Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil III/Test 2/Klausur mit Lösungen

Aufgabe * (4 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Der Tangentialraum in einem Punkt ${}P\in M$ einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit ${}M$.
2. Eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit ${}M\subseteq N$ einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit ${}N$.
3. Ein orientierter Atlas einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit ${}M$.
4. Die zurückgezogene Differentialform ${}\varphi ^{*}\omega$ zu einer Differentialform ${}\omega \in {\mathcal {E}}^{k}(M)$ bezüglich einer stetig differenzierbaren Abbildung ${}\varphi \colon L\rightarrow M$ zwischen zwei differenzierbaren Mannigfaltigkeiten ${}L$ und ${}M$.
5. Das Wegintegral zu einer ${}1$-Differentialform ${}\omega \in {\mathcal {E}}^{1}(M)$ auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit ${}M$ bezüglich einer stetig differenzierbaren Kurve ${}\gamma \colon [a,b]\rightarrow M$.
6. Eine positive Volumenform ${}\omega$ auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit ${}M$.
7. Eine riemannsche Mannigfaltigkeit.
8. Die äußere Ableitung zu einer stetig differenzierbaren Differentialform ${}\omega \in {\mathcal {E}}^{k}(M)$ auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit ${}M$.

Lösung

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Der Tangentialraum in einem Punkt ${}P\in M$ einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit ${}M$.
2. Eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit ${}M\subseteq N$ einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit ${}N$.
3. Ein orientierter Atlas einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit ${}M$.
4. Die zurückgezogene Differentialform ${}\varphi ^{*}\omega$ zu einer Differentialform ${}\omega \in {\mathcal {E}}^{k}(M)$ bezüglich einer stetig differenzierbaren Abbildung ${}\varphi \colon L\rightarrow M$ zwischen zwei differenzierbaren Mannigfaltigkeiten ${}L$ und ${}M$.
5. Das Wegintegral zu einer ${}1$-Differentialform ${}\omega \in {\mathcal {E}}^{1}(M)$ auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit ${}M$ bezüglich einer stetig differenzierbaren Kurve ${}\gamma \colon [a,b]\rightarrow M$.
6. Eine positive Volumenform ${}\omega$ auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit ${}M$.
7. Eine riemannsche Mannigfaltigkeit.
8. Die äußere Ableitung zu einer stetig differenzierbaren Differentialform ${}\omega \in {\mathcal {E}}^{k}(M)$ auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit ${}M$.

 

Aufgabe * (2 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze bzw. Formeln.

1. Es sei ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ eine Basis des Vektorraumes ${}V$. Wie sieht eine Basis des ${}k$-ten Dachproduktes ${}\bigwedge ^{k}V$ aus?
2. Die universelle Eigenschaft des ${}k$-ten Dachproduktes eines Vektorraums ${}V$.
3. Die Formel für die zurückgezogene Volumenform ${}\varphi ^{*}\omega$ zu ${}\omega =fdy_{1}\wedge \ldots \wedge dy_{n}$ unter einer stetig differenzierbaren Abbildung

   $\varphi \colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}.$

4. Die Berechnung des kanonischen Volumens einer messbaren Menge ${}T\subseteq M$ einer riemannschen Mannigfaltigkeit ${}M$, die ganz in einem offenen Kartengebiet ${}T\subseteq U$ liegt.

Lösung

1. Die Dachprodukte

   $v_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge v_{i_{k}}$

   zu ${}1\leq i_{1}<\ldots <i_{k}\leq n$ bilden eine Basis von ${}\bigwedge ^{k}V$.

2. Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum und ${}k\in \mathbb {N}$. Es sei

   $\psi \colon V^{k}\longrightarrow W$

   eine alternierende multilineare Abbildung in einen weiteren ${}K$-Vektorraum ${}W$.

   Dann gibt es eine eindeutig bestimmte lineare Abbildung

   ${\tilde {\psi }}\colon \bigwedge ^{k}V\longrightarrow W$

   derart, dass das Diagramm

   ${\begin{matrix}V^{k}&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&\bigwedge ^{k}V&\\&\searrow &\downarrow &\\&&W&\!\!\!\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

   kommutiert.

