Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/36/Klausur mit Lösungen



Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
Punkte 3 3 3 2 3 4 6 3 4 2 6 4 4 3 3 5 2 4 64




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Die Produktmenge aus zwei Mengen und .
  2. Die komplexe Konjugation.
  3. Die Konvergenz einer reellen Folge gegen .
  4. Ein isoliertes lokales Minimum einer Funktion .
  5. Der Arkussinus.
  6. Ein inhomogenes lineares Gleichungssystem mit Gleichungen in Variablen über einem Körper .


Lösung

  1. Man nennt die Menge

    die Produktmenge der Mengen und .

  2. Die Abbildung

    heißt komplexe Konjugation.

  3. Die Konvergenz gegen bedeutet, dass es zu jedem reellen ein derart gibt, dass für alle die Abschätzung

    gilt.

  4. Man sagt, dass in einem Punkt ein isoliertes lokales Minimum besitzt, wenn es ein derart gibt, dass für alle mit und die Abschätzung

    gilt.

  5. Der Arkussinus

    ist die Umkehrfunktion der reellen Sinusfunktion.

  6. Das System
    heißt ein inhomogenes lineares Gleichungssystem, wobei die und die aus sind.


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über die Anzahl von Nullstellen eines Polynoms über einem Körper .
  2. Die Regel von l'Hospital.
  3. Der Satz über die Multilinearität der Determinante (mit Erläuterung).


Lösung

  1. Ein von verschiedenes Polynom vom Grad besitzt maximal Nullstellen.
  2. Es sei ein offenes Intervall und ein Punkt. Es seien

    stetige Funktionen, die auf differenzierbar seien mit und mit für . Es sei vorausgesetzt, dass der Grenzwert

    existiert. Dann existiert auch der Grenzwert

    und sein Wert ist ebenfalls .
  3. Es sei ein Körper und . Dann ist die Determinante

    multilinear. D.h., dass für jedes , für je Vektoren und für die Gleichheit

    und für die Gleichheit

    gilt.


Aufgabe (3 Punkte)

In Beweisen findet man häufig die Formulierung „Wir nehmen (jetzt, also) an“. Welche Bedeutungen im Beweis kann diese Formulierung haben?


Lösung Annahme/Funktion im Beweis/Aufgabe/Lösung


Aufgabe (2 (0.5+0.5+0.5+0.5) Punkte)

Wir betrachten die Wertetabelle

  1. Berechne .
  2. Berechne .
  3. Berechne .
  4. Berechne .


Lösung

Es ist


Aufgabe (3 Punkte)

Zeige durch Induktion, dass jede natürliche Zahl eine Zerlegung in Primzahlen besitzt.


Lösung

Wir beweisen die Existenz durch Induktion über .  Für liegt eine Primzahl vor. Bei ist entweder eine Primzahl, und diese bildet die Primfaktorzerlegung, oder aber ist keine Primzahl. In diesem Fall gibt es eine nichttriviale Zerlegung mit kleineren Zahlen . Für diese Zahlen gibt es nach Induktionsvoraussetzung jeweils eine Zerlegung in Primfaktoren, und diese setzen sich zu einer Primfaktorzerlegung für zusammen. 


Aufgabe (4 Punkte)

Beweise


Lösung

Der Induktionsanfang bei ist klar. Unter Verwendung der Pascalschen Rekursionsformel und der Induktionsvoraussetzung ist


Aufgabe (6 Punkte)

Es sei ein Körper und sei der Polynomring über und sei ein Polynom, das eine Zerlegung in Linearfaktoren besitze. Es sei ein Teiler von . Zeige, dass ebenfalls eine Zerlegung in Linearfaktoren besitzt, wobei die Vielfachheit eines Linearfaktors in durch seine Vielfachheit in beschränkt ist.


Lösung

Wir arbeiten mit normierten Polynomen und schreiben

mit verschiedenen und führen Induktion über den Grad von . Die Teilbarkeitsbeziehung bedeutet die Existenz eines Polynoms mit

Damit ist

Aufgrund der Nichtnullteilereigenschaft in einem Körper gilt oder . Nach Lemma 6.5 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)) bedeutet dies, dass oder von geteilt wird. Im zweiten Fall schreiben wir

Aufgrund der Nichtnullteilereigenschaft im Polynomring folgt daraus

und wir können auf die Induktionsvoraussetzung anwenden. Im ersten Fall ist

woraus sich

und somit

ergibt. Die Induktionsvoraussetzung angewendet auf bedeutet, dass in Linearfaktoren zerfällt und dass nur Linearfaktoren aus mit einer Vielfachheit vorkommen, die durch die Vielfachheit von beschränkt ist. Da die Vielfachheiten zu in und in für übereinstimmen und die Vielfachheit von sich um reduziert, dies aber auch beim Übergang von nach zutrifft, folgt die Aussage.


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ein angeordneter Körper und seien Elemente aus . Zeige


Lösung

Es ist

wobei wir im vorletzten Schritt verwendet haben, dass Quadrate positiv und daher ist.


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei eine reelle konvergente Folge mit für alle und . Zeige, dass ebenfalls konvergent mit

ist.


Lösung

Da der Limes der Folge nicht ist, gilt für die Bedingung und damit

Sei vorgegeben. Wegen der Konvergenz von gibt es ein mit

Dann gilt für alle die Abschätzung


Aufgabe (2 Punkte)

Hans will sich ein Frühstücksei kochen. Im Moment, als er das Ei in das kochende Wasser eintaucht, zeigt seine Uhr (die Uhr läuft genau und hat keine Sekundenangabe). Als er das nächste Mal auf die Uhr schaut, zeigt sie an. Bestimme das Infimum, Minimum, Supremum, Maximum der Zeit, die das Ei zwischen den beiden Momenten im Wasser ist.


