Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/13/Klausur mit Lösungen

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	${}\sum$
Punkte	3	3	1	2	5	3	6	3	7	3	3	5	3	4	9	4	64

Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Die Vereinigung der Mengen ${}L$ und ${}M$.
2. Eine rationale Funktion (in einer Variablen über ${}\mathbb {R}$).
3. Die reelle Exponentialfunktion zu einer Basis ${}b>0$.
4. Eine obere Treppenfunktion zu einer Funktion

   $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

   auf einem beschränkten Intervall ${}I\subseteq \mathbb {R}$.

5. Eine Basis eines ${}K$- Vektorraums ${}V$.
6. Ähnliche Matrizen ${}M,N\in \operatorname {Mat} _{n}(K)$.

Lösung

1. Die Menge

   ${}L\cup M={\left\{x\mid x\in L{\text{ oder }}x\in M\right\}}\,$

   heißt die Vereinigung der beiden Mengen.

2. Eine rationale Funktion ist eine Funktion ${}f$, die man als Quotient aus zwei Polynomen ${}P,Q\in \mathbb {R} [X]$ mit ${}Q\neq 0$ darstellen kann, also ${}f=P/Q$ (sie ist außerhalb der Nullstellen von ${}Q$ definiert).
3. Die Exponentialfunktion zur Basis ${}b$ ist als

   ${}b^{x}:=\exp(x\ln b)\,$

   definiert.

4. Eine Treppenfunktion

   $t\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

   heißt eine obere Treppenfunktion zu ${}f$, wenn ${}t(x)\geq f(x)$ für alle ${}x\in I$ ist.

5. Eine Familie ${}v_{i}$, ${}i\in I$, von Vektoren in ${}V$ heißt Basis, wenn diese Vektoren linear unabhängig sind und ein Erzeugendensystem bilden.
6. Die Matrizen ${}M,N$ heißen ähnlich, wenn es eine invertierbare Matrix ${}B$ mit ${}M=BNB^{-1}$ gibt.

Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Die Regel für die Konvergenz der inversen Folge einer reellen Folge.
2. Das Cauchykriterium für Reihen.
3. Die Ableitung des Sinus und des Kosinus.

Lösung

1. Es sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine konvergente Folge in ${}\mathbb {R}$ mit dem Grenzwert ${}\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}=x\neq 0$ und mit ${}x_{n}\neq 0$ für alle ${}n\in \mathbb {N}$. Dann ist ${}{\left({\frac {1}{x_{n}}}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ ebenfalls konvergent mit

   ${}\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {1}{x_{n}}}={\frac {1}{x}}\,.$

2. Es sei

   $\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$

   eine Reihe von reellen Zahlen. Dann ist die Reihe genau dann konvergent, wenn das folgende Cauchy-Kriterium erfüllt ist: Zu jedem ${}\epsilon >0$ gibt es ein ${}n_{0}$ derart, dass für alle

   ${}n\geq m\geq n_{0}\,$

   die Abschätzung

   ${}\vert {\sum _{k=m}^{n}a_{k}}\vert \leq \epsilon \,$

   gilt.
3. Die Sinusfunktion

   $\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \sin x,$

   ist differenzierbar mit

   ${}\sin \!'(x)=\cos x\,$

   und die Kosinusfunktion

   $\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \cos x,$

   ist differenzierbar mit

   ${}\cos \!'(x)=-\sin x\,.$

Aufgabe (1 Punkt)

Negiere die Aussage „Martina findet alle Jungs im Kurs außer Markus zuckersüß“ durch eine Aussage, in der eine Existenzaussage und eine Oder-Verknüpfung vorkommen.

Lösung

Martina findet Markus zuckersüß oder es gibt im Kurs einen von Markus verschiedenen Jungen, den sie nicht zuckersüß findet.

Aufgabe (2 Punkte)

1. Wie viele Minuten sind ein Fünftel einer Stunde?
2. Wie viel Prozent von einer Stunde sind ${}45$ Minuten?
3. Wie viele Minuten sind ${}90\%$ einer Stunde?
4. Wie viel Prozent von einer Stunde ist ein Tag?

Lösung

1. ${}{\frac {1}{5}}\cdot 60=12$, also ${}12$ Minuten.
2. ${}{\frac {45}{60}}={\frac {3}{4}}={\frac {75}{100}}$, also ${}75\%$.
3. ${}{\frac {90}{100}}\cdot 60=54$, also ${}54$ Minuten.
4. ${}2400\%$.