3. Die zurückgezogene Volumenform besitzt die Darstellung

   ${}\varphi ^{*}\omega =(f\circ \varphi )\cdot \det(({\frac {\partial \varphi _{i}}{\partial x_{j}}})_{1\leq i,j\leq n})dx_{1}\wedge \ldots \wedge dx_{n}\,.$

4. Es sei ${}T\subseteq U$ messbar und ${}\alpha \colon U\rightarrow V$ eine Karte mit der metrischen Fundamentalmatrix ${}(g_{ij})_{1\leq i,j\leq n}$ und ihrer Determinante ${}g$. Dann ist

   ${}\int _{T}\omega =\int _{\alpha (T)}{\sqrt {g}}dx_{1}\wedge \ldots \wedge dx_{n}=\int _{\alpha (T)}{\sqrt {g}}\,d\lambda ^{n}\,.$

 

Aufgabe * (2 Punkte)

Es sei ${}K$ die Kugel mit Radius ${}r$ und Mittelpunkt ${}0=(0,0,0)$ im ${}\mathbb {R} ^{3}$. Wie lautet die Formel (ohne Begründung) für

a) das Volumen der Vollkugel.

b) den Flächeninhalt der Kugeloberfläche.

Lösung

a) Das Volumen der Vollkugel ist ${}{\frac {4}{3}}\pi r^{3}$.

b) Der Flächeninhalt der Kugeloberfläche ist ${}4\pi r^{2}$.

 

Aufgabe * (6 Punkte)

Zeige, dass die Menge

${}M={\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\mid x^{2}+y^{4}+z^{6}=1\right\}}\,$

eine zweidimensionale kompakte differenzierbare Mannigfaltigkeit ist.

Lösung

Wir betrachten die differenzierbare Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y,z)\longmapsto x^{2}+y^{4}+z^{6}-1.$

Die Menge ${}M$ ist die Faser von ${}\varphi$ über ${}0$. Es ist

$\left(D\varphi \right)_{(x,y,z)}=(2x,4y^{3},6z^{5}).$

Diese Ableitung ist nur bei ${}(x,y,z)=(0,0,0)$ gleich ${}(0,0,0)$, und dies ist kein Punkt von ${}M$, sodass ${}\varphi$ in jedem Punkt von ${}M$ regulär ist. Daher liegt nach dem Satz über implizite Abbildungen eine zweidimensionale Mannigfaltigkeit vor.

Als Faser einer stetigen Abbildung ist ${}M$ eine abgeschlossene Teilmenge von ${}\mathbb {R} ^{3}$. Ferner ist ${}M$ beschränkt. Für ${}(x,y,z)\in M$ ist nämlich ${}\vert {x}\vert ,\vert {y}\vert ,\vert {z}\vert \leq 1$, da andernfalls ${}x^{2}+y^{4}+z^{6}>1$ wäre. Dies impliziert die Kompaktheit.

 

Aufgabe * (6 Punkte)

Zeige, dass die Tangentialabbildung ${}T(\varphi )$ zu

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{1}\longrightarrow S^{1},\,t\longmapsto (\cos t,\sin t),$

surjektiv ist.

Lösung

Die Abbildung ${}\varphi$ ist surjektiv, es ist also lediglich zu zeigen, dass für jedes ${}t\in \mathbb {R}$ die lineare Tangentialabbildung

$T_{t}\mathbb {R} \cong \mathbb {R} \longrightarrow T_{\varphi (t)}S^{1}$

surjektiv ist. Da beide Räume eindimensional sind, muss gezeigt werden, dass ein von ${}0$ verschiedener Vektor nicht auf ${}0$ geht. Ein Tangentialvektor an ${}t$ wird realisiert durch den differenzierbaren Weg

$\gamma \colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,s\longmapsto t+s.$

Der verknüpfte Weg

$\varphi \circ \gamma \colon \mathbb {R} \longrightarrow S^{1},\,s\longmapsto (\cos(t+s),\sin(t+s)),$

realisiert den Bild-Tangentialvektor, und zwar ist (in der umgebenden Ebene ${}T_{\varphi (t)}S^{1}\subseteq \mathbb {R} ^{2}$)

${}(\varphi \circ \gamma )'(0)=(-\sin t,\cos t)\,,$

und das ist nicht der Nullvektor.

 

Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme, ob die beiden Basen des ${}\mathbb {R} ^{3}$,

${\begin{pmatrix}1\\0\\4\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}2\\4\\-3\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0\\3\\-5\end{pmatrix}}\,\,{\text{ und }}\,\,{\begin{pmatrix}-3\\7\\2\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}-4\\5\\-1\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}-6\\0\\11\end{pmatrix}},$

die gleiche Orientierung repräsentieren oder nicht.

Lösung

Die Vektoren

${\begin{pmatrix}1\\0\\4\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}2\\4\\-3\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0\\3\\-5\end{pmatrix}}$

besitzen bezüglich der Standardbasis die Übergangsmatrix

${\begin{pmatrix}1&2&0\\0&4&3\\4&-3&-5\end{pmatrix}},$

deren Determinante ist

${}-20+9+4\cdot 6=13\,.$

Daher repräsentiert diese Basis die Standardorientierung.

