Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/49/Klausur mit Lösungen

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	${}\sum$
Punkte	3	3	6	3	5	3	3	1	2	5	2	5	5	4	4	4	3	3	64

Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Eine injektive Abbildung

   $f\colon L\longrightarrow M.$

2. Eine ungerade Funktion ${}f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$.
3. Die Kosinusreihe zu ${}x\in \mathbb {R}$.
4. Die Integralfunktion zum Startpunkt ${}a\in I$ zu einer Riemann-integrierbaren Funktion

   $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

   auf einem reellen Intervall ${}I\subseteq \mathbb {R}$.

5. Ein Vektorraum ${}V$ über einem Körper ${}K$.
6. Eine trigonalisierbare lineare Abbildung ${}\varphi \colon V\rightarrow V$, wobei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$- Vektorraum ist.

Lösung

1. Die Abbildung

   $f\colon L\longrightarrow M$

   ist injektiv, wenn für je zwei verschiedene Elemente ${}x,y\in L$ auch ${}f(x)$ und ${}f(y)$ verschieden sind.

2. Eine Funktion ${}f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ heißt ungerade, wenn für alle ${}x\in \mathbb {R}$ die Gleichheit

   ${}f(-x)=-f(x)\,$

   gilt.

3. Die Kosinusreihe ist

   $\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!}}.$

4. Die Funktion

   $I\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \int _{a}^{x}f(t)\,dt,$

   heißt die Integralfunktion zu ${}f$ zum Startpunkt ${}a$.

5. Unter einem Vektorraum ${}V$ über ${}K$ versteht man eine Menge ${}V$ mit einem ausgezeichneten Element ${}0\in V$ und mit zwei Abbildungen

   $+\colon V\times V\longrightarrow V,\,(u,v)\longmapsto u+v,$

   und

   $K\times V\longrightarrow V,\,(s,v)\longmapsto sv=s\cdot v,$

   derart, dass die folgenden Axiome erfüllt sind (dabei seien ${}r,s\in K$ und ${}u,v,w\in V$ beliebig):

   1. ${}u+v=v+u$,
   2. ${}(u+v)+w=u+(v+w)$,
   3. ${}v+0=v$,
   4. Zu jedem ${}v$ gibt es ein ${}z$ mit ${}v+z=0$,
   5. ${}r(su)=(rs)u$,
   6. ${}r(u+v)=ru+rv$,
   7. ${}(r+s)u=ru+su$,
   8. ${}1\cdot u=u$.
6. Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$- Vektorraum. Eine lineare Abbildung ${}\varphi \colon V\rightarrow V$ heißt trigonalisierbar, wenn sie bezüglich einer geeigneten Basis durch eine obere Dreiecksmatrix beschrieben wird.

Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über die Eindeutigkeit des Grenzwertes einer reellen Folge.
2. Der Satz über die Konvergenz der Exponentialreihe.
3. Der Hauptsatz der Infinitesimalrechnung für eine stetige Funktion

   $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

   auf einem reellen Intervall ${}I\subseteq \mathbb {R}$.

Lösung

1. Eine reelle Folge besitzt maximal einen Grenzwert.
2. Für jedes ${}x\in \mathbb {R}$ ist die Exponentialreihe

   $\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}$

   absolut konvergent.
3. Satzantwort Für einen beliebigen Punkt ${}a\in I$ ist die Integralfunktion

   ${}F(x):=\int _{a}^{x}f(t)\,dt\,$

   differenzierbar und es gilt

   ${}F'(x)=f(x)\,$

   für alle

   ${}x\in I$.

Aufgabe (6 (3+2+1) Punkte)

In einer Äpfelpackung befinden sich stets sechs Äpfel, die zusammen ein Kilo wiegen sollen, wobei eine Toleranz zwischen ${}995$ und ${}1005$ Gramm erlaubt ist. Der kleinste Apfel in der Packung muss mindestens ${}90$ Prozent des Gewichts des größten Apfels der Packung haben.