Aufgabe (5 (1+3+1) Punkte)

Zu je zwei Punkten in der Produktmenge ${}\mathbb {Q} ^{2}$ gibt es eine Verbindungsgerade und einen Mittelpunkt, der die Verbindungsstrecke halbiert.

1. Man gebe zu zwei Punkten ${}(a_{1},a_{2})$ und ${}(b_{1},b_{2})$ die Koordinaten des Mittelpunktes an.
2. Es seien in der Produktmenge ${}\mathbb {Z} ^{2}$ fünf Punkte gegeben (jeder Punkt habe also ganzzahlige Koordinaten). Zeige, dass mindestens einer der Mittelpunkte ganzzahlige Koordinaten haben muss.
3. Gilt die Eigenschaft aus (2) auch bei vier Punkten?

Lösung

1. Der Mittelpunkt von ${}(a_{1},a_{2})$ und ${}(b_{1},b_{2})$ besitzt die Koordinaten ${}\left({\frac {a_{1}+b_{1}}{2}},\,{\frac {a_{2}+b_{2}}{2}}\right)$.
2. Wir betrachten für jeden Punkt, ob die Koordinaten gerade oder ungerade sind. Dafür gibt es vier Möglichkeiten ($(g,g),\,(g,u),\,(u,g)\,(u,u)$). Da es ${}5$ Punkte gibt, kommt eine dieser Möglichkeiten zumindest zweimal vor. Seien ${}P$ und ${}Q$ zwei Punkte, die hinsichtlich dieser Eigenschaft übereinstimmen. Da das arithmetische Mittel von zwei geraden Zahlen und von zwei ungeraden Zahlen ganzzahlig ist, besitzt der Mittelpunkt von ${}P$ und ${}Q$ ganzzahlige Koordinaten.
3. Die vier Punkte

   $(0,0),\,(0,1),\,(1,0)\,,(1,1)$

   zeigen, dass dies nicht gelten muss.

Aufgabe (3 Punkte)

Man finde ein Polynom

${}f=a+bX+cX^{2}\,$

mit ${}a,b,c\in \mathbb {R}$ derart, dass die folgenden Bedingungen erfüllt werden.

$f(-1)=2,\,f(1)=0,\,f(3)=5.$

Lösung

Die Bedingungen führen auf das lineare Gleichungssystem

${}a-b+c=2\,,$

${}a+b+c=0\,,$

${}a+3b+9c=5\,.$

${}I-II$ führt auf

${}b=-1\,$

und ${}I-III$ führt auf

${}-4b-8c=-3\,,$

also

${}c={\frac {3}{8}}-{\frac {1}{2}}b={\frac {3}{8}}+{\frac {1}{2}}={\frac {7}{8}}\,$

und somit

${}a={\frac {1}{8}}\,.$

Das gesuchte Polynom ist also

${\frac {1}{8}}-X+{\frac {7}{8}}X^{2}.$

Aufgabe (6 Punkte)

Beweise die folgende Aussage: Jede beschränkte Folge von reellen Zahlen besitzt eine konvergente Teilfolge (Satz von Bolzano-Weierstraß).

Lösung

Die Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ sei durch

${}a_{0}\leq x_{n}\leq b_{0}\,$

beschränkt. Wir definieren zuerst induktiv eine Intervallhalbierung derart, dass in den Intervallen unendlich viele Folgenglieder liegen. Das Startintervall ist ${}I_{0}:=[a_{0},b_{0}]$. Es sei das ${}k$-te Intervall ${}I_{k}$ bereits konstruiert. Wir betrachten die beiden Hälften

$[a_{k},{\frac {a_{k}+b_{k}}{2}}]\,\,{\text{ und }}\,\,[{\frac {a_{k}+b_{k}}{2}},b_{k}].$

In mindestens einer der Hälften liegen unendlich viele Folgenglieder, und wir wählen als Intervall ${}I_{k+1}$ eine Hälfte mit unendlich vielen Gliedern. Da sich bei diesem Verfahren die Intervalllängen mit jedem Schritt halbieren, liegt eine Intervallschachtelung vor. Als Teilfolge wählen wir nun ein beliebiges Element

${}x_{n_{k}}\in I_{k}\,$

mit ${}n_{k}>n_{k-1}$. Dies ist möglich, da es in diesen Intervallen unendlich viele Folgenglieder gibt. Diese Teilfolge konvergiert nach Aufgabe 8.21 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024)) gegen die durch die Intervallschachtelung bestimmte Zahl ${}x$.