Die Vektoren

${\begin{pmatrix}-3\\7\\2\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}-4\\5\\-1\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}-6\\0\\11\end{pmatrix}}$

besitzen bezüglich der Standardbasis die Übergangsmatrix

${\begin{pmatrix}-3&-4&-6\\7&5&0\\2&-1&11\end{pmatrix}},$

deren Determinante ist

${}-3\cdot 55-7(-44-6)+2\cdot 30=-165+350+60=245>0\,.$

Daher repräsentiert diese Basis ebenfalls die Standardorientierung, und damit repräsentieren beide Basen die gleiche Orientierung.

 

Aufgabe * (6 Punkte)

Berechne die zurückgezogene Differentialform ${}\varphi ^{*}\tau$ zu

${}\tau =dx\wedge dy\wedge dz-wdx\wedge dy\wedge dw+\cos(xy)dx\wedge dz\wedge dw-ywdy\wedge dz\wedge dw\,$

unter der Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{4},\,(r,s,t)\longmapsto (r^{2}s,t,\sin r,e^{st})=(x,y,z,w).$

Lösung

Es ist

${}dx=d(r^{2}s)=2rsdr+r^{2}ds\,,$

${}dy=dt\,,$

${}dz=d(\sin r)=\cos rdr\,$

und

${}dw=d(e^{st})=se^{st}dt+te^{st}ds\,.$

Damit ist

${}{\begin{aligned}\varphi ^{*}\tau &=d(r^{2}s)\wedge dt\wedge d(\sin r)-e^{st}d(r^{2}s)\wedge dt\wedge d(e^{st})\\&\,\,\,\,+\cos(r^{2}st)d(r^{2}s)\wedge d(\sin r)\wedge d(e^{st})-te^{st}dt\wedge d(\sin r)\wedge d(e^{st})\\&=r^{2}\cos(r^{2}st)\cos rds\wedge dt\wedge dr-2rste^{st}e^{st}dr\wedge dt\wedge ds\\&\,\,\,\,+r^{2}se^{st}\cos rds\wedge dr\wedge dt-t^{2}e^{st}e^{st}\cos rdt\wedge dr\wedge ds\\&=(r^{2}\cos r+2rste^{2st}-r^{2}se^{st}\cos(r^{2}st)\cos r-t^{2}e^{2st}\cos r)dr\wedge ds\wedge dt\end{aligned}}$

 

Aufgabe * (5 Punkte)

Berechne das Wegintegral ${}\int _{\gamma }\omega$ zu

$\gamma \colon [-1,0]\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,t\longmapsto (-t^{2},t^{3}-1,t+2),$

für die ${}1$-Differentialform

${}\omega =x^{3}dx-yzdy+xz^{2}dz\,$

auf dem ${}\mathbb {R} ^{3}$.

Lösung

Es ist

${}{\begin{aligned}\gamma ^{*}\omega &=(-t^{2})^{3}d(-t^{2})-(t^{3}-1)(t+2)d(t^{3}-1)-t^{2}(t+2)^{2}d(t+2)\\&=2t^{7}dt-3t^{2}(t^{4}+2t^{3}-t-2)dt-t^{2}(t^{2}+4t+4)dt\\&=(2t^{7}-3t^{6}-6t^{5}+3t^{3}+6t^{2}-t^{4}-4t^{3}-4t^{2})dt\\&=(2t^{7}-3t^{6}-6t^{5}-t^{4}-t^{3}+2t^{2})dt.\end{aligned}}$

Daher ist

${}{\begin{aligned}\int _{\gamma }\omega &=\int _{-1}^{0}(2t^{7}-3t^{6}-6t^{5}-t^{4}-t^{3}+2t^{2})dt\\&=({\frac {1}{4}}t^{8}-{\frac {3}{7}}t^{7}-t^{6}-{\frac {1}{5}}t^{5}-{\frac {1}{4}}t^{4}+{\frac {2}{3}}t^{3})|_{-1}^{0}\\&=-({\frac {1}{4}}+{\frac {3}{7}}-1+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{4}}-{\frac {2}{3}})\\&=-{\frac {3}{7}}+1-{\frac {1}{5}}+{\frac {2}{3}}\\&={\frac {-45+105-21+70}{105}}\\&={\frac {109}{105}}.\end{aligned}}$

 

Aufgabe * (5 Punkte)

Zeige, dass der Flächeninhalt der Rotationsfläche, die entsteht, wenn man den Graphen

$\Gamma ={\left\{(x,e^{x})\mid x\leq 0\right\}}$

um die ${}x$-Achse rotieren lässt, kleiner als ${}10$ ist.

