Der Vektor
besitzt die Norm
, somit ist
-
der zugehörige normierte Vektor. Der zweite Vektor muss senkrecht zu
sein und zusammen mit
den Untervektorraum
aufspannen. Dies führt zum Ansatz
-
![{\displaystyle {}0=\left\langle {\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}}+\lambda {\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}}\right\rangle =\left\langle {\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}\lambda \\1\\1+\lambda \end{pmatrix}}\right\rangle =1+1+\lambda \,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/082363a6a5bc9a4e4885f56b572afb540f118b28)
so dass
-
![{\displaystyle {}\lambda =-2\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/feb8d81ec3490c21022b8d2b76da49c31bb54f34)
und
ist. Der normierte Vektor dazu ist
-
Der dritte Vektor muss senkrecht auf
und
stehen. Ein solcher Vektor ist offenbar
. Daher kann man
-
als dritten Vektor der Orthonormalbasis nehmen.
Die endliche Punktmenge bestehe aus
. Wir müssen zeigen, dass das Komplement
dieser Punktmenge offen ist. D.h. wir müssen zeigen, dass es zu jedem Punkt
,
, eine offene Ballumgebung
gibt, die ganz in
liegt. Wegen
ist
. Wir setzen
. Dann enthält
keinen der Punkte.
b) Die Unterteilungspunkte sind
-
Der Sinus hat dabei folgende Werte:
-
Dabei ergibt sich die zweite Gleichung aus
-
![{\displaystyle {}\sin \left({\frac {\pi }{4}}\right)=\cos \left({\frac {\pi }{4}}\right)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f347d0826f048466ec5f263ead1235b575c4a8b9)
und der Kreisgleichung
.
Die dritte Gleichung folgt daraus aus der Symmetrie des Sinus.
Die erste Teilstrecke des Streckenzugs verbindet die beiden Punkte
und
,
deren Länge ist also
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}{\sqrt {{\left({\frac {\pi }{4}}\right)}^{2}+{\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)}^{2}}}&={\sqrt {{\frac {\pi ^{2}}{4^{2}}}+{\frac {1}{2}}}}\\&={\sqrt {{\frac {\pi ^{2}}{4^{2}}}+{\frac {8}{4^{2}}}}}\\&={\frac {1}{4}}{\sqrt {\pi ^{2}+8}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/253c74c7a9b1a09d43cba2eeb7dd281602be9b8b)
Die zweite Teilstrecke des Streckenzugs verbindet die beiden Punkte
und
,
deren Länge ist also
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}{\sqrt {{\left({\frac {\pi }{4}}\right)}^{2}+{\left(1-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)}^{2}}}&={\sqrt {{\frac {\pi ^{2}}{4^{2}}}+{\left({\frac {{\sqrt {2}}-1}{\sqrt {2}}}\right)}^{2}}}\\&={\sqrt {{\frac {\pi ^{2}}{4^{2}}}+{\frac {2+1-2{\sqrt {2}}}{2}}}}\\&={\sqrt {{\frac {\pi ^{2}}{4^{2}}}+{\frac {24-16{\sqrt {2}}}{4^{2}}}}}\\&={\frac {1}{4}}{\sqrt {\pi ^{2}+24-16{\sqrt {2}}}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c84ad81e0a2f2106349c4fa5d83e3a7b008cc2a1)
Die dritte Teilstrecke ist gleichlang zur zweiten und die vierte Teilstrecke ist gleichlang zur ersten. Daher ist die Gesamtlänge dieses Streckenzugs insgesamt gleich
-
c) Da die Kurve stetig differenzierbar ist, ist sie auch rektifizierbar, und ihre Länge ist gleich
-
![{\displaystyle {}L=\int _{0}^{\pi }{\sqrt {1+\cos ^{2}t}}\,dt\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b1d4577270615fe93c4ef651c5f30f6783a31b4)
Wegen
ist
und daher ist
. Wegen der Monotonie der Quadratwurzel folgt
-
![{\displaystyle {}{\sqrt {1+\cos ^{2}t}}\leq {\sqrt {2}}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f58e0f32e76defcfc0e100e1bb7e1b8dc755d851)
Also ist
-
![{\displaystyle {}\