Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/47/Klausur mit Lösungen



Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
Punkte 3 3 2 3 2 2 2 1 1 6 4 4 4 2 5 5 2 1 2 6 4 64




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Der Körper der komplexen Zahlen (mit den Verknüpfungen).
  2. Der Grad eines Polynoms , , über einem Körper .
  3. Die bestimmte Divergenz einer reellen Folge gegen .
  4. Die reelle Exponentialfunktion zu einer Basis .
  5. Der Kosinus hyperbolicus.
  6. Ähnliche Matrizen .


Lösung

  1. Die Menge

    mit und , mit der komponentenweisen Addition und der durch

    definierten Multiplikation nennt man Körper der komplexen Zahlen.

  2. Der Grad eines von verschiedenen Polynoms

    mit ist .

  3. Die Folge in heißt bestimmt divergent gegen , wenn es zu jedem ein mit

    gibt.

  4. Die Exponentialfunktion zur Basis ist als

    definiert.

  5. Die für durch

    definierte Funktion heißt Kosinus hyperbolicus.

  6. Die Matrizen heißen ähnlich, wenn es eine invertierbare Matrix mit gibt.


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Die allgemeine binomische Formel für .
  2. Die Produktregel für reelle Folgen.
  3. Der Basisaustauschsatz.


Lösung

  1. Für in einem Körper gilt
  2. Es seien und konvergente Folgen in . Dann ist die Folge ebenfalls konvergent und es gilt
  3. Es sei ein Körper und ein -Vektorraum mit einer Basis

    Ferner sei

    eine Familie von linear unabhängigen Vektoren in . Dann gibt es eine Teilmenge derart, dass die Familie

    eine Basis von ist.


Aufgabe (2 Punkte)

Es seien Aussagen. Zeige, dass

eine Tautologie ist.


Lösung

Wenn falsch ist, so sind alle drei Implikation wahr, in diesem Fall sind also beide Seiten des Äquivalenzpfeiles wahr. Sei nun wahr. Dann sind die Implikationen genau dann wahr, wenn ihr Nachsatz wahr ist. Die rechte Seite ist also genau dann wahr, wenn und wahr sind. Dies gilt aber auch für die linke Seite.


Aufgabe (3 Punkte)

Ein Schokoriegel der Marke „Höcker und Kerbe“ besteht aus einer Reihe von hintereinanderliegenden höckerförmigen Schokostücken, die jeweils durch eine Einkerbung (der Sollbruchstelle) miteinander verbunden sind. Zeige mit und ohne Induktion, dass man, egal bei welcher Teilungsstrategie, genau Teilungsschritte braucht, um den Schokoriegel vollständig in seine Stücke aufzuteilen.


Lösung

Ohne Induktion. Eine Schockriegel mit Höckern hat Einkerbungen. Jede muss bei einer vollständigen Teilung genau einmal gebrochen werden, deshalb braucht man genau Teilungsschritte.

Mit Induktion. Induktionsanfang. Bei gibt es nichts zu teilen, also kein Teilungsschritt. Induktionsvoraussetzung. Sei bereits bewiesen, dass man bei einer vollständigen Teilung eines Schokoriegels der Länge genau Schritte braucht. Es sei ein Schokoriegel der Länge gegeben. Jeder Teilungsvorgang desselben beginnt mit einer ersten Teilung, wobei zwei Teilriegel entstehen, wobei der eine Riegel aus (mit ) und der andere aus Stücken besteht. Auf diese beiden Teilriegel können wir die Induktionsvoraussetzung anwenden. Die Anzahl der dann benötigten Teilungsschritte ist

wie behauptet.


Aufgabe (2 (1+1) Punkte)

Wir betrachten auf der Menge

die durch die Tabelle

gegebene Verknüpfung .