Lösung

Wir betrachten die Oberfläche für ${}s\leq x\leq 0$ mit einer beliebigen negativen Zahl ${}s$. Der Flächeninhalt ist nach der Rotationsformel gleich

$2\pi \int _{s}^{0}{\sqrt {1+e^{2t}}}e^{t}dt.$

Da ${}t$ sich im negativen Bereich bewegt, ist ${}e^{2t}\leq 1$ und somit ist der Integrand ${}\leq {\sqrt {2}}e^{t}$. Damit ist dieses Integral kleiner/gleich

${}2\pi {\sqrt {2}}\int _{s}^{0}e^{t}dt=2\pi {\sqrt {2}}(1-e^{s})\leq 2\pi {\sqrt {2}}\leq 2\cdot 3{,}2\cdot 1{,}5=2\cdot 4{,}8<10\,.$

Diese Abschätzung gilt auch für ${}s\rightarrow -\infty$.

 

Aufgabe * (6 (2+2+2) Punkte)

Wir betrachten den Graph ${}M$ der Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(u,v)\longmapsto u^{2}+uv-v^{3},$

als zweidimensionale abgeschlossene Untermannigfaltigkeit des ${}\mathbb {R} ^{3}$, also

${}M={\left\{(u,v,u^{2}+uv-v^{3})\mid (u,v)\in \mathbb {R} ^{2}\right\}}\,$

mit der vom ${}\mathbb {R} ^{3}$ induzierten riemannschen Metrik. Es sei

$\psi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow M,\,(u,v)\longmapsto (u,v,u^{2}+uv-v^{3}),$

die zugehörige Diffeomorphie.

a) Bestimme das totale Differential zu ${}\psi$ sowie die Bildvektoren ${}T_{P}(\psi )(e_{1})$ und ${}T_{P}(\psi )(e_{2})$ in ${}T_{\psi (P)}M$.

b) Bestimme für jeden Punkt der Form ${}P=(u,0)$ den Flächeninhalt des von ${}T_{P}(\psi )(e_{1})$ und ${}T_{P}(\psi )(e_{2})$ in ${}T_{\psi (P)}M$ aufgespannten Parallelogramms.

c) Bestimme für jeden Punkt der Form ${}P=(0,v)$ den Flächeninhalt des von ${}T_{P}(\psi )(e_{1})$ und ${}T_{P}(\psi )(e_{2})$ in ${}T_{\psi (P)}M$ aufgespannten Parallelogramms.

Lösung

a) Das totale Differential zu ${}\psi$ im Punkt ${}P=(u,v)$ ist

$\left(D\psi \right)_{P}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\\2u+v&u-3v^{2}\end{pmatrix}}$

und es ist

$T_{P}(\psi )(e_{1})={\left(D\psi \right)}_{P}{\left(e_{1}\right)}={\begin{pmatrix}1\\0\\2u+v\end{pmatrix}}\,\,{\text{ und }}\,\,T_{P}(\psi )(e_{2})={\left(D\psi \right)}_{P}{\left(e_{2}\right)}={\begin{pmatrix}0\\1\\u-3v^{2}\end{pmatrix}}.$

b) und c) Zur Bestimmung des Flächeninhalts berechnen wir zunächst die Skalarprodukte der beiden Vektoren ${}{\begin{pmatrix}1\\0\\2u+v\end{pmatrix}}$ und ${}{\begin{pmatrix}0\\1\\u-3v^{2}\end{pmatrix}}$. Es ist

$\left\langle {\begin{pmatrix}1\\0\\2u+v\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\0\\2u+v\end{pmatrix}}\right\rangle =1+(2u+v)^{2}=1+4u^{2}+4uv+v^{2},$

$\left\langle {\begin{pmatrix}1\\0\\2u+v\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\1\\u-3v^{2}\end{pmatrix}}\right\rangle =(2u+v)(u-3v^{2})=2u^{2}-6uv^{2}+uv-3v^{3}$

und

$\left\langle {\begin{pmatrix}0\\1\\u-3v^{2}\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\1\\u-3v^{2}\end{pmatrix}}\right\rangle =1+(u-3v^{2})^{2}=1+u^{2}-6uv^{2}+9v^{4}.$

b) Für ${}P=(u,0)$ berechnet sich der Flächeninhalt des von ${}T_{P}(\psi )(e_{1})$ und ${}T_{P}(\psi )(e_{2})$ in ${}T_{\psi (P)}M$ aufgespannten Parallelogramms zu

