Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)/Teil II/Arbeitsblatt 49

Übungsaufgaben

Aufgabe

Leite aus der allgemeinen Kettenregel die Kettenregel für Funktionen in einer Variablen ab.

Kommentar:

Tatsächlich ist es sehr hilfreich, sich einmal genau klar zu machen, in welchem Sinne die allgemeine Kettenregel die Kettenregel für univariate Funktionen verallgemeinert. Dazu nehmen wir offene Teilmengen ${}G,D\subseteq \mathbb {R}$ und Abbildungen ${}\varphi \colon G\to \mathbb {R}$, ${}\psi \colon D\to \mathbb {R}$. Außerdem müssen wir voraussetzen, dass ${}\varphi (G)\subseteq D$ gilt, damit wir sinnvoll von der Verknüpfung ${}\psi \circ \varphi$ sprechen können. Des Weiteren fixieren wir einen Punkt ${}P\in G$, sodass ${}\varphi$ im Punkt ${}P$ und ${}\psi$ im Punkt ${}\varphi (P)$ total differenzierbar sind.

Nun sind alle Voraussetzungen für die allgemeine Kettenregel erfüllt, sodass also

$(D(\psi \circ \varphi ))_{P}=(D\psi )_{\varphi (P)}\circ (D\varphi )_{P}$

für das totale Differential von ${}\psi \circ \varphi$ gilt. Das totale Differential ist eine lineare Abbildung – hier werden also zwei lineare Abbildungen miteinander verknüpft.

Gleichzeitig sind ${}\varphi ,\psi$ Funktionen in einer Variablen, sodass im Punkt ${}P$ für die Ableitung

$(\psi \circ \varphi )'(P)=\psi '(\varphi (P))\cdot \varphi '(P)$

gilt. Dieser Ausdruck sieht schon sehr ähnlich aus wie die allgemeine Kettenregel, ist aber strukturell anders. Hier steht nicht die Verknüpfung von linearen Abbildungen, sondern ein Produkt von zwei reellen Zahlen.

Wir erinnern uns an Satz 14.5 zurück. Danach können wir die Ableitung ${}\varphi '(P)$ in einem Punkt ${}P$ in Beziehung setzen mit einer linearen Abbildung – der linearen Approximation von ${}\varphi$ in ${}P$. Diese lineare Abbildung ist gegeben durch die Zuordnung ${}x\mapsto \varphi '(P)\cdot x$. Es ist also die lineare Funktion, deren Steigung ${}\varphi '(P)$ ist. Dies ist nicht die Tangente von ${}\varphi$ in ${}P$, aber ist zur Tangente parallel. Das totale Differential stimmt per Definition mit dieser linearen Abbildung überein, sodass also ${}(D\varphi )_{P}(x)=\varphi '(P)x$ gilt.

Für das totale Differential der Verknüpfung gilt nun

$(D(\psi \circ \varphi ))_{P}(x)=(\psi \circ \varphi )'(P)\cdot x$

sowie

$((D\psi )_{\varphi (P)}\circ (D\varphi )_{P})(x)=(D\psi )_{\varphi (P)}((D\varphi )_{P}(x))=(D\psi )_{\varphi (P)}(\varphi '(P)x)=\psi '(\varphi (P))\cdot \varphi '(P)\cdot x.$

Diese beiden linearen Funktionen müssen nach der allgemeinen Kettenregel übereinstimmen. Durch Vergleich der Steigungen erhalten wir genau die Kettenregel für Funktionen in einer Variablen.

 

Aufgabe

Leite aus der allgemeinen Kettenregel die Kettenregel für differenzierbare Kurven (für eine differenzierbare Kurve ${}f\colon J\rightarrow V$ und eine differenzierbare Umparametrisierung ${}h\colon I\rightarrow J$) ab.

Aufgabe

Es sei ${}I\subseteq \mathbb {R}$ ein reelles Intervall und seien

$f,g\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

zwei differenzierbare Funktionen. Beweise die Produktregel aus der allgemeinen Kettenregel unter Verwendung von Aufgabe 48.4.

