a) Die Länge des Intervalls ist
, daher muss die Länge der Teilintervalle gleich
-

sein. Dies ergibt die Teilintervalle
-
b) Die Treppenfunktion, die abwechselnd die Werte
und
besitzt, hat das Treppenintegral
-

Berechne durch geeignete Substitutionen eine Stammfunktion zu
-
Wir schreiben

Daher ist mit der Substitution
-

bzw.
-

-

Eine Stammfunktion hiervon ist
-
und damit ist
-
eine Stammfunktion von
-
a) Es sei

und es sei
-
eine rationale Funktion in
und in
.
Man gebe direkt
(ohne Bezug auf Standardsubstitutionen der Vorlesung) eine geeignete Substitution an, mit der die Berechnung der Stammfunktion zu
auf die Berechnung einer Stammfunktion einer rationalen Funktion in einer Variablen zurückgeführt werden kann.
b) Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion
(mit
)
-
a) Wir betrachten die Substitution
bzw.
. Damit ist
-
![{\displaystyle {}\int _{}^{}f(x)\,dx=\int _{}^{}R(x,{\sqrt[{k}]{x}})\,dx=\int _{}^{}R(u^{k},u)\cdot ku^{k-1}\,du\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/450137d49607e9de6669be56a36615ce12959738)
Dabei ist jetzt
eine rationale Funktion in
, und bei der Multiplikation mit
bleibt dies eine rationale Funktion.
b) Mit der Substitution
bzw.
ist
-
![{\displaystyle {}\int _{}^{}{\frac {{\sqrt[{3}]{x}}+x}{({\sqrt[{3}]{x}})^{2}-{\sqrt[{3}]{x}}}}\,dx=\int _{}^{}{\frac {u+u^{3}}{u^{2}-u}}\cdot 3u^{2}\,du=\int _{}^{}{\frac {3u^{2}+3u^{4}}{u-1}}\,du\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6878af4503e5ab45b92864fb677856816a83c4e4)
Polynomdivision ergibt
-

und daher ist dieses Integral gleich
-

Eine Stammfunktion ist daher
-
Somit ist
-
eine Stammfunktion von
.
Bestimme eine
Stammfunktion
für die
Funktion
(
)
-
Die
Stammfunktion
von
-
berechnet sich unter Verwendung von
Lemma 35.4
folgendermaßen.
-

Eine Stammfunktion von
ist
. Daher ist
-
eine Stammfunktion von
.
Bestimme eine
Stammfunktion
von
-
Aufgabe * (8 (4+1+3) Punkte)
a) Bestimme die
reelle Partialbruchzerlegung
von
-
b) Bestimme eine
Stammfunktion von
-
c) Bestimme eine Stammfunktion von
-
Es ist
-

Damit liegt die Faktorzerlegung des Nenners vor, so dass die Partialbruchzerlegung die Gestalt
-
mit reellen Zahlen
besitzt. Multiplikation mit dem Hauptnenner ergibt
-

Einsetzen von
ergibt
, also
.
Einsetzen von
ergibt
, also
.
Einsetzen von
ergibt
, also ist
, also
.
Einsetzen von
ergibt
-

Also ist
und daher
. Die Partialbruchzerlegung ist also
-

b) Eine Stammfunktion von
-

ist
-
c) Es ist
-

Wir wenden die Standardsubstitution
an und erhalten

Nach Teil b) ist
-
eine Stammfunktion von
.
a) Sei
-
eine
monoton fallende
stetige Funktion.
Es sei vorausgesetzt, dass das
uneigentliche Integral
-
existiert. Zeige, dass
-
ist.
b) Man zeige durch ein Beispiel, dass die Aussage in a) für eine stetige, nicht monoton fallende Funktion nicht gelten muss.
a) Da das uneigentliche Integral existiert sind insbesondere die eigentlichen Integrale
für
nach oben beschränkt, sagen wir durch die Schranke
. Nehmen wir an, dass die Funktion
für
nicht gegen
konvergiert. Dann gibt es ein
derart, dass es zu jedem
ein
mit
gibt. Wegen der Monotonie gilt auch
für alle
. Daher ist
-

Wir wählen
so, dass
ist und erhalten einen Widerspruch.
b) Wir betrachten die Funktion
-
die folgendermaßen definiert ist. Wenn

zu einem Intervall der Form
-
(mit einer natürlichen Zahl
)
gehört, so setzen wir
-
und
sonst. Dabei ist
für natürliche Zahlen
, wie sich direkt durch Einsetzen ergibt. Da andererseits
ist, existiert kein Grenzwert für
. Die Abbildung ist stetig, wie sich ebenfalls durch Einsetzen an den Übergangsstellen ergibt. Um zu zeigen, dass das uneigentliche Integral existiert, betrachten wir zu natürlichen Zahlen
die Integrale
-
Da es sich um ein Dreieck mit Grundseite
und Höhe
handelt, ist dieses Integral gleich
(man kann auch durch
abschätzen).
Daher ist
-
Da die Reihe rechts konvergiert, ist die linke Seite nach oben beschränkt, daher existiert das uneigentliche Integral.
Aufgabe * (7 (1+2+2+2) Punkte)
a) Zeige, dass für
die Abschätzung
-

gilt.
b)
Zeige, dass die Funktion
mit
-
für
monoton wachsend ist.
c) Zeige, dass
gilt.
d) Zeige, dass für die Fakultätsfunktion für
die Abschätzung
-
gilt.
a) Es ist
-

b)
Es sei
.
Dann ist
-

für alle
.
Daher ist
-

für alle
und daher überträgt sich dies auf die uneigentlichen Integrale, also ist
-

c) Es ist
.
Daher ist

d)
Es sei
.
Es sei
-

Dann ist wegen a), b) und c)

Aufgabe * (4 (1+2+1) Punkte)
a) Nach dem Lösungsansatz für homogene lineare Differentialgleichungen müssen wir zuerst eine Stammfunktion von
bestimmen, eine solche ist
. Die Exponentialfunktion davon ist
, so dass
(mit
)
die Lösungen von
-

sind.
b) Eine Stammfunktion zu
ist
-
Damit ist
-

eine Lösung der inhomogenen Differentialgleichung und somit sind
-
alle Lösungen.
c) Wenn zusätzlich die Anfangsbedingung
erfüllt sein soll, so muss
-

gelten, also
-

Die Lösungs des Anfangsproblems ist also
-

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