Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/21/Klausur mit Lösungen/kontrolle

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	${}\sum$
Punkte	3	3	2	2	4	6	4	4	4	2	4	6	4	5	2	4	5	64

Aufgabe (3 Punkte)

Lösung

1. Eine Abbildung ${}F$ von ${}L$ nach ${}M$ ist dadurch gegeben, dass jedem Element der Menge ${}L$ genau ein Element der Menge ${}M$ zugeordnet wird.
2. Ein Ausdruck der Form

   $P=a_{0}+a_{1}X+a_{2}X^{2}+\cdots +a_{n}X^{n}$

   mit ${}a_{i}\in K{\text{ und }}n\in \mathbb {N}$

   heißt Polynom in einer Variablen über ${}K$.

3. Für jedes ${}x\in \mathbb {R}$ heißt die Reihe

   $\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}$

   die Exponentialreihe in ${}x$.

4. Der Arkussinus

   $[-1,1]\longrightarrow [-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}],\,x\longmapsto \arcsin x,$

   ist die Umkehrfunktion der reellen Sinusfunktion.

5. Die Funktion

   $I\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \int _{a}^{x}f(t)\,dt,$

   heißt die Integralfunktion zu ${}f$ zum Startpunkt ${}a$.

6. Man nennt

   ${}\operatorname {kern} \varphi :={\left\{v\in V\mid \varphi (v)=0\right\}}\,$

   den Kern von ${}\varphi$.

Aufgabe (3 Punkte)

Lösung

1. Seien ${}a\leq b$ reelle Zahlen und sei ${}f\colon [a,b]\rightarrow \mathbb {R}$ eine stetige Funktion mit ${}f(a)\leq 0$ und ${}f(b)\geq 0$. Dann gibt es ein ${}x\in \mathbb {R}$ mit ${}a\leq x\leq b$ und mit ${}f(x)=0$.
2. Es sei ${}f\colon [a,b]\rightarrow [c,d]$ eine bijektive differenzierbare Funktion und es sei ${}F$ eine Stammfunktion von ${}f$. Dann ist

   ${}G(y):=yf^{-1}(y)-F(f^{-1}(y))\,$

   eine Stammfunktion der Umkehrfunktion ${}f^{-1}$.
3. Es sei ${}K$ ein Körper und ${}n\in \mathbb {N} _{+}$. Dann ist die Determinante

   $\operatorname {Mat} _{n}(K)=(K^{n})^{n}\longrightarrow K,\,M\longmapsto \det M,$

   alternierend. D.h. wenn in ${}M$ zwei Zeilen übereinstimmen, so ist

   ${}\det M=0$.

Aufgabe (2 Punkte)

Anna kann sich nicht zwischen Heinrich und Konrad entscheiden, deshalb lässt sie sich vom Zufall leiten. Sie wohnt an einer U-Bahn-Station der Linie ${}5$, die von Heinsheim nach Konsau fährt. Heinrich wohnt in Heinsheim und Konrad in Konsau. Wenn Anna Lust auf ein Date hat, geht sie einfach zu ihrer Station und nimmt die erstbeste U-Bahn, die gerade kommt. Die U-Bahnen fahren in beide Richtungen im Zehn-Minuten-Takt und die U-Bahnen nach Heinsheim fahren ${}:\!01,:\!11,:\!21$ etc. Nach einiger Zeit stellt Anna fest, dass sie Konrad viermal so häufig besucht wie Heinrich. Wann fahren die U-Bahnen nach Konsau ab?

Lösung

Die Wahrscheinlichkeit, dass als erstes eine U-Bahn nach Konsau kommt, muss viermal so groß sein wie die Wahrscheinlichkeit, dass zuerst eine U-Bahn nach Heinsheim kommt. Deshalb muss in einem Zehn-Minuten-Intervall acht Minuten lang eine U-Bahn nach Konsau die nächste sein (und zwei Minuten lang eine U-Bahn nach Heinsheim). Die U-Bahnen nach Konsau fahren also ${}:\!09,:\!19,:\!29$ etc. ab.

Aufgabe (2 Punkte)

1. Skizziere vier Geraden in der Ebene, die sich insgesamt in genau drei Punkten schneiden.
2. Skizziere vier Geraden in der Ebene, die sich in keinem Punkt schneiden.
3. Skizziere vier Geraden in der Ebene, die sich in einem Punkt schneiden.
4. Skizziere vier Geraden in der Ebene, die sich insgesamt in sechs Punkten schneiden.

Lösung

1. 

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   ${}\,$

2. 

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   ${}\,$

3. 

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   ${}\,$

4. 