1. Wie schwer (in gerundeten Gramm) kann ein Apfel in einer Packung maximal sein?
2. Wie leicht (in gerundeten Gramm) kann ein Apfel in einer Packung minimal sein?
3. Um wie viel Prozent ist der größtmögliche Apfel schwerer als der kleinstmögliche Apfel?

Lösung

Die Gewichte der Äpfel seien

${}x_{1}\leq x_{2}\leq x_{3}\leq x_{4}\leq x_{5}\leq x_{6}\,$

und die Bedingungen sind

${}995\leq x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5}+x_{6}\leq 1005\,$

und

${}x_{1}\geq 0{,}9x_{6}\,.$

1. Wenn ${}x_{6}$ besonders groß werden soll, so hat man die besten Chancen beim Gesamtgewicht ${}1005$ Gramm und wenn die fünf übrigen Äpfel alle möglichst klein sind. Daher setzen wir

   ${}x_{1}=x_{2}=x_{3}=x_{4}=x_{5}\,$

   und

   ${}x_{1}=0{,}9x_{6}\,$

   an. Dies führt auf

   ${}1005=5x_{1}+x_{6}=5\cdot 0{,}9x_{6}+x_{6}=5{,}5x_{6}\,.$

   Division führt auf

   ${}1005:5{,}5=182{,}72..\,,$

   also gerundet ${}183$ Gramm. 90 Prozent davon sind

   ${}182{,}72-18{,}27=164{,}45\,.$

   Die anderen Äpfel der Packung wiegen also ${}164$ Gramm.

2. Der analoge Ansatz führt auf das Gesamtgewicht ${}995$ Gramm,

   ${}x_{2}=x_{3}=x_{4}=x_{5}=x_{6}\,$

   und

   ${}x_{1}=0{,}9x_{6}\,.$

   Dann ist

   ${}995=x_{1}+5x_{6}=5{,}9x_{6}\,.$

   Division ergibt

   ${}995:5{,}9=168{,}64..\,$

   und somit

   ${}x_{1}=168{,}64-16{,}86=151{,}78\,.$

   Der leichteste Apfel hat also das Gewicht ${}152$ Gramm, die anderen fünf Äpfel in der Packung wiegen ${}169$ Gramm.

3. Es ist

   ${}183:152=1{,}2039\,,$

   der größtmögliche Apfel in einer Packung ist also ${}20$ Prozent größer als der kleinstmögliche Apfel in einer Packung.

Aufgabe (3 Punkte)

Die Hochschule „Tellerrand“ bietet lediglich ${}4$ Fächer an, nämlich Hethitologie, Assyriologie, Ägyptologie und Semitistik. Sie bietet lediglich ${}2$-Fächer-Bachelor an in beliebiger Fächerkombination. Wie viele Fächerkombinationen gibt es (es wird nicht zwischen Erst- und Zweitfach unterschieden)? Skizziere ein Mengendiagramm, das die Studentenschaft mit ihren Fächern wiedergibt. Die zu einem Fach gehörenden Studenten und Studentinnen sollen dabei durch ein zusammenhängendes Gebiet dargestellt werden.

Lösung

Es gibt ${}6$ Möglichkeiten.

Aufgabe (5 Punkte)

Man entwerfe ein Computer-Programm (Pseudocode), das zu zwei einziffrigen natürlichen Zahlen

${}0\leq a,b\leq 9\,$

das Produkt ${}ab$ berechnet, und zwar die Zehneranzahl und die Eineranzahl ausgibt.

• Der Computer besitzt beliebig viele Speicher, die einstellige Zahlen

(also zwischen ${}0$ und ${}9$) enthalten können.

• Er kann einen Speicher leeren.

• Er kann einen Speicherinhalt um ${}1$ erhöhen.

• Er kann bedingt zu einem bestimmten Befehl springen.

• Er kann Speicherinhalte miteinander vergleichen und abhängig davon zu einem bestimmten Befehl springen.

• Er kann Speicherinhalte ausdrucken und vorgegebene Texte ausdrucken.