Aufgabe

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}\mathbb {R}$- Vektorraum und ${}G\subseteq V$ eine offene Teilmenge. Weiter seien ${}f,g\colon G\rightarrow \mathbb {R}$ zwei in ${}P\in G$ differenzierbare Funktionen. Wende die Kettenregel und Aufgabe 48.4 auf das Diagramm

$G{\stackrel {f,g}{\longrightarrow }}\mathbb {R} \times \mathbb {R} {\stackrel {\operatorname {mult} }{\longrightarrow }}\mathbb {R}$

an, um zu zeigen, dass die Gleichung

${}\left(D(f\cdot g)\right)_{P}=g(P)\cdot \left(Df\right)_{P}+f(P)\cdot \left(Dg\right)_{P}\,$

gilt.

Aufgabe *

Bestätige die Kettenregel für ${}g\circ f$ für die beiden differenzierbaren Abbildungen

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto (t^{3}-t,-t^{2}),$

und

$g\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto xy+x+y.$

Aufgabe

Bestätige die Kettenregel anhand der beiden Abbildungen

$\varphi \colon {\mathbb {R} }^{2}\longrightarrow {\mathbb {R} }^{3},\,(u,v)\longmapsto (u^{2}v^{2},u+\sin v,v^{3}),$

und

$\psi \colon {\mathbb {R} }^{3}\longrightarrow {\mathbb {R} }^{2},\,(x,y,z)\longmapsto (x^{2}y-z^{2},xy^{2}+yz\exp x),$

und ihrer Komposition ${}\psi \circ \varphi$ in folgenden Schritten.

1. Berechne für einen beliebigen Punkt ${}P\in {\mathbb {R} }^{2}$ das totale Differential ${}\left(D\varphi \right)_{P}$ mit Hilfe von partiellen Ableitungen.
2. Berechne für einen beliebigen Punkt ${}Q\in {\mathbb {R} }^{3}$ das totale Differential ${}\left(D\psi \right)_{Q}$ mit Hilfe von partiellen Ableitungen.
3. Berechne explizit die Komposition ${}\psi \circ \varphi \colon {\mathbb {R} }^{2}\rightarrow {\mathbb {R} }^{2}$.
4. Berechne direkt mit partiellen Ableitungen in einem Punkt ${}P\in {\mathbb {R} }^{2}$ das totale Differential von ${}\psi \circ \varphi \colon {\mathbb {R} }^{2}\rightarrow {\mathbb {R} }^{2}$.
5. Berechne das totale Differential von ${}\psi \circ \varphi \colon {\mathbb {R} }^{2}\rightarrow {\mathbb {R} }^{2}$ in einem Punkt ${}P\in {\mathbb {R} }^{2}$ mit Hilfe der Kettenregel und den Teilen (1) und (2).

Aufgabe

Es seien ${}G\subseteq \mathbb {R} ^{m}$ und ${}D\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offene Mengen, und ${}f\colon G\rightarrow \mathbb {R} ^{n}$ und ${}g\colon D\rightarrow \mathbb {R} ^{k}$ Abbildungen derart, dass ${}f(G)\subseteq D$ gilt. Es sei weiter angenommen, dass ${}f$ in ${}P\in G$ und ${}g$ in ${}f(P)\in D$ total differenzierbar ist. Zeige

${}{\frac {\partial (g\circ f)_{j}}{\partial x_{i}}}(P)=\left({\frac {\partial g_{j}}{\partial y_{1}}}(f(P)),\,\ldots ,\,{\frac {\partial g_{j}}{\partial y_{m}}}(f(P))\right){\begin{pmatrix}{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{i}}}(P)\\\vdots \\{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{i}}}(P)\end{pmatrix}}\,.$

Kommentar:

Bei dieser Aufgabe bietet es sich an, mit den Jacobi-Matrizen zu ${}f$ und ${}g$ zu arbeiten.