Lösung

Wir messen die Zeit in Minuten nach Uhr. Der Eintauchzeitpunkt ist eine Zahl , der rechte Rand ist nicht möglich, da die Uhr dann schon anzeigen würde. Der zweite Moment wird durch beschrieben. Es ist also

und

wobei die Abschätzungen optimal sind. Die Differenz ist nach unten durch

beschränkt. Da diese Abschätzung optimal ist, folgt, dass das Infimum gleich ist und dass das Minimum nicht existiert. Die Differenz ist nach oben durch

beschränkt. Das Supremum ist also und das Maximum existiert nicht.


Aufgabe (6 Punkte)

Beweise den Zwischenwertsatz.


Lösung

Wir beschränken uns auf die Situation und zeigen die Existenz von einem solchen mit Hilfe einer Intervallhalbierung. Dazu setzt man und , betrachtet die Intervallmitte und berechnet

Bei setzt man

und bei setzt man

In jedem Fall hat das neue Intervall die halbe Länge des Ausgangsintervalls und liegt in diesem. Da es wieder die Voraussetzung erfüllt, können wir darauf das gleiche Verfahren anwenden und gelangen so rekursiv zu einer Intervallschachtelung. Sei die durch diese Intervallschachtelung definierte reelle Zahl. Für die unteren Intervallgrenzen gilt und das überträgt sich wegen der Stetigkeit nach dem Folgenkriterium auf den Grenzwert , also . Für die oberen Intervallgrenzen gilt und das überträgt sich ebenfalls auf , also .  Also ist .


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei

ein reelles Polynom vom Grad . Zeige, dass der Durchschnitt des Graphen der Funktion mit jeder Tangenten an den Graphen aus genau einem Punkt besteht.


Lösung

Die Tangente zu wird durch

beschrieben. Der Punkt gehört zum Graphen und zur Tangente; wir müssen zeigen, dass kein weiterer Punkt zum Durchschnitt gehört. Nehmen wir an, es gäbe einen weiteren Punkt mit . Dies bedeutet

Dies führt auf

Division durch ergibt

und daraus erhält man

Wegen folgt der Widerspruch


Aufgabe (4 (1+3) Punkte)

  1. Definiere die Funktion

    deren Graph der obere Halbkreis mit Mittelpunkt und Radius ist.

  2. Bestimme das Taylorpolynom vom Grad zu im Entwicklungspunkt .


Lösung

  1. Aus der Kreisgleichung

    folgt

  2. Die Ableitung von ist

    und insbesondere . Die zweite Ableitung ist

    und insbesondere

    Da eine gerade Funktion ist, ist die dritte Ableitung ungerade und deshalb ist

    Das Taylorpolynom vom Grad ist somit


Aufgabe (3 Punkte)

Berechne das bestimmte Integral


Lösung

Wir arbeiten mit der bijektiven Substitution

mit der Umkehrfunktion

und

Somit ist


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen in zwei Variablen über gegeben. Die Lösungsmengen der einzelnen Gleichungen seien Geraden. Skizziere die drei Möglichkeiten, wie die Lösungsmenge des Systems aussehen kann.


Lösung Geraden/Q^2/Lösungsverhalten/Aufgabe/Lösung


Aufgabe (5 (2+3) Punkte)

Es sei ein endlicher Körper mit Elementen.

  1. Zeige, dass die Polynomfunktionen

    mit linear unabhängig sind.

  2. Zeige, dass die Exponentialfunktionen

    mit linear unabhängig sind.


Lösung

  1. Nach dem Interpolationssatz kann man jede Abbildung

    eindeutig als ein Polynom vom Grad schreiben. Wegen der Eindeutigkeit sind die Potenzfunktionen linear unabhängig.

  2. Wir betrachten die -Matrix

    In der -ten Spalte stehen alle Werte (eine vollständige Wertetabelle) von (an den Stellen ). Diese Tupel sind nach Teil (1) linear unabhängig. In der -ten Zeile stehen alle Werte der Exponentialfunktion zur Basis (an den Stellen ). Nach Korollar 26.4 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)) sind mit den Spalten auch die Zeilen linear unabhängig. Somit sind die Exponentialfunktionen linear unabhängig.


Aufgabe (2 Punkte)

Was ist falsch an der folgenden Argumentation:

„Aussage: Es sei ein Eigenwert zur oberen Dreiecksmatrix

Dann ist

Beweis: Es sei

ein Eigenvektor der Matrix zum Eigenwert . Dies bedeutet die Gleichheit

Diese Gleichheit bedeutet die entsprechende Gleichheit in jeder Zeile. Speziell ergibt sich für die letzte Zeile die Bedingung

Da als Eigenvektor von verschiedenen sein muss, kann man durch dividieren und erhält . “


Lösung

Es ist zwar

dies bedeutet aber nur, dass mindestens eine Komponente nicht ist. Der letzte Eintrag kann sein, und dann kann man die behauptete Division nicht durchführen.


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme das charakteristische Polynom, die Eigenwerte mit Vielfachheiten und die Eigenräume zur reellen Matrix


Lösung

Das charakteristische Polynom ist

Somit sind , und die Eigenwerte mit algebraischer und geometrischer Vielfachheit . Der Eigenraum zu ist der Kern von , dieser ist

Der Eigenraum zu ist der Kern von , dieser ist

Der Eigenraum zu ist der Kern von , dieser ist