• Es gibt einen Haltebefehl.

Die Anfangskonfiguration sei

$(a,b,9,0,0,0,0,\ldots ).$

Das Programm soll „Das Produkt von“ a „und“ ${}b$ „ist“ c d ausdrucken, wobei ${}ab=10c+d$ ist, und anschließend anhalten.

Lösung

1. Leere den siebten Speicherinhalt.
2. Vergleiche den ersten Speicherinhalt mit dem sechsten Speicherinhalt. Wenn diese gleich sind, so gehe zu Befehl 12 (sonst weiter).
3. Erhöhe den sechsten Speicherinhalt um 1.
4. Vergleiche den zweiten Speicherinhalt mit dem siebten Speicherinhalt. Wenn diese gleich sind, so gehe zu Befehl 1 (sonst weiter).
5. Erhöhe den siebten Speicherinhalt um 1.
6. Vergleiche den dritten Speicherinhalt mit dem fünften Speicherinhalt. Wenn diese gleich sind, so gehe zu Befehl 7. Wenn diese verschieden sind, so gehe zu Befehl 10.
7. Leere den fünften Speicher
8. Erhöhe den vierten Speicher um 1.
9. Gehe zu Befehl 4.
10. Erhöhe den fünften Speicher um 1.
11. Gehe zu Befehl 4.
12. Drucke „Das Produkt von“ aus.
13. Drucke den ersten Speicherinhalt aus.
14. Drucke „und“ aus.
15. Drucke den zweiten Speicherinhalt aus.
16. Drucke „ist“ aus.
17. Drucke den vierten Speicherinhalt aus.
18. Drucke den fünften Speicherinhalt aus.
19. Halte an.

Erläuterung: Im vierten und fünften Speicher wird das Ergebnis durch sukzessives Erhöhen um ${}1$ berechnet. Die äußere Schleife (Befehl 1-3) bewirkt, mit dem sechsten Speicher als Zählspeicher, dass ${}a$-fach ${}b$ mit sich selbst addiert wird. Diese Addition geschieht in der inneren Schleife (Befehl 4-11) mit dem siebten Speicher als Zählspeicher, wobei in Befehl 7-11 die eigentliche Erhöhung des Zwischenergebnisses gemacht wird und berücksichtigt wird, ob die Erhöhung im Einerbereich (fünfter Speicher) oder im Zehnerbereich (vierter Speicher) stattfindet.

Aufgabe (3 (1+1+1) Punkte)

Die Funktionen

$f,g,h\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

seien durch

${}f(x)=x^{3}+x\,,$

${}g(y)=y^{2}-1\,$

und

${}h(z)=3z+4\,$

gegeben.

1. Berechne ${}g\circ f$.
2. Berechne ${}h\circ g$.
3. Berechne ${}h\circ g\circ f$ auf zwei unterschiedliche Arten.

Lösung

1. Es ist

   ${}{\begin{aligned}{\left(g\circ f\right)}(x)&=g(f(x))\\&=(f(x))^{2}-1\\&={\left(x^{3}+x\right)}^{2}-1\\&=x^{6}+2x^{4}+x^{2}-1.\end{aligned}}$

2. Es ist

   ${}{\begin{aligned}{\left(h\circ g\right)}(y)&=h(g(y))\\&=3(g(y))+4\\&=3{\left(y^{2}-1\right)}+4\\&=3y^{2}-3+4\\&=3y^{2}+1.\end{aligned}}$

3. Es ist einerseits

   ${}{\begin{aligned}(h\circ g\circ f)(x)&=h((g\circ f)(x))\\&=h(x^{6}+2x^{4}+x^{2}-1)\\&=3(x^{6}+2x^{4}+x^{2}-1)+4\\&=3x^{6}+6x^{4}+3x^{2}-3+4\\&=3x^{6}+6x^{4}+3x^{2}+1\end{aligned}}$

   und andererseits

   ${}{\begin{aligned}(h\circ g\circ f)(x)&=(h\circ g)(f(x))\\&=3(f(x))^{2}+1\\&=3(x^{3}+x)^{2}+1\\&=3(x^{6}+2x^{4}+x^{2})+1\\&=3x^{6}+6x^{4}+3x^{2}+1.\end{aligned}}$

Aufgabe (3 (1+2) Punkte)

1. Finde eine quadratische Gleichung der Form

   ${}x^{2}+px+q=0\,$

   mit ${}p,q\in \mathbb {Z}$, für die ${}17$ die einzige Lösung ist.