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   ${}\,$

Aufgabe (4 (1+1+1+1) Punkte)

Für eine Klausur verteilt Professor Knopfloch Nummern ${}n$ von ${}1$ bis ${}150$ an die Studenten. Diese sollen sich gemäß ihrer Nummer ${}n$ vor der Halle ungefähr mit einem Abstand (in Meter)

${}a(n)=5+4\left\lfloor {\sqrt {n}}\right\rfloor \,$

zum Eingang aufstellen, wobei der zur Verfügung stehende Platz in etwa ein Viertelkreissektor mit dem Eingang als Mittelpunkt ist.

1. Ist die Abbildung

   $a\colon \{1,\ldots ,150\}\longrightarrow \mathbb {N}$

   injektiv?

2. Ist die Abbildung

   $a\colon \{1,\ldots ,150\}\longrightarrow \{1,\ldots ,53\}$

   surjektiv?

3. Wie viele Leute sollen einen Abstand von ${}49$ Meter zum Eingang einnehmen?
4. Welche Vorteile (Nachteile) hat die gewählte Abstandsfunktion gegenüber der Funktion

   ${}b(n)=5+4n\,.$

Lösung

1. Die Abbildung ist nicht injektiv, da ${}1$ und ${}2$ beide auf ${}9$ abgebildet werden.
2. Die Abbildung ist nicht surjektiv, da ${}1$ nicht im Bild liegt.
3. Für genau die Zahlen

   ${}n=121,\ldots ,143\,$

   ist

   ${}11\leq {\sqrt {n}}<12\,,$

   für diese ist also

   ${}\left\lfloor {\sqrt {n}}\right\rfloor =11\,$

   und daher

   ${}a(n)=49\,.$

   Den Abstand ${}49$ sollen also ${}23$ Leute einnehmen.

4. Der zur Verfügung stehende Raum wird einigermaßen gleichmäßig ausgenutzt, wobei die Leute einen hinreichenden Abstand zueinander haben können; der Radius und damit die Bogenlänge des Viertelkreises ist ungefähr proportional zur Anzahl der Leute, die darauf Platz nehmen sollen (auf dem Viertelkreis mit Radius ${}5+4k$ und Bogenlänge ca. ${}7,5+6k$ stehen ${}2k+1$ Personen). Bei der Funktion

   ${}b(n)=5+4n\,$

   ergibt sich eine lineare sehr lange Schlange.

Aufgabe (6 (3+3) Punkte)

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper und es sei

$f\colon K\longrightarrow K$

eine bijektive Abbildung mit der Umkehrfunktion ${}f^{-1}$. Zeige die folgenden Aussagen.

1. ${}f$ ist genau dann streng wachsend, wenn ${}f^{-1}$ streng wachsend ist.
2. ${}f$ ist genau dann streng fallend, wenn ${}f^{-1}$ streng fallend ist.

Lösung

Wegen der Symmetrie der Situation muss man für beide Aussagen nur die Hinrichtung zeigen.

1. Es sei ${}f$ streng wachsend und ${}u>v$ aus ${}K$. Dann gibt es eindeutig bestimmte Elemente ${}x,y\in K$ mit ${}f(x)=u$ und ${}f(y)=v$. Für diese gilt

   ${}x>y\,,$

   da sich andernfalls direkt ein Widerspruch zum strengen Wachstum von ${}f$ ergibt. Somit ist

   ${}f^{-1}(u)=x>y=f^{-1}(v)\,$

   und ${}f^{-1}$ ist ebenfalls streng wachsend.

2. Es sei ${}f$ streng fallend und ${}u>v$ aus ${}K$. Dann gibt es eindeutig bestimmte Elemente ${}x,y\in K$ mit ${}f(x)=u$ und ${}f(y)=v$. Für diese gilt

   ${}x<y\,,$

   da sich andernfalls, aus ${}x\geq y$ wegen der Voraussetzung an ${}f$, streng fallend zu sein, direkt der Widerspruch ${}u=f(x)\leq f(y)=v$ ergibt. Somit ist

   ${}f^{-1}(u)=x<y=f^{-1}(v)\,$

   und ${}f^{-1}$ ist ebenfalls streng fallend.