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme, ob die Reihe

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {n^{2}}{e^{n}}}$

konvergiert.

Lösung

Wir verwenden das Quotientenkriterium. Der Quotient von aufeinander folgenden Reihengliedern ist

${}{\begin{aligned}{\frac {\frac {(n+1)^{2}}{e^{n+1}}}{\frac {n^{2}}{e^{n}}}}&={\frac {(n+1)^{2}e^{n}}{n^{2}e^{n+1}}}\\&={\frac {(n+1)^{2}}{n^{2}e}}\\&={\frac {n^{2}+2n+1}{n^{2}e}}\\&={\frac {\frac {n^{2}+2n+1}{n^{2}}}{e}}\\&={\frac {1+{\frac {2}{n}}+{\frac {1}{n^{2}}}}{e}}.\end{aligned}}$

Der Zähler konvergiert gegen ${}1$, deshalb konvergiert der Gesamtausdruck gegen ${}{\frac {1}{e}}<1$. Nach dem Quotientenkriterium konvergiert die Reihe.

Aufgabe (7 Punkte)

Es sei

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

eine stetige Funktion ${}\neq 0$, die die Gleichung

${}f(x+y)=f(x)\cdot f(y)\,$

für alle ${}x,y\in \mathbb {R}$ erfüllt. Zeige, dass ${}f$ eine Exponentialfunktion ist, d.h. dass es ein ${}b>0$ mit ${}f(x)=b^{x}$ gibt.

Lösung

Es sei ${}f(u)\neq 0$. Dann ist wegen

${}f(u)=f(u+0)=f(u)f(0)\,$

direkt ${}f(0)=1$. Wegen

${}1=f(0)=f(1-1)=f(1)\cdot f(-1)\,$

ist

${}b:=f(1)\,$

von ${}0$ verschieden. Wegen

${}f(1)=f{\left({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\right)}=f{\left({\frac {1}{2}}\right)}f{\left({\frac {1}{2}}\right)}={\left(f{\left({\frac {1}{2}}\right)}\right)}^{2}\,$

ist ${}b$ positiv. Wir vergleichen ${}f(x)$ mit ${}b^{x}$. Für ${}x=0,1$ stimmen die beiden Funktionen überein. Für ${}x=n\in \mathbb {N}$ ist aufgrund der Funktionalgleichung

${}f(n)=f(1)^{n}=b^{n}\,.$

Für ${}n\in \mathbb {Z} _{-}$ ist wegen ${}1=f(0)=f(n-n)=f(n)f(-n)$

${}f(n)=f(-n)^{-1}={\left(b^{-1}\right)}^{-n}=b^{n}\,,$

also gilt die Gleichheit für ${}n\in \mathbb {Z}$. Für ${}n=p/q\in \mathbb {Q} _{+}$ mit ${}p,q\in \mathbb {N} _{+}$ gilt wegen

${}f(p)=f{\left(q\cdot {\frac {p}{q}}\right)}={\left(f{\left({\frac {p}{q}}\right)}\right)}^{q}\,$

und der eindeutigen Existenz von ${}q$-ten Wurzeln

${}f{\left({\frac {p}{q}}\right)}={\sqrt[{q}]{f(p)}}={\sqrt[{q}]{b^{p}}}=b^{\frac {p}{q}}\,.$

Daraus folgt über die Beziehung

${}1=f(r-r)=f(r)\cdot f(-r)\,$

auch die Übereinstimmung für negative rationale Argumente. Da ${}f$ nach Voraussetzung stetig ist und da ${}b^{x}$ stetig ist, und da es zu jeder reellen Zahl ${}x$ eine Folge rationaler Zahlen gibt, die gegen ${}x$ konvergiert, müssen die beiden Funktionen nach dem Folgenkriterium für die Stetigkeit übereinstimmen.