2. Finde unendlich viele verschiedene quadratische Gleichungen der Form

   ${}x^{2}+px+q=0\,$

   mit ${}p,q\in \mathbb {Z}$, für die ${}17$ eine Lösung ist.

Lösung

Für jede ganze Zahl ${}k$ ist generell

${}(x-17)(x-k)=x^{2}-(k+17)x+17k\,.$

Dies führt zu einer quadratischen Gleichung mit ${}p=-(k+17)$ und ${}q=17k$. Wenn man darin ${}x$ gleich ${}17$ setzt, ergibt sich ${}0$ wegen dem ersten Faktor. Somit sind unendlich viele quadratische Gleichungen mit Koeffizienten aus ${}\mathbb {Z}$ gefunden, die ${}17$ als Lösung besitzen. Wenn man

${}k=17\,$

setzt, so erhält man die quadratische Gleichung

${}(x-17)(x-17)=x^{2}-34x+289=0\,.$

Für diese ist nur ${}17$ eine Lösung.

Aufgabe (1 Punkt)

Man finde ein Polynom ${}f\in \mathbb {R} [X]$ mit ${}f(0)=0$, ${}f(1)=1$, ${}f(-1)=1$ und ${}f(3)=9$.

Lösung

Das Polynom ${}X^{2}$ erfüllt offenbar diese Eigenschaften.

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ${}P\in {\mathbb {C} }[X]$ ein nichtkonstantes Polynom. Zeige, dass die Abbildung

${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto P(z),$

surjektiv ist.

Lösung

Es sei ${}c\in {\mathbb {C} }$ vorgegeben. Da ${}P$ nicht konstant ist, ist auch ${}P(z)-c$ nicht konstant und besitzt nach dem Fundamentalsatz der Algebra eine Nullstelle. Also gibt es ein ${}w\in {\mathbb {C} }$ mit

${}P(w)-c=0\,,$

also

${}P(w)=c\,.$

Aufgabe (5 Punkte)

Zu einem Startwert ${}x_{0}\in \mathbb {R}$ sei die Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ rekursiv durch

${}x_{n+1}=e^{x_{n}}-1\,$

definiert. Entscheide, für welche ${}x_{0}$ die Folge konvergiert und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.

Lösung

Wir betrachten die Funktion ${}f(x)=e^{x}-1$. Es ist ${}f(0)=0$. Die Ableitung der Funktion ${}f$ ist ${}e^{x}$. Daher verläuft der Graph von ${}f$ für ${}x>0$ echt oberhalb der Diagonalen und für ${}x<0$ echt unterhalb der Diagonalen. Insbesondere ist ${}f(x)\geq x$, wobei Gleichheit nur bei

${}x=0\,$

gilt. Insbesondere ist also die rekursiv definierte Folge wachsend. Wegen der Stetigkeit der Exponentialfunktion gilt für den Grenzwert ${}x$ einer solchen Folge (falls er existiert)

${}x=e^{x}-1\,.$

Diese Bedingung wird nur von ${}x=0$ erfüllt und dies ist der einzige mögliche Grenzwert. Bei einem Startwert ${}x_{0}>0$ kann die Folge wegen des Wachstumsverhaltens nicht konvergieren. Bei einem Startwert ${}x_{0}\leq 0$ ist

${}e^{x_{0}}-1\leq 0\,.$

Daher ist eine solche Folge wachsend und nach oben beschränkt und muss somit konvergieren, und zwar gegen den einzig möglichen Grenzwert ${}0$.