Die Jacobi-Matrix zu ${}f$ ist gegeben durch

$\operatorname {Jak} (f)_{P}=\left({\frac {\partial f_{j}}{\partial x_{i}}}(P)\right)_{1\leq j\leq m, \atop 1\leq i\leq n}={\begin{pmatrix}{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}(P)&\ldots &{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}(P)\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{1}}}(P)&\ldots &{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{n}}}(P)\end{pmatrix}}\,.$

Hierbei sollte man darauf achten, dass die Spalten über die Koordinaten ${}x_{1},\dots ,x_{n}$ indiziert sind (man sollte die Matrix nicht versehentlich transponieren), weil wir die Matrix als Abbildungsmatrix einer linearen Abbildung vom ${}n$-dimensionalen in den ${}m$-dimensionalen Raum auffassen. Das heißt, wir wollen den Koordinatenvektor ${}(x_{1},\dots ,x_{n})$ von rechts an die Matrix dranmultiplizieren können.

Für die Jacobi-Matrix der Verknüpfung gilt nun

${}\operatorname {Jak} (g\circ f)_{P}=\operatorname {Jak} (g)_{f(P)}\circ \operatorname {Jak} (f)_{P}\,$

nach Fakt *****. Die zu zeigende Aussage lässt sich daraus direkt ableiten, denn ${}{\frac {\partial (g\circ f)_{j}}{\partial x_{i}}}(P)$ ist ein Eintrag der Matrix ${}\operatorname {Jak} (g\circ f)_{P}$.

 

Aufgabe

Es seien

$\varphi \colon V\longrightarrow W$

und

$\psi \colon W\longrightarrow U$

in ${}P\in V$ bzw. in ${}\varphi (P)\in W$ total differenzierbare Abbildungen. Es sei ${}v\in V$ ein Vektor. Zeige mit der Kettenregel, dass

${}{\left(D_{v}(\psi \circ \varphi )\right)}{\left(P\right)}={\left(D_{{\left(D\varphi \right)}_{P}{\left(v\right)}}(\psi )\right)}{\left(\varphi (P)\right)}\,$

gilt.

Aufgabe

Es seien ${}G\subseteq {\mathbb {R} }^{m}$ und ${}D\subseteq {\mathbb {R} }^{n}$ offene Mengen, und ${}f\colon G\rightarrow {\mathbb {R} }^{n}$ und ${}g\colon D\rightarrow {\mathbb {R} }^{k}$ Abbildungen derart, dass ${}f(G)\subseteq D$ gilt. Es sei weiter angenommen, dass ${}f$ und ${}g$ stetig differenzierbar sind. Zeige, dass auch ${}g\circ f$ stetig differenzierbar ist.

Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für partiell differenzierbare Funktionen ${}f\colon \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{m}$ und ${}g\colon \mathbb {R} ^{m}\rightarrow \mathbb {R} ^{k}$ derart, dass ${}g\circ f$ nicht partiell differenzierbar ist.

Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für partiell differenzierbare Funktionen ${}f\colon \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{m}$ und ${}g\colon \mathbb {R} ^{m}\rightarrow \mathbb {R} ^{k}$ derart, dass auch ${}g\circ f$ partiell differenzierbar ist, dass aber

${}\operatorname {Jak} (g\circ f)_{P}=\operatorname {Jak} (g)_{f(P)}\circ \operatorname {Jak} (f)_{P}\,$

nicht gilt.

Aufgabe

Es seien ${}G\subseteq {\mathbb {R} }^{m}$ und ${}D\subseteq {\mathbb {R} }^{n}$ offene Mengen, und ${}f\colon G\rightarrow {\mathbb {R} }^{n}$ und ${}g\colon D\rightarrow {\mathbb {R} }^{k}$ Abbildungen derart, dass ${}f(G)\subseteq D$ gilt. Es sei weiter angenommen, dass ${}f$ und ${}g$ ${}\ell$-fach stetig differenzierbar sind. Zeige, dass auch ${}g\circ f$ ${}\ell$-fach stetig differenzierbar ist.

Aufgabe

Es sei

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

eine Funktion. Zeige, dass die Funktion

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto xf(y),$

genau dann im Punkt ${}(0,0)$ total differenzierbar ist, wenn ${}f$ in ${}0$ stetig ist.