Aufgabe (3 Punkte)

Vergleiche die beiden Zahlen

${\sqrt {3}}^{-{\frac {9}{4}}}\,\,{\text{ und }}\,\,{\sqrt {3}}^{-{\sqrt {5}}}.$

Lösung

Wegen

${}9^{2}=81>80=5\cdot 16\,$

ist

${}{\left({\frac {9}{4}}\right)}^{2}>5\,,$

also ist

${}{\frac {9}{4}}>{\sqrt {5}}\,.$

Somit ist

${}-{\frac {9}{4}}<-{\sqrt {5}}\,$

und wegen des strengen Wachstums der Exponentialfunktion für eine Basis größer als ${}1$ ist daher

${}{\sqrt {3}}^{-{\frac {9}{4}}}<{\sqrt {3}}^{-{\sqrt {5}}}\,.$

Aufgabe (3 Punkte)

Man erläutere die Begriffe hinreichende und notwendige Bedingung anhand typischer Beispiele.

Lösung Bedingung/Hinreichend und notwendig/Erläuterung/Aufgabe/Lösung

Aufgabe (5 (1+1+3) Punkte)

Wir betrachten die Standardparabel, also den Graphen zur Funktion

${}f(x)=x^{2}\,.$

1. Bestimme die Ableitung und die Tangente ${}t_{a}$ von ${}f$ in einem Punkt ${}a\in \mathbb {R}$.
2. Bestimme den Schnittpunkt einer jeden Tangenten ${}t_{a}$ mit der ${}x$-Achse in Abhängigkeit von ${}a$. Skizziere die Situation.
3. Die Parabel, die Tangente ${}t_{a}$ und die ${}x$-Achse begrenzen eine Fläche. Berechne deren Flächeninhalt in Abhängigkeit von ${}a$.

Lösung

1. Die Ableitung im Punkt ${}a\in \mathbb {R}$ ist ${}2a$. Dies ist die Steigung der Tangente ${}t_{a}$, die durch den Punkt ${}(a,a^{2})$ verläuft. Für die Tangentengleichung gilt

   ${}t_{a}(x)=2ax+c\,$

   und aus

   ${}t_{a}(a)=2a^{2}+c=a^{2}\,$

   folgt

   ${}t_{a}(x)=2ax-a^{2}\,.$

2. Der Ansatz

   ${}t_{a}(x)=2ax-a^{2}=0\,$

   führt auf

   ${}x={\frac {a}{2}}\,,$

   wobei bei ${}a=0$ die gesamte ${}x$-Achse die Tangente ist.

3. Aus Symmetriegründen sei ${}a\geq 0$. Der Flächeninhalt der in Frage stehenden Fläche ergibt sich, wenn man vom Flächeninhalt unterhalb des Graphen zwischen ${}0$ und ${}a$ den Flächeninhalt des Dreiecks mit den Ecken ${}({\frac {a}{2}},0),\,(a,0),\,(a,a^{2})$ abzieht. Es ist

   ${}\int _{0}^{a}x^{2}dx={\frac {1}{3}}x^{3}|_{0}^{a}={\frac {1}{3}}a^{3}\,$

   und der Flächeninhalt des Dreiecks ist

   ${}{\frac {1}{2}}\cdot {\frac {a}{2}}\cdot a^{2}={\frac {a^{3}}{4}}\,.$

   Der gefragte Flächeninhalt ist also gleich

   ${}{\frac {1}{3}}a^{3}-{\frac {1}{4}}a^{3}={\frac {1}{12}}a^{3}\,.$

   Für beliebiges (auch negatives) ${}a$ ist die Antwort ${}{\frac {1}{12}}\vert {a}\vert ^{3}$.

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion

$x\cdot \sin x.$

Lösung

Wir verwenden partielle Integration, und zwar leiten wir ${}x$ ab und ziehen für ${}\sin x$ die Stammfunktion ${}-\cos x$ heran. Somit ist

${}\int x\sin x=-x\cos x-\int -\cos x\,$

und daher ist

$-x\cos x+\sin x$

eine Stammfunktion.

Aufgabe (4 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für einen Körper ${}K$, eine kommutative Gruppe ${}(V,+,0)$ und eine Abbildung

$K\times V\longrightarrow V,\,(s,v)\longmapsto sv,$

derart, dass diese Struktur alle Vektorraumaxiome außer

$(6)\,\,\,r(su)=(rs)u$

erfüllt.