Aufgabe (2 Punkte)

Zeige, dass eine konvergente Potenzreihe ${}\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}z^{n}$ mit ${}c_{n}=0$ für alle geraden Indizes eine ungerade Funktion darstellt.

Lösung

Nach Voraussetzung besitzt die Potenzreihe die Gestalt

${}{\begin{aligned}f(z)&=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}z^{n}\\&=\sum _{k=0}^{\infty }c_{2k+1}z^{2k+1}.\end{aligned}}$

Daher ist

${}{\begin{aligned}f(-z)&=\sum _{k=0}^{\infty }c_{2k+1}(-z)^{2k+1}\\&=\sum _{k=0}^{\infty }c_{2k+1}(-1)^{2k+1}z^{2k+1}\\&=\sum _{k=0}^{\infty }c_{2k+1}(-1)z^{2k+1}\\&=-{\left(\sum _{k=0}^{\infty }c_{2k+1}z^{2k+1}\right)}\\&=-f(z).\end{aligned}}$

Die Funktion ist also ungerade.

Aufgabe (5 (1+1+3) Punkte)

Wir betrachten den oberen Halbkreis mit Mittelpunkt ${}(1,0)$ und Radius ${}1$ und den unteren Halbkreis mit Mittelpunkt ${}(3,0)$ und Radius ${}1$.

1. Skizziere die Situation.
2. Definiere eine Funktion

   $f\colon [0,4]\longrightarrow \mathbb {R} ,$

   deren Graph mit den beiden Halbkreisen übereinstimmt.

3. Ist ${}f$ an der Stelle ${}2$ differenzierbar?

Lösung

1. Skizze.
2. Die erste Kreisgleichung ist

   ${}(x-1)^{2}+y^{2}=1\,,$

   die zweite Kreisgleichung ist

   ${}(x-3)^{2}+y^{2}=1\,.$

   Also ist

   ${}f(x)={\begin{cases}{\sqrt {1-(x-1)^{2}}}{\text{ für }}0\leq x\leq 2\,,\\{\sqrt {1-(x-3)^{2}}}{\text{ für }}2<x\leq 4\end{cases}}\,$

   eine beschreibende Funktion.

3. Die Funktion ist an der Stelle ${}2$ nicht differenzierbar. Der Differenzenzenquotient für ${}x<2$ ist

   ${}{\begin{aligned}{\frac {f(x)-f(2)}{x-2}}&={\frac {\sqrt {1-(x-1)^{2}}}{x-2}}\\&={\frac {\sqrt {-x^{2}+2x}}{x-2}}\\&=-{\frac {\sqrt {x(2-x)}}{2-x}}\\&=-{\frac {{\sqrt {x}}{\sqrt {2-x}}}{2-x}}\\&=-{\frac {\sqrt {x}}{\sqrt {2-x}}}.\end{aligned}}$

   Für ${}x\rightarrow 2$ ist der Limes des Zählers ${}{\sqrt {x}}$ gleich ${}{\sqrt {2}}$ und der Limes des Nenners ${}{\sqrt {2-x}}$ ist ${}0$. Deshalb divergiert der Differenzenquotient bestimmt gegen ${}-\infty$ und somit existiert der Differentialquotient nicht.

Aufgabe (5 Punkte)

Beweise den Mittelwertsatz der Integralrechnung.

Lösung

Es sei

$f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R}$

eine stetige Funktion. Über dem kompakten Intervall ist die Funktion ${}f$ nach oben und nach unten beschränkt, es seien ${}m$ und ${}M$ das Minimum bzw. das Maximum der Funktion, die aufgrund von Satz 11.13 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024)) angenommen werden. Dann ist insbesondere ${}m\leq f(x)\leq M$ für alle ${}x\in [a,b]$ und

${}m(b-a)\leq \int _{a}^{b}f(t)\,dt\leq M(b-a)\,.$

Daher ist ${}\int _{a}^{b}f(t)\,dt=d(b-a)$ mit einem ${}d\in [m,M]$ und aufgrund des Zwischenwertsatzes gibt es ein ${}c\in [a,b]$ mit ${}f(c)=d$.