Kommentar:

Hier sind zwei Richtungen zu zeigen. Falls ${}\varphi$ in ${}(0,0)$ total differenzierbar ist, existieren insbesondere die partiellen Ableitungen im Nullpunkt und sind dort stetig. Die partielle Ableitung bezüglich ${}x$ ist genau ${}f(y)$, was die Stetigkeit von ${}f(y)$ in ${}0$ zeigt.

Der schwierigere Fall ist die Umkehrung. Wir nehmen also an, dass ${}f$ in ${}0$ stetig ist, und müssen die totale Differenzierbarkeit von ${}\varphi$ in ${}(0,0)$ zeigen. Die partielle Ableitung nach ${}x$ in ${}(0,0)$ ist die Ableitung der Koordinatenfunktion ${}x\mapsto xf(0)$ und existiert somit. Für die partielle Ableitung nach ${}y$ müssen wir aufpassen, dass wir nicht ${}f'(y)$ verwenden, weil ${}f$ nicht differenzierbar sein muss. Tatsächlich ist diese partielle Ableitung aber die Ableitung der Koordinatenfunktion ${}y\mapsto 0f(y)=0$ und ist somit konstant Null.

An dieser Stelle müssen wir jedoch sehr vorsichtig sein, denn die Existenz der partiellen Ableitungen allein genügt im Allgemeinen nicht, um die totale Differenzierbarkeit zu zeigen. Insbesondere können wir hier nicht Satz 48.11 verwenden. Weshalb kann der Satz hier nicht verwendet werden? Zwar haben wir gezeigt, dass die partiellen Ableitungen im Punkt ${}P$ existieren und dort stetig sind. Jedoch fordert der Satz, dass die partiellen Ableitungen auch außerhalb von ${}P$, nämlich in einer ganzen Umgebung von ${}P$ existieren müssen. Dies können wir hier aber nicht zeigen, weil in einem Punkt ${}(x_{0},y_{0})$ mit ${}y_{0}\neq 0$ die partielle Ableitung nach ${}y$ nicht existiert, weil dafür ${}f'(y)$ existieren müsste.

Um die totale Differenzierbarkeit zu zeigen, kann direkt mit der Definition von total differenzierbar gearbeitet werden. Da wir bereits die partiellen Ableitungen in ${}P$ bestimmt haben, wissen wir bereits, wie das totale Differential aussieht (es wird durch die Jacobi-Matrix beschrieben). Es muss also noch die Funktion ${}r$ aus der Definition angegeben werden und begründet werden, dass diese stetig ist und in Null verschwindet.

 

Aufgabe

Es seien ${}V$ und ${}W$ euklidische Vektorräume, ${}G\subseteq V$ offen und sei

$\varphi \colon G\longrightarrow W$

eine Abbildung. Zeige, dass ${}\varphi$ genau dann stetig differenzierbar ist, wenn ${}\varphi$ total differenzierbar ist und wenn die Abbildung

$G\longrightarrow \operatorname {Hom} \,(V,W),\,P\longmapsto \left(D\varphi \right)_{P},$

stetig ist.

Aufgabe

Es sei

$f\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$

differenzierbar im Nullpunkt und sei ${}{(h_{m})}_{m\in \mathbb {N} }$ eine Folge in ${}\mathbb {R} ^{n}\setminus \{0\}$ mit

$\lim _{m\to \infty }h_{m}=0,\lim _{m\to \infty }{\frac {h_{m}}{\Vert {h_{m}}\Vert }}=v\in \mathbb {R} ^{n},f(h_{m})=f(h_{k}){\text{ für alle }}m,k\in \mathbb {N} .$

Zeige, dass ${}v$ ein Eigenvektor von ${}\left(Df\right)_{0}$ zum Eigenwert ${}0$ ist.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (5 (1+1+1+1+1) Punkte)

Wir wollen die Kettenregel anhand der beiden Abbildungen

$\varphi \colon {\mathbb {R} }^{2}\longrightarrow {\mathbb {R} }^{3},\,(u,v)\longmapsto (uv,u-v,v^{2}),$

und

$\psi \colon {\mathbb {R} }^{3}\longrightarrow {\mathbb {R} }^{2},\,(x,y,z)\longmapsto (xyz^{2},y\exp(xz)),$

und ihrer Komposition ${}\psi \circ \varphi$ veranschaulichen.