Aufgabe (4 Punkte)

Beweise durch Induktion die Simpson-Formel oder Simpson-Identität für die Fibonacci-Zahlen ${}f_{n}$. Sie besagt (für $n\geq 2$)

${}f_{n+1}f_{n-1}-f_{n}^{2}=(-1)^{n}\,.$

Lösung

Der Induktionsanfang für ${}n=2$ ist durch

${}f_{3}\cdot f_{1}-f_{2}^{2}=2\cdot 1-1^{2}=1=(-1)^{2}\,$

gesichert. Es sei also die Aussage für ein ${}n$ schon bewiesen und betrachten wir die Aussage für ${}n+1$. Es ist

${}{\begin{aligned}f_{n+2}f_{n}-f_{n+1}^{2}&={\left(f_{n}+f_{n+1}\right)}f_{n}-f_{n+1}^{2}\\&=f_{n}^{2}+f_{n+1}f_{n}-f_{n+1}^{2}\\&=f_{n}^{2}+f_{n+1}{\left(f_{n}-f_{n+1}\right)}\\&=f_{n}^{2}+f_{n+1}{\left(f_{n}-f_{n}-f_{n-1}\right)}\\&=f_{n}^{2}-f_{n+1}f_{n-1}\\&=(-1){\left(f_{n+1}f_{n-1}-f_{n}^{2}\right)}\\&=(-1)(-1)^{n}\\&=(-1)^{n+1}.\end{aligned}}$

Aufgabe (4 Punkte)

Beweise den Satz über die Anzahl von Nullstellen eines Polynoms über einem Körper ${}K$.

Lösung

Wir beweisen die Aussage durch Induktion über ${}d$. Für ${}d=0,1$ ist die Aussage offensichtlich richtig. Es sei also ${}d\geq 2$ und die Aussage sei für kleinere Grade bereits bewiesen. Es sei ${}a$ eine Nullstelle von ${}P$ (falls ${}P$ keine Nullstelle besitzt, sind wir direkt fertig). Dann ist ${}P=Q(X-a)$ nach Lemma 6.5 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024)) und ${}Q$ hat den Grad ${}d-1$, sodass wir auf ${}Q$ die Induktionsvoraussetzung anwenden können. Das Polynom ${}Q$ hat also maximal ${}d-1$ Nullstellen. Für ${}b\in K$ gilt ${}P(b)=Q(b)(b-a)$. Dies kann nach Lemma 4.5 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024))  (5) nur dann ${}0$ sein, wenn einer der Faktoren ${}0$ ist, sodass eine Nullstelle von ${}P$ gleich ${}a$ ist oder aber eine Nullstelle von ${}Q$ ist. Es gibt also maximal ${}d$ Nullstellen von ${}P$.

Aufgabe (4 Punkte)

Es seien ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ zwei konvergente reelle Folgen mit ${}x_{n}\geq y_{n}$ für alle ${}n\in \mathbb {N}$. Zeige, dass dann ${}\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}\geq \lim _{n\rightarrow \infty }y_{n}$ gilt.

Lösung

Es seien ${}x$ und ${}y$ die Grenzwerte der beiden Folgen. Sei

${}x<y\,$

angenommen. Wir setzen

${}\delta :=y-x\,$

und

${}\epsilon ={\frac {1}{3}}\cdot \delta >0\,.$

Dann sind die ${}\epsilon$-Umgebungen ${}[x-\epsilon ,x+\epsilon ]$ und ${}[y-\epsilon ,y+\epsilon ]$ disjunkt. Zu diesem ${}\epsilon$ gibt es ein (gemeinsames) ${}n_{0}$ derart, dass für alle ${}n\geq n_{0}$ die Folgenglieder ${}x_{n}\in [x-\epsilon ,x+\epsilon ]$ und die Folgenglieder ${}y_{n}\in [y-\epsilon ,y+\epsilon ]$ liegen. Somit ergibt sich

${}x_{n}\leq x+\epsilon <y-\epsilon \leq y_{n}\,,$

ein Widerspruch zur Voraussetzung.

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ${}z\in \mathbb {R} ,\,\vert {z}\vert <1$. Bestimme und beweise eine Formel für die Reihe

$\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}z^{k}.$

Lösung

Nach Satz 9.13 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024)) gilt für alle ${}x\in \mathbb {R}$ mit ${}\vert {x}\vert <1$

${}\sum _{k=0}^{\infty }x^{k}={\frac {1}{1-x}}\,.$

Angewendet auf ${}x=-z$ ist

${}\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}z^{k}={\frac {1}{1-(-z)}}={\frac {1}{1+z}}\,.$

Es folgt

${}\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}z^{k}={\frac {1}{1+z}}\,.$

Aufgabe (4 Punkte)

Beweise die Funktionalgleichung der Exponentialfunktion.