  1. Berechne
  2. Besitzt die Verknüpfung ein neutrales Element?


Lösung

  1. Es ist
  2. Die Verknüpfung besitzt kein neutrales Element, da die Leitzeile in der Verknüpfungstabelle nicht als Ergebniszeile wiederkehrt.


Aufgabe (2 Punkte)

Erstelle das Pascalsche Dreieck bis .


Lösung

Algebra1 12 fig002.svg







Aufgabe (2 Punkte)

Setze in das Polynom die Zahl ein.


Lösung

Es ist


Aufgabe (1 Punkt)

Bestimme, ob die reelle Zahl

rational ist oder nicht.


Lösung

Es ist

eine rationale Zahl.


Aufgabe (1 Punkt)

Erläutere die geometrische Relevanz des geometrischen Mittels.


Lösung Geometrisches Mittel/Geometrische Relevanz/Aufgabe/Lösung


Aufgabe (6 Punkte)

Es sei ein Körper und es seien verschiedene Elemente und Elemente gegeben. Zeige, dass es ein eindeutiges Polynom vom Grad derart gibt, dass für alle ist.


Lösung

Wir beweisen die Existenz und betrachten zuerst die Situation, wo ist für alle . Dann ist

ein Polynom vom Grad , das an den Stellen den Wert hat. Das Polynom

hat an diesen Stellen ebenfalls eine Nullstelle, zusätzlich aber noch bei den Wert . Nennen wir dieses Polynom . Dann ist

das gesuchte Polynom. An der Stelle gilt ja

für und .

Die Eindeutigkeit folgt aus Korollar 6.6 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)).


Aufgabe (4 Punkte)

Es seien und konvergente Folgen in . Zeige, dass die Produktfolge ebenfalls konvergent mit

ist.


Lösung

Sei vorgegeben. Die konvergente Folge ist nach Lemma 7.9 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)) insbesondere beschränkt und daher existiert ein mit für alle . Sei und . Wir setzen . Aufgrund der Konvergenz gibt es natürliche Zahlen und mit

Diese Abschätzungen gelten dann auch für alle . Für diese Zahlen gilt daher


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei eine reelle Reihe mit für alle . Die Folge der Quotienten

konvergiere gegen eine reelle Zahl mit . Zeige unter Verwendung des Quotientenkriteriums, dass die Reihe konvergiert.


Lösung

Wegen ist

positiv. Wir setzen und damit ist

Wegen der Konvergenz der Quotientenfolge gibt es ein derart, dass

für alle gilt. Mit

gilt somit

für alle . Daher kann man auf die Reihe das Quotientenkriterium anwenden und damit auf Konvergenz schließen.


Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass der Graph des Kosinus hyperbolicus nicht überall oberhalb der Standardparabel verläuft.


Lösung

Es ist

Für ist dies

Dabei haben wir verwendet, dass sich die weiteren Summanden hinter durch Multiplikation mit u.s.w. ergeben und daher mit der geometrischen Reihe abgeschätzt werden können.


Aufgabe (2 Punkte)

Es sei

eine differenzierbare Funktion ohne Nullstelle. Bestimme die Ableitung von für .


Lösung

Es ist


Aufgabe (5 Punkte)

Zeige, dass die Funktion

genau zwei Nullstellen besitzt.


Lösung

Bei liegt eine Nullstelle vor. Auf sind beide Summanden positiv, und für ist , so dass, da zwischen und liegt, jenseits von keine Nullstelle liegen kann. Für ist wiederum , so dass unterhalb von auch keine Nullstelle liegen kann. Für das Intervall ziehen wir die Ableitung heran. Es ist

Beide Funktion sind in diesem Intervall streng wachsend, daher ist die Ableitung streng wachsend und besitzt auf höchstens eine Nullstelle. Es ist , so dass im Nullpunkt kein lokales Extremum vorliegen kann. Daher muss die Funktion auf auch negative Werte annehmen. Wegen muss nach dem Zwischenwertsatz in mindestens eine weitere Nullstelle besitzen. Wenn es zwei Nullstellen geben würde, so hätte nach dem Satz von Rolle die Ableitung sowohl auf als auch auf eine Nullstelle, was wir schon ausgeschlossen haben.