Lösung

Es sei ${}K={\mathbb {C} }$ und ${}V=\mathbb {R}$. Wir betrachten die „Skalarmultiplikation“

${\mathbb {C} }\times \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,$

die durch

${}(a+b{\mathrm {i} })\bullet u:=au\,$

definiert ist. Um zu zeigen, dass das Assoziativitätsaxiom nicht erfüllt ist, betrachten wir

${}r=s={\mathrm {i} }\,$

und ein beliebiges ${}u\neq 0$. Einerseits ist

${}({\mathrm {i} }\cdot {\mathrm {i} })\bullet u=(-1)\bullet u=-u\,$

und andererseits ist

${}{\mathrm {i} }\bullet ({\mathrm {i} }\bullet u)={\mathrm {i} }\bullet (0)=0\,.$

Die anderen multiplikativen Axiome sind hingegen erfüllt. Es ist

${}{\begin{aligned}(a+b{\mathrm {i} })\bullet (u+v)&=a(u+v)\\&=au+av\\&=(a+b{\mathrm {i} })\bullet u+(a+b{\mathrm {i} })\bullet v\end{aligned}}$

und

${}{\begin{aligned}(a+b{\mathrm {i} }+c+d{\mathrm {i} })\bullet u&=((a+c)+(b+d){\mathrm {i} })\bullet u\\&=(a+c)u\\&=au+cu\\&=(a+b{\mathrm {i} })\bullet u+(c+d{\mathrm {i} })\bullet u.\end{aligned}}$

Ferner ist

${}1\bullet u=u\,$

für alle ${}u\in \mathbb {R}$.

Aufgabe (9 (1+1+7) Punkte)

Aus den Rohstoffen ${}R_{1},R_{2}$ und ${}R_{3}$ werden verschiedene Produkte ${}P_{1},P_{2},P_{3},P_{4}$ hergestellt. Die folgende Tabelle gibt an, wie viel von den Rohstoffen jeweils nötig ist, um die verschiedenen Produkte herzustellen (jeweils in geeigneten Einheiten).

	${}R_{1}$	${}R_{2}$	${}R_{3}$
${}P_{1}$	${}6$	${}2$	${}3$
${}P_{2}$	${}4$	${}1$	${}2$
${}P_{3}$	${}0$	${}5$	${}2$
${}P_{4}$	${}2$	${}1$	${}5$

a) Erstelle eine Matrix, die aus einem Vierertupel von Produkten die benötigten Rohstoffe berechnet.

b) Die folgende Tabelle zeigt, wie viel von welchem Produkt in einem Monat produziert werden soll.

	${}P_{1}$	${}P_{2}$	${}P_{3}$	${}P_{4}$
	${}6$	${}4$	${}7$	${}5$

Welche Rohstoffmengen werden dafür benötigt?

c) Die folgende Tabelle zeigt, wie viel von welchem Rohstoff an einem Tag angeliefert wird.

	${}R_{1}$	${}R_{2}$	${}R_{3}$
	${}12$	${}9$	${}13$

Welche Produkttupel kann man daraus ohne Abfall produzieren?

Lösung

a) Die Matrix ist

${\begin{pmatrix}6&4&0&2\\2&1&5&1\\3&2&2&5\end{pmatrix}},$

da in der ${}i$-ten Spalte die für das ${}i$-te Produkt benötigte Rohstoffmenge stehen muss.

b) Die benötigte Rohstoffmenge ist

${}{\begin{pmatrix}6&4&0&2\\2&1&5&1\\3&2&2&5\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}6\\4\\7\\5\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}36+16+10\\12+4+35+5\\18+8+14+25\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}62\\56\\65\end{pmatrix}}\,.$

c) Es geht um das lineare Gleichungssystem

${}{\begin{pmatrix}6&4&0&2\\2&1&5&1\\3&2&2&5\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\\z\\w\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}6x+4y+2w\\2x+y+5z+w\\3x+2y+2z+5w\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}12\\9\\13\end{pmatrix}}\,,$

das wir zunächst ohne Berücksichtigung der Tatsache lösen, dass nur nichtnegative Tupel sinnvoll interpretiert werden können. Wir ziehen vom ${}5$-fachen der dritten Zeile das Doppelte der zweiten Zeile ab und erhalten

${}{\begin{pmatrix}6x+4y+2w\\2x+y+5z+w\\11x+8y+23w\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}12\\9\\47\end{pmatrix}}\,.$

Jetzt ziehen wir von der dritten Zeile das Doppelte der ersten Zeile ab und erhalten

${}{\begin{pmatrix}6x+4y+2w\\2x+y+5z+w\\-x+19w\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}12\\9\\23\end{pmatrix}}\,.$