${}{\sqrt {\det {\begin{pmatrix}1+4u^{2}&2u^{2}\\2u^{2}&1+u^{2}\end{pmatrix}}}}={\sqrt {(1+4u^{2})(1+u^{2})-4u^{4}}}={\sqrt {1+5u^{2}}}\,.$

c) Für ${}P=(0,v)$ berechnet sich der Flächeninhalt des von ${}T_{P}(\psi )(e_{1})$ und ${}T_{P}(\psi )(e_{2})$ in ${}T_{\psi (P)}M$ aufgespannten Parallelogramms zu

${}{\sqrt {\det {\begin{pmatrix}1+v^{2}&-3v^{3}\\-3v^{3}&1+9v^{4}\end{pmatrix}}}}={\sqrt {(1+v^{2})(1+9v^{4})-9v^{6}}}={\sqrt {1+v^{2}+9v^{4}}}\,.$

 

Aufgabe * (8 Punkte)

Es sei ${}M$ eine kompakte differenzierbare Mannigfaltigkeit mit einer stetigen positiven Volumenform ${}\omega$. Zeige, dass

${}\int _{M}\omega <\infty \,$

ist.

Lösung

Zu jedem Punkt ${}P\in M$ gibt es eine offene Kartenumgebung ${}P\in U$ und eine Kartenabbildung

$\alpha \colon U\longrightarrow V$

mit ${}V\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen und so, dass ${}\alpha ^{-1*}\omega =fdx_{1}\wedge \ldots \wedge dx_{n}$ ist mit ${}f$ stetig und positiv. Wir finden auch eine offene Umgebung ${}P\in U'\subseteq U$, die homöomorph zu einem offenen Ball ${}U'\cong B'\subseteq V$ ist, wobei man auch annehmen kann, dass der Abschluss des Balles ganz in ${}V$ liegt. Der abgeschlossene Ball ist abgeschlossen und beschränkt, daher ist die stetige Funktion ${}f$ darauf und somit auch auf ${}U'$ beschränkt. Es folgt, dass ${}\int _{U'}\omega$ endlich ist, wobei ${}U'$ eine offene Umgebung von ${}P$ ist.

Diese offenen Mengen ${}U'=U'(P)$ überdecken ${}M$. Wegen der Kompaktheit gibt es eine endliche Überdeckung

${}M=\bigcup _{i=1}^{n}U_{i}\,$

mit

${}\int _{U_{i}}\omega <\infty \,.$

Wegen der Positivität gilt somit

${}\int _{M}\omega \leq \sum _{i=1}^{n}{\left(\int _{U_{i}}\omega \right)}<\infty \,.$

 

Aufgabe * (4 Punkte)

Es seien ${}W\subseteq \mathbb {R} ^{m}$ und ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offene Teilmengen und sei

$\psi \colon W\longrightarrow U$

eine stetig differenzierbare Abbildung. Es sei

$f\colon U\longrightarrow \mathbb {R}$

eine stetig differenzierbare Funktion. Folgere aus der Kettenregel, dass

${}d(\psi ^{*}f)=\psi ^{*}(df)\,$

gilt, wobei ${}\psi ^{*}$ das Zurückziehen von Differentialformen bezeichnet.

Lösung

Es sei ${}P\in W$ und ${}v\in \mathbb {R} ^{m}$. Es ist einerseits

${}d(\psi ^{*}f)(P,v)=D_{P}(f\circ \psi )(v)={\left({\left(D_{\psi (P)}f\right)}\circ {\left(D_{P}\psi \right)}\right)}(v)=D_{\psi (P)}(f){\left(D_{P}\psi (v)\right)}\,.$

Andererseits ist auch

${}{\left(\psi ^{*}(df)\right)}(P,v)=(df){\left(\psi (P),(D_{P}\psi )(v)\right)}=D_{\psi (P)}(f){\left(D_{P}\psi (v)\right)}\,.$

 

Aufgabe * (3 Punkte)

Berechne die äußere Ableitung ${}d\omega$ der ${}1$- Differentialform

${}\omega ={\frac {x^{2}}{y}}dx-{\frac {x}{y^{2}}}dy\,$

auf ${}U={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid y\neq 0\right\}}$.

Lösung

Es ist

${}{\begin{aligned}d\omega &=d{\frac {x^{2}}{y}}\wedge dx-d{\frac {x}{y^{2}}}\wedge dy\\&=-{\frac {x^{2}}{y^{2}}}dy\wedge dx-{\frac {1}{y^{2}}}dx\wedge dy\\&={\frac {x^{2}-1}{y^{2}}}dx\wedge dy.\end{aligned}}$

 

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