Aufgabe (5 Punkte)

Es seien positive reelle Zahlen und es gelte

Zeige, dass es positive rationale Zahlen mit

gibt.


Lösung

Es sei eine rationale echt fallende Folge (bei ; bei wählen wir eine rationale echt wachsende positive Folge), die gegen konvergiert. Wegen der Stetigkeit der Exponentialfunktion zur Basis konvergiert auch gegen . In jedem Fall ist dies eine (bei ) echt fallende Folge. Wegen der Konvergenz gibt es ein rationales mit

Die Funktion

ist als Hintereinanderschaltung einer Potenz und einer Wurzel nach Korollar 10.7 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)) und Satz 11.8 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)) ebenfalls stetig. Somit gilt für eine rationale Folge , die gegen konvergiert, dass auch gegen konvergiert. Wir wählen die Folge echt fallend, so dass auch echt fallend ist. Für hinreichend groß ist dann

und wir können wählen.


Aufgabe (2 Punkte)

Man gebe ein Beispiel einer beschränkten Funktion

die nicht Riemann-integrierbar ist.


Lösung

Es sei

Da es in jedem Intervall positiver Länge sowohl rationale als auch irrationale Zahlen gibt, besitzt eine untere Treppenfunktion zu maximal den Wert und eine obere Treppenfunktion zu besitzt minimal den Wert . Daher ist das Unterintegral gleich und das Oberintegral gleich . Daher existiert das bestimmte Integral nicht.


Aufgabe (1 Punkt)

Addiere die beiden folgenden Vektoren graphisch.











Linear unabhängige Vektoren im R^2.svg











Lösung Vektor/Graphisch/Addition/Aufgabe/Lösung


Aufgabe (2 Punkte)

Es seien und endlichdimensionale -Vektorräume. Es seien und Basen von und und Basen von . Es seien und die Übergangsmatrizen. Durch welche Übergangsmatrix wird der Basiswechsel von der Basis zur Basis vom Produktraum beschrieben?


Lösung

Die Übergangsmatrix ist die Blockmatrix

da die Koordinaten von (und entsprechend ) bezüglich und unmittelbar und nur von den Koordinaten von bezüglich abhängen.


Aufgabe (6 Punkte)

Wir betrachten die letzte Ziffer im kleinen Einmaleins (ohne die Zehnerreihe) als eine Familie von Tupeln der Länge , also die Zeilenvektoren in der Matrix

Welche Dimension besitzt der durch diese Tupel aufgespannte Untervektorraum des ?


Lösung

Die Zeilen der Matrix seien mit bezeichnet. Es ist

und

Somit tragen die achte und die neunte Zeile nichts zur Vektorraumdimension bei, da sie in dem von den ersten sieben Zeilen erzeugten Untervektorraum liegen. Ferner zeigen diese Gleichungen, dass man die siebte Zeile durch die Zeile

und die sechste Zeile (durch und damit) durch

ersetzen kann. Wir berechnen

und bezeichnen hinfort die mit multiplizierten Vektoren mit . Es ist

In der Reihenfolge

sind diese Vektoren in oberer Dreiecksgestalt und somit ist die Dimension gleich .


Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass die Matrix

über diagonalisierbar ist und bestimme eine Basis aus Eigenvektoren.


Lösung

Das charakteristische Polynom zu

ist

Es zerfällt also in Linearfaktoren mit verschiedenen Nullstellen und daher ist die Matrix diagonalisierbar. Die Eigenwerte sind . Es ist

ein Eigenvektor zum Eigenwert ist . Ferner ist

ein Eigenvektor zum Eigenwert ist . Schließlich ist

ein Eigenvektor zum Eigenwert ist . Eine Basis aus Eigenvektoren ist also