Lösung

Das Cauchy-Produkt der beiden Exponentialreihen ist

$\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}$

mit

${}c_{n}=\sum _{i=0}^{n}{\frac {x^{i}}{i!}}{\frac {y^{n-i}}{(n-i)!}}\,.$

Diese Reihe ist nach Lemma 12.4 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024)) absolut konvergent und der Grenzwert ist das Produkt der beiden Grenzwerte. Andererseits ist der ${}n$-te Summand der Exponentialreihe von ${}x+y$ nach Satz 4.11 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024)) gleich

${}{\frac {(x+y)^{n}}{n!}}={\frac {1}{n!}}\sum _{i=0}^{n}{\binom {n}{i}}x^{i}y^{n-i}=c_{n}\,,$

sodass die beiden Seiten übereinstimmen.

Aufgabe (6 Punkte)

Es sei ${}I\subseteq \mathbb {R}$ und seien

$f,g\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

zwei ${}n$-mal differenzierbare Funktionen. Zeige, dass

${}(f\cdot g)^{(n)}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}f^{(k)}\cdot g^{(n-k)}\,$

gilt.

Lösung

Wir beweisen die Aussage durch Induktion über ${}n$. Sie ist für ${}n=0$ trivial und für ${}n=1$ handelt es sich einfach um die Produktregel. Es sei die Aussage für die ${}n$-te Ableitung bereits bewiesen. Es ist unter Verwendung der Induktionsvoraussetzung, der Produktregel und [[Binomialkoeffizient/Summe in Pascaldreieck/Fakt|Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024)/Binomialkoeffizient/Summe in Pascaldreieck/Fakt/Faktreferenznummer (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024))]]

${}{\begin{aligned}(f\cdot g)^{(n+1)}&={\left((f\cdot g)^{(n)}\right)}'\\&={\left(\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}f^{(k)}\cdot g^{(n-k)}\right)}'\\&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\left(f^{(k)}\cdot g^{(n-k)}\right)}'\\&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\left({\left(f^{(k)}\right)}'\cdot g^{(n-k)}+f^{(k)}\cdot {\left(g^{(n-k)}\right)}'\right)}\\&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\left(f^{(k+1)}\cdot g^{(n-k)}+f^{(k)}\cdot g^{(n+1-k)}\right)}\\&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}f^{(k+1)}\cdot g^{(n-k)}+\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}f^{(k)}\cdot g^{(n+1-k)}\\&=\sum _{k=1}^{n+1}{\binom {n}{k-1}}f^{(k)}\cdot g^{(n+1-k)}+\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}f^{(k)}\cdot g^{(n+1-k)}\\&=\sum _{k=0}^{n+1}{\left({\binom {n}{k-1}}+{\binom {n}{k}}\right)}f^{(k)}\cdot g^{(n+1-k)}\\&=\sum _{k=0}^{n+1}{\binom {n+1}{k}}f^{(k)}\cdot g^{(n+1-k)}.\end{aligned}}$

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme die Extrema und das Wachstumsverhalten der rationalen Funktion

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto {\frac {x}{x^{2}+1}}.$

Lösung

Nach der Quotientenregel ist

${}f'(x)={\frac {(x^{2}+1)-x(2x)}{(x^{2}+1)^{2}}}={\frac {-x^{2}+1}{(x^{2}+1)^{2}}}\,.$

Die Nullstellen der Zählerfunktion sind

${}x=\pm 1\,.$

Der Ableitung kann man ferner entnehmen, dass die Funktion ${}f$ für ${}x<-1$ streng fallend, für ${}-1<x<1$ streng wachsend und für ${}x>1$ wieder streng fallend ist. Deshalb liegt in ${}-1$ ein isoliertes lokales Minimum und in ${}1$ ein isoliertes lokales Maximum vor. Da ${}f$ unterhalb von ${}0$ negativ und oberhalb von ${}0$ positiv ist, sind beide Extrema global.

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei

$f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R}$

stetig mit

${}\int _{a}^{b}f(x)g(x)dx=0\,$

für jede stetige Funktion ${}g\colon [a,b]\rightarrow \mathbb {R}$. Zeige ${}f=0$.