1. Berechne für einen beliebigen Punkt ${}P\in {\mathbb {R} }^{2}$ das totale Differential ${}\left(D\varphi \right)_{P}$ mit Hilfe von partiellen Ableitungen.
2. Berechne für einen beliebigen Punkt ${}Q\in {\mathbb {R} }^{3}$ das totale Differential ${}\left(D\psi \right)_{Q}$ mit Hilfe von partiellen Ableitungen.
3. Berechne explizit die Komposition ${}\psi \circ \varphi \colon {\mathbb {R} }^{2}\rightarrow {\mathbb {R} }^{2}$.
4. Berechne direkt mit partiellen Ableitungen in einem Punkt ${}P\in {\mathbb {R} }^{2}$ das totale Differential von ${}\psi \circ \varphi \colon {\mathbb {R} }^{2}\rightarrow {\mathbb {R} }^{2}$.
5. Berechne das totale Differential von ${}\psi \circ \varphi \colon {\mathbb {R} }^{2}\rightarrow {\mathbb {R} }^{2}$ in einem Punkt ${}P\in {\mathbb {R} }^{2}$ mit Hilfe der Kettenregel und den Teilen (1) und (2).

Aufgabe (8 Punkte)

Wir betrachten die Funktionen

$\mathbb {R} ^{2}{\stackrel {f}{\longrightarrow }}\mathbb {R} ^{3}{\stackrel {g}{\longrightarrow }}\mathbb {R} ^{2}{\stackrel {h}{\longrightarrow }}\mathbb {R} ^{2}$

mit

$f(u,v)=(u^{2},uv,u-v^{2}),$

$g(x,y,z)=(x+y^{2}-z,x^{2}yz),$

und

$h(r,s)=(r^{2}s,s^{2}).$

Berechne das totale Differential von ${}h\circ g\circ f$ in einem beliebigen Punkt ${}P=(u,v)$ auf vier verschiedene Arten.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum und sei

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

eine differenzierbare Abbildung. Zeige, dass ${}\varphi$ genau dann eine Verschiebung ist, also von der Art ${}P\mapsto P+v$ mit einem festen Vektor ${}v\in V$, wenn

${}\left(D\varphi \right)_{P}=\operatorname {Id} _{V}\,$

für alle ${}P\in V$ ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei

$f\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{m}\setminus \{0\}$

eine differenzierbare Abbildung. Zeige, dass dann auch die Abbildung

$\mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,P\longmapsto \Vert {f(P)}\Vert ,$

differenzierbar ist und bestimme das totale Differential davon.

Aufgabe (4 Punkte)

Es seien ${}V$ und ${}W$ endlichdimensionale ${}{\mathbb {R} }$- Vektorräume, ${}G\subseteq V$ eine offene Mengen, ${}P\in G$ ein Punkt, ${}\varphi \colon G\rightarrow W$ und ${}f\colon G\rightarrow {\mathbb {R} }$ in ${}P$ differenzierbare Abbildungen. Zeige, dass dann die Produktabbildung

$f\cdot \varphi \colon G\longrightarrow W$

in ${}P$ differenzierbar ist mit

${}\left(D(f\cdot \varphi )\right)_{P}=f(P)\cdot \left(D\varphi \right)_{P}+\left(Df\right)_{P}\cdot \varphi (P)\,.$

Tipp: Verwende Aufgabe 48.12 und die Kettenregel.

Aufgabe (10 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für eine differenzierbare Kurve

$\varphi \colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$

und eine stetige Funktion

$f\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ,$

für die die Richtungsableitung in jede Richtung existiert, derart, dass die Verknüpfung

$f\circ \varphi \colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

nicht differenzierbar ist.