Aufgabe (4 Punkte)

Der Graph der Funktion

${}f(x)=-x^{2}+5x\,$

und die ${}x$-Achse begrenzen eine Fläche. Bestimme die Gerade durch den Nullpunkt, die diese Fläche in zwei gleich große Teile unterteilt.

Lösung

Es ist

${}-x^{2}+5x=-x(x-5)\,,$

die Fläche befindet sich also oberhalb des Intervalls ${}[0,5]$. Eine Stammfunktion von ${}f$ ist

${}F(x)=-{\frac {1}{3}}x^{3}+{\frac {5}{2}}x^{2}\,$

und somit ist

${}{\begin{aligned}\int _{0}^{5}f(x)dx&=[-{\frac {1}{3}}x^{3}+{\frac {5}{2}}x^{2}]_{0}^{5}\\&=-{\frac {1}{3}}125+{\frac {5}{2}}25\\&={\frac {125}{6}}.\end{aligned}}$

Die Gerade durch den Nullpunkt setzen wir als ${}y=ax$ an. Der Durchstoßungspunkt (abgesehen vom Nullpunkt) mit dem Graphen ergibt sich aus

${}ax=-x^{2}+5x\,$

zu

${}x=5-a\,.$

Die obere Fläche besitzt den Flächeninhalt

${}{\begin{aligned}\int _{0}^{5-a}-x^{2}+5x-axdx&=[-{\frac {1}{3}}x^{3}+{\frac {5-a}{2}}x^{2}]_{0}^{5-a}\\&=(5-a)^{3}{\left(-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{2}}\right)}\\&=(5-a)^{3}{\frac {1}{6}}.\end{aligned}}$

Die Bedingung

${}(5-a)^{3}{\frac {1}{6}}={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {125}{6}}\,$

führt auf

${}(5-a)^{3}={\frac {125}{2}}\,$

und damit auf

${}5-a={\frac {5}{\sqrt[{3}]{2}}}\,.$

Also ist

${}a=5{\left(1-{\sqrt[{3}]{\frac {1}{2}}}\right)}\,.$

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper. Der ${}K$- Vektorraum ${}K^{2}$ sei zusätzlich mit der komponentenweisen Multiplikation versehen. Bestimme die Untervektorräume ${}U\subseteq K^{2}$, die unter dieser Multiplikation abgeschlossen sind.

Lösung

Die Untervektorräume des ${}K^{2}$ sind der Nullraum, die Geraden durch den Nullpunkt und die Gesamtebene. Der Nullraum und die Ebene sind offenbar unter der komponentenweisen Multiplikation abgeschlossen. Eine Gerade durch den Nullpunkt hat entweder die Form

${}x=0\,$

oder

${}y=ax\,$

mit einem ${}a\in K$. Die erstgenannte Gerade (die ${}y$-Achse) ist multiplikativ abgeschlossen, da ja

${}(0,y)\cdot (0,z)=(0,yz)\,$

wieder dazu gehört. Es sei also

${}G={\left\{\left(x,\,y\right)\mid y=ax\right\}}=K\cdot \left(1,\,a\right)\,.$

Die multiplikative Abgeschlossenheit bedeutet, dass für beliebige ${}c,d\in K$ das Produkt

${}c\left(1,\,a\right)\cdot d\left(1,\,a\right)=cd\left(1,\,a^{2}\right)\,$

wieder auf der Geraden liegt. Dies ist genau bei

${}a^{2}=a\,$

der Fall, also bei

${}a(a-1)=0\,,$

was ${}a=0$ oder ${}a=1$ bedeutet. Es sind also auch noch die ${}x$-Achse und die Diagonale unter der Multiplikation abgeschlossen, und keine weiteren Untervektorräume.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}M$ eine ${}n\times n$- Matrix über dem Körper ${}K$. Es sei