Lösung

Es sei

${}\int _{a}^{b}f(x)g(x)dx=0\,$

für jede stetige Funktion

$g\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} .$

Da ${}f$ selbst stetig ist, gilt diese Beziehung insbesondere für ${}g=f$, es ist also

${}\int _{a}^{b}f(x)^{2}dx=0\,.$

Nehmen wir an, dass ${}f$ nicht die Nullfunktion ist. Es sei ${}c\in [a,b]$ mit ${}f(c)\neq 0$. Dann ist ${}f(c)^{2}=\epsilon >0$ und da ${}f^{2}$ stetig ist, gibt es ein Teilintervall ${}c\in [s,t]\subseteq [a,b]$, worauf die Werte der Funktion ${}f^{2}$ mindestens so groß wie ${}\epsilon /2$ sind. Wegen ${}f^{2}\geq 0$ ist daher

${}{\begin{aligned}\int _{a}^{b}f^{2}(x)dx&=\int _{a}^{s}f^{2}(x)dx+\int _{s}^{t}f^{2}(x)dx+\int _{t}^{b}f^{2}(x)dx\\&\geq \int _{s}^{t}f^{2}(x)dx\\&\geq (t-s){\frac {\epsilon }{2}}\\&>0\end{aligned}}$

im Widerspruch zur Voraussetzung.

Aufgabe (2 Punkte)

Erstelle eine Geradengleichung für die Gerade im ${}\mathbb {R} ^{2}$, die durch die beiden Punkte ${}(2,3)$ und ${}(5,-7)$ verläuft.

Lösung

Die Gerade wird in Punktvektorform durch

${}{\left\{{\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}}+t\left({\begin{pmatrix}5\\-7\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}}\right)\mid t\in \mathbb {R} \right\}}={\left\{{\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}}+t{\begin{pmatrix}3\\-10\end{pmatrix}}\mid t\in \mathbb {R} \right\}}\,$

beschrieben. Die Gleichungsform hat somit die Gestalt

${}G={\left\{{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\mid 10x+3y=c\right\}}\,$

mit einem zu bestimmenden ${}c$. Einsetzen des Punktes ${}{\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}}$ ergibt ${}c=29$, also ist

${}G={\left\{{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\mid 10x+3y=29\right\}}\,.$

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}K$ ein endlicher Körper mit ${}q$ Elementen und sei ${}V$ ein ${}n$- dimensionaler ${}K$- Vektorraum. Es sei ${}v_{1},v_{2},v_{3},\ldots$ eine Aufzählung (ohne Wiederholung) der Elemente aus ${}V$. Nach wie vielen Elementen kann man sich sicher sein, dass diese ein Erzeugendensystem von ${}V$ sind?

Lösung

Wegen der Isomorphie

${}V\cong K^{n}\,$

besitzt ${}V$ genau ${}q^{n}$ Elemente. Der „schlechteste“ Fall ist, dass die Elemente ${}v_{1},v_{2},\ldots$ zuerst alle Elemente eines ${}n-1$-dimensionalen Untervektorraumes durchlaufen. Ein solcher hat ${}q^{n-1}$ Elemente. Da es in der Tat möglich ist, dass die ersten ${}q^{n-1}$ Elemente in einem echten Untervektorraum liegen, muss man einen Schritt weiter gehen. Die ersten ${}q^{n-1}+1$-te Elemente können allerdings nicht mehr in einem niedrigerdimensionalen Untervektorraum liegen, sondern erzeugen den vollen Raum.

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei ${}M$ eine quadratische Matrix, die man als

${}M={\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}\,$

mit quadratischen Matrizen ${}A,B,C$ und ${}D$ schreiben kann. Zeige durch ein Beispiel, dass die Beziehung

${}\det M=\det A\cdot \det D-\det B\cdot \det C\,$

im Allgemeinen nicht gilt.

Lösung

Wir betrachten die Matrix

${\begin{pmatrix}1&0&0&-1\\0&1&1&0\\1&0&1&0\\0&1&0&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}$

mit den ${}2\times 2$-Untermatrizen ${}A,B,C,D$ wie in der Aufgabenstellung. Dann ist

${}{\begin{aligned}\det A\cdot \det D-\det B\cdot \det C&=\det {\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}\cdot \det {\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}-\det {\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}\cdot \det {\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}\\&=1\cdot 1-1\cdot 1\\&=0.\end{aligned}}$

Um die wahre Determinante auszurechnen, führen wir Zeilenoperationen durch. Wir ersetzen die dritte Zeile durch ${}III-I$ und die vierte Zeile durch ${}IV-II$ und erhalten

${\begin{pmatrix}1&0&0&-1\\0&1&1&0\\0&0&1&1\\0&0&-1&1\end{pmatrix}}.$

Wir addieren zur vierten Zeile die dritte Zeile hinzu und erhalten die obere Dreiecksmatrix

${\begin{pmatrix}1&0&0&-1\\0&1&1&0\\0&0&1&1\\0&0&0&2\end{pmatrix}},$

bei der alle Diagonaleinträge von ${}0$ verschieden sind. Daher ist diese Matrix und damit auch die Ausgangsmatrix invertierbar und die Determinante ist nach Fakt ***** nicht ${}0$.