Mit

${}w=0\,$

erhalten wir die eindeutige Lösung

${}x=-23\,,$

${}y=3+{\frac {69}{2}}={\frac {75}{2}}\,$

und

${}z={\frac {9}{5}}-{\frac {1}{5}}\cdot {\frac {75}{2}}+{\frac {46}{5}}={\frac {18-75+92}{10}}={\frac {7}{2}}\,.$

Mit

${}x=0\,$

erhalten wir die eindeutige Lösung

${}w={\frac {23}{19}}\,,$

${}y=3-{\frac {23}{38}}={\frac {91}{38}}\,$

und

${}z={\frac {9}{5}}-{\frac {1}{5}}\cdot {\frac {91}{38}}-{\frac {1}{5}}\cdot {\frac {23}{19}}={\frac {342-91-46}{190}}={\frac {205}{190}}={\frac {41}{38}}\,.$

Alle Lösungen des linearen Gleichungssystems haben somit die Form

${\begin{pmatrix}0\\{\frac {91}{38}}\\{\frac {41}{38}}\\{\frac {23}{19}}\end{pmatrix}}+s{\left({\begin{pmatrix}-23\\{\frac {75}{2}}\\{\frac {7}{2}}\\0\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}0\\{\frac {91}{38}}\\{\frac {41}{38}}\\{\frac {23}{19}}\end{pmatrix}}\right)}$

mit ${}s\in \mathbb {R}$.

Wir berücksichtigen jetzt noch, dass von diesen Lösungen des linearen Gleichungssystems nur diejenigen sinnvoll interpretiert werden können, bei denen von jedem Produkt eine nichtnegative Menge produziert wird. Dies ergibt vier Abschätzungen, die Bedingungen an ${}s$ festlegen. Wegen der ersten Zeile muss ${}s\leq 0$ sein und damit ist auch die vierte Zeile erfüllt. Die zweite Zeile führt auf die Bedingung

${}{\frac {91}{38}}+s{\left({\frac {75}{2}}-{\frac {91}{38}}\right)}={\frac {91}{38}}+s{\left({\frac {1334}{38}}\right)}\geq 0\,,$

also

${}s\geq -{\frac {91}{1334}}\,.$

Die dritte Zeile führt auf die Bedingung

${}{\frac {41}{38}}+s{\left({\frac {7}{2}}-{\frac {41}{38}}\right)}={\frac {41}{38}}+s{\left({\frac {92}{38}}\right)}\geq 0\,,$

also

${}s\geq -{\frac {41}{92}}\,.$

Damit alle Einträge nichtnegativ sind, muss der Parameter aus

${}0\geq s\geq -{\frac {91}{1334}}\,$

gewählt werden. Die aus den gegebenen Rohstoffmengen produzierbare Tupel sind also

${\begin{pmatrix}0\\{\frac {91}{38}}\\{\frac {41}{38}}\\{\frac {23}{19}}\end{pmatrix}}+s{\left({\begin{pmatrix}-23\\{\frac {75}{2}}\\{\frac {7}{2}}\\0\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}0\\{\frac {91}{38}}\\{\frac {41}{38}}\\{\frac {23}{19}}\end{pmatrix}}\right)}$

mit ${}s\in [-{\frac {91}{1334}},0]$.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und es sei ${}V$ ein ${}n$- dimensionaler Vektorraum. Es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

eine lineare Abbildung. Zeige, dass ${}\lambda \in K$ genau dann ein Eigenwert von ${}\varphi$ ist, wenn ${}\lambda$ eine Nullstelle des charakteristischen Polynoms ${}\chi _{\varphi }$ ist.

Lösung

Es sei ${}M$ eine beschreibende Matrix für ${}\varphi$, und sei ${}\lambda \in K$ vorgegeben. Es ist

${}\chi _{M}\,(\lambda )=\det \left(\lambda E_{n}-M\right)=0\,$

genau dann, wenn die lineare Abbildung

$\lambda \operatorname {Id} _{V}-\varphi$

nicht bijektiv (und nicht injektiv) ist (wegen Fakt ***** und Lemma 25.11 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024))). Dies ist nach Lemma 27.11 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024)) und Lemma 24.14 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024)) äquivalent zu

${}\operatorname {Eig} _{\lambda }{\left(\varphi \right)}=\operatorname {kern} (\lambda \operatorname {Id} _{V}-\varphi )\neq 0\,,$

was bedeutet, dass der Eigenraum zu ${}\lambda$ nicht der Nullraum ist, also ${}\lambda$ ein Eigenwert zu ${}\varphi$ ist.