${}MN=0\,$

für jede ${}n\times n$-Matrix ${}N$ vom Rang ${}1$. Zeige

${}M=0\,.$

Lösung

Es sei

${}M\neq 0\,$

angenommen. Dann gibt es einen Vektor ${}v\in K^{n}$ mit

${}Mv=w\neq 0\,.$

Wir ergänzen ${}v$ zu einer Basis

$v=v_{1},v_{2},\ldots ,v_{n}$

von ${}K^{n}$. Es sei ${}N$ die Matrix bezüglich der Standardbasis, die die durch ${}v\mapsto v$ und ${}v_{i}\mapsto 0$ für ${}i\geq 2$ festgelegte lineare Abbildung beschreibt. Der Rang von ${}N$ ist ${}1$, da ja das Bild gerade ${}Kv$ ist, und es ist

${}MNv=Mv=w\neq 0\,,$

also ist

${}MN\neq 0\,$

im Widerspruch zur Voraussetzung.

Aufgabe (3 Punkte)

Bestätige den Determinantenmultiplikationssatz für die beiden Matrizen

$A={\begin{pmatrix}2&1&3\\0&0&1\\-1&2&1\end{pmatrix}}\,\,{\text{ und }}\,\,B={\begin{pmatrix}5&3&7\\0&4&1\\0&-1&1\end{pmatrix}}.$

Lösung

Die Determinante von ${}A$ ist

${}\det {\begin{pmatrix}2&1&3\\0&0&1\\-1&2&1\end{pmatrix}}=-1-4=-5\,$

und die Determinante von ${}B$ ist

${}\det {\begin{pmatrix}5&3&7\\0&4&1\\0&-1&1\end{pmatrix}}=20+5=25\,.$

Das Produkt der beiden Matrizen ist

${}AB={\begin{pmatrix}2&1&3\\0&0&1\\-1&2&1\end{pmatrix}}\circ {\begin{pmatrix}5&3&7\\0&4&1\\0&-1&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}10&7&18\\0&-1&1\\-5&4&-4\end{pmatrix}}\,.$

Die Determinante davon ist

${}{\begin{aligned}\det AB&=\det {\begin{pmatrix}10&7&18\\0&-1&1\\-5&4&-4\end{pmatrix}}\\&=40-35-90-40\\&=-125.\end{aligned}}$

Dies stimmt mit dem Produkt der beiden einzelnen Determinanten überein.

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die Eigenwerte, Eigenvektoren und Eigenräume zu einer ebenen Drehung ${}{\begin{pmatrix}\operatorname {cos} \,\alpha &-\operatorname {sin} \,\alpha \\\operatorname {sin} \,\alpha &\operatorname {cos} \,\alpha \end{pmatrix}}$ zu einem Drehwinkel ${}\alpha$, ${}0\leq \alpha <2\pi$, über ${}\mathbb {R}$.

Lösung

Bei ${}\alpha =0$ liegt die Identität vor, dafür ist ${}1$ der einzige Eigenwert, jeder Vektor ${}\neq 0$ ist ein Eigenvektor und der Eigenraum zum Eigenwert ${}1$ ist ${}\mathbb {R} ^{2}$. Alle anderen Eigenräume sind der Nullraum.

Bei ${}\alpha =\pi$ liegt die Halbdrehung vor, also die Punktspiegelung bzw. die Streckung mit dem Faktor ${}-1$. Dafür ist ${}-1$ der einzige Eigenwert, jeder Vektor ${}\neq 0$ ist ein Eigenvektor und der Eigenraum zum Eigenwert ${}-1$ ist ${}\mathbb {R} ^{2}$. Alle anderen Eigenräume sind der Nullraum.

Bei allen anderen Drehwinkeln wird keine Gerade auf sich selbst abgebildet, sodass diese Drehungen keine Eigenwerte und keine Eigenvektoren besitzen und alle Eigenräume der Nullraum sind.