist.
c) Zeige, dass gilt.
d) Zeige, dass für die Fakultätsfunktion für die Abschätzung
-
gilt.
a) Es ist
-
b)
Es sei
.
Dann ist
-
für alle
.
Daher ist
-
für alle
und daher überträgt sich dies auf die uneigentlichen Integrale, also ist
-
c) Es ist
.
Daher ist
d)
Es sei
.
Es sei
-
Dann ist wegen a), b) und c)
Aufgabe * (4 (1+2+1) Punkte)
a) Nach dem Lösungsansatz für homogene lineare Differentialgleichungen müssen wir zuerst eine Stammfunktion von bestimmen, eine solche ist . Die Exponentialfunktion davon ist , so dass
(mit
)
die Lösungen von
-
sind.
b) Eine Stammfunktion zu
ist
-
Damit ist
-
eine Lösung der inhomogenen Differentialgleichung und somit sind
-
alle Lösungen.
c) Wenn zusätzlich die Anfangsbedingung
erfüllt sein soll, so muss
-
gelten, also
-
Die Lösungs des Anfangsproblems ist also
-
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