Lösung
- Die Menge
-
heißt die Vereinigung der beiden Mengen.
- Eine rationale Funktion ist eine Funktion , die man als Quotient aus zwei Polynomen mit darstellen kann, also
(sie ist außerhalb der Nullstellen von definiert).
- Die
Exponentialfunktion zur Basis
ist als
-
definiert.
- Eine
Treppenfunktion
-
heißt eine obere Treppenfunktion zu , wenn für alle ist.
- Eine Familie
, ,
von Vektoren in heißt Basis, wenn diese Vektoren linear unabhängig sind und ein Erzeugendensystem bilden.
- Die Matrizen heißen
ähnlich,
wenn es eine
invertierbare Matrix
mit
gibt.
Formuliere die folgenden Sätze.
- Die
Regel für die Konvergenz der inversen Folge
einer reellen Folge.
- Das
Cauchykriterium für Reihen.
- Die Ableitung des Sinus und des Kosinus.
Lösung
- Es sei eine konvergente Folge in mit dem Grenzwert
und mit
für alle
.
Dann ist ebenfalls konvergent mit
-
- Es sei
-
eine Reihe von reellen Zahlen. Dann ist die Reihe genau dann konvergent, wenn das folgende Cauchy-Kriterium erfüllt ist: Zu jedem
gibt es ein derart, dass für alle
-
die Abschätzung
-
gilt.
- Die Sinusfunktion
-
ist differenzierbar mit
-
und die Kosinusfunktion
-
ist differenzierbar mit
-
Negiere die Aussage „Martina findet alle Jungs im Kurs außer Markus zuckersüß“ durch eine Aussage, in der eine Existenzaussage und eine Oder-Verknüpfung vorkommen.
Lösung
Martina findet Markus zuckersüß oder es gibt im Kurs einen von Markus verschiedenen Jungen, den sie nicht zuckersüß findet.
- Wie viele Minuten sind ein Fünftel einer Stunde?
- Wie viel Prozent von einer Stunde sind Minuten?
- Wie viele Minuten sind einer Stunde?
- Wie viel Prozent von einer Stunde ist ein Tag?
Lösung
- ,
also Minuten.
- ,
also .
- ,
also Minuten.
- .
Lösung
- Der Mittelpunkt von
und
besitzt die Koordinaten .
- Wir betrachten für jeden Punkt, ob die Koordinaten gerade oder ungerade sind. Dafür gibt es vier Möglichkeiten
().
Da es Punkte gibt, kommt eine dieser Möglichkeiten zumindest zweimal vor. Seien
und
zwei Punkte, die hinsichtlich dieser Eigenschaft übereinstimmen. Da das
arithmetische Mittel
von zwei geraden Zahlen und von zwei ungeraden Zahlen ganzzahlig ist, besitzt der Mittelpunkt von
und
ganzzahlige Koordinaten.
- Die vier Punkte
-
zeigen, dass dies nicht gelten muss.
Man finde ein
Polynom
-
mit
derart, dass die folgenden Bedingungen erfüllt werden.
-
Lösung
Die Bedingungen führen auf das lineare Gleichungssystem
-
-
-
führt auf
-
und führt auf
-
also
-
und somit
-
Das gesuchte Polynom ist also
-
Beweise die folgende Aussage: Jede beschränkte Folge von reellen Zahlen besitzt eine konvergente Teilfolge
(Satz von Bolzano-Weierstraß).
Lösung
Die Folge sei durch
-
beschränkt. Wir definieren zuerst induktiv eine
Intervallhalbierung
derart, dass in den Intervallen unendlich viele Folgenglieder liegen. Das Startintervall ist
.
Es sei das -te Intervall bereits konstruiert. Wir betrachten die beiden Hälften
-
In mindestens einer der Hälften liegen unendlich viele Folgenglieder, und wir wählen als Intervall eine Hälfte mit unendlich vielen Gliedern. Da sich bei diesem Verfahren die Intervalllängen mit jedem Schritt halbieren, liegt eine Intervallschachtelung vor. Als Teilfolge wählen wir nun ein beliebiges Element
-
mit
.
Dies ist möglich, da es in diesen Intervallen unendlich viele Folgenglieder gibt. Diese Teilfolge konvergiert nach
Aufgabe 8.21 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024))
gegen die durch die
Intervallschachtelung bestimmte Zahl
.
Bestimme, ob die Reihe
-
konvergiert.
Lösung
Wir verwenden
das Quotientenkriterium.
Der Quotient von aufeinander folgenden Reihengliedern ist
Der Zähler konvergiert gegen , deshalb konvergiert der Gesamtausdruck gegen
.
Nach dem Quotientenkriterium konvergiert die Reihe.
Lösung
Es sei . Dann ist wegen
-
direkt
.
Wegen
-
ist
-
von verschieden. Wegen
-
ist positiv. Wir vergleichen mit . Für stimmen die beiden Funktionen überein. Für ist aufgrund der Funktionalgleichung
-
Für ist wegen
-
also gilt die Gleichheit für . Für mit gilt wegen
-
und der eindeutigen Existenz von -ten Wurzeln
-
Daraus folgt über die Beziehung
-
auch die Übereinstimmung für negative rationale Argumente. Da nach Voraussetzung stetig ist und da stetig ist, und da es zu jeder reellen Zahl eine Folge rationaler Zahlen gibt, die gegen konvergiert, müssen die beiden Funktionen nach dem Folgenkriterium für die Stetigkeit übereinstimmen.
Vergleiche die beiden Zahlen
-
Lösung
Wegen
-
ist
-
also ist
-
Somit ist
-
und wegen des strengen Wachstums der Exponentialfunktion für eine Basis größer als ist daher
-
Man erläutere die Begriffe hinreichende und notwendige Bedingung anhand typischer Beispiele.
Lösung Bedingung/Hinreichend und notwendig/Erläuterung/Aufgabe/Lösung
Lösung
- Die Ableitung im Punkt
ist . Dies ist die Steigung der Tangente , die durch den Punkt verläuft. Für die Tangentengleichung gilt
-
und aus
-
folgt
-
- Der Ansatz
-
führt auf
-
wobei bei
die gesamte -Achse die Tangente ist.
- Aus Symmetriegründen sei
.
Der Flächeninhalt der in Frage stehenden Fläche ergibt sich, wenn man vom Flächeninhalt unterhalb des Graphen zwischen
und
den Flächeninhalt des Dreiecks mit den Ecken abzieht. Es ist
-
und der Flächeninhalt des Dreiecks ist
-
Der gefragte Flächeninhalt ist also gleich
-
Für beliebiges
(auch negatives) ist die Antwort .
Lösung
Man gebe ein Beispiel für einen
Körper
, eine
kommutative Gruppe
und eine Abbildung
-
derart, dass diese Struktur alle
Vektorraumaxiome
außer
-
erfüllt.
Lösung
Es sei
und
.
Wir betrachten die „Skalarmultiplikation“
-
die durch
-
definiert ist. Um zu zeigen, dass das Assoziativitätsaxiom nicht erfüllt ist, betrachten wir
-
und ein beliebiges
.
Einerseits ist
-
und andererseits ist
-
Die anderen multiplikativen Axiome sind hingegen erfüllt. Es ist
und
Ferner ist
-
für alle .
Aus den Rohstoffen und werden verschiedene Produkte hergestellt. Die folgende Tabelle gibt an, wie viel von den Rohstoffen jeweils nötig ist,
um die verschiedenen Produkte herzustellen
(jeweils in geeigneten Einheiten).
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a) Erstelle eine Matrix, die aus einem Vierertupel von Produkten die benötigten Rohstoffe berechnet.
b) Die folgende Tabelle zeigt, wie viel von welchem Produkt in einem Monat produziert werden soll.
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Welche Rohstoffmengen werden dafür benötigt?
c) Die folgende Tabelle zeigt, wie viel von welchem Rohstoff an einem Tag angeliefert wird.
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Welche Produkttupel kann man daraus ohne Abfall produzieren?
Lösung
a) Die Matrix ist
-
da in der -ten Spalte die für das -te Produkt benötigte Rohstoffmenge stehen muss.
b) Die benötigte Rohstoffmenge ist
-
c) Es geht um das lineare Gleichungssystem
-
das wir zunächst ohne Berücksichtigung der Tatsache lösen, dass nur nichtnegative Tupel sinnvoll interpretiert werden können. Wir ziehen vom -fachen der dritten Zeile das Doppelte der zweiten Zeile ab und erhalten
-
Jetzt ziehen wir von der dritten Zeile das Doppelte der ersten Zeile ab und erhalten
-
Mit
-
erhalten wir die eindeutige Lösung
-
-
und
-
Mit
-
erhalten wir die eindeutige Lösung
-
-
und
-
Alle Lösungen des linearen Gleichungssystems haben somit die Form
-
mit
.
Wir berücksichtigen jetzt noch, dass von diesen Lösungen des linearen Gleichungssystems nur diejenigen sinnvoll interpretiert werden können, bei denen von jedem Produkt eine nichtnegative Menge produziert wird. Dies ergibt vier Abschätzungen, die Bedingungen an festlegen. Wegen der ersten Zeile muss
sein und damit ist auch die vierte Zeile erfüllt. Die zweite Zeile führt auf die Bedingung
-
also
-
Die dritte Zeile führt auf die Bedingung
-
also
-
Damit alle Einträge nichtnegativ sind, muss der Parameter aus
-
gewählt werden. Die aus den gegebenen Rohstoffmengen produzierbare Tupel sind also
-
mit
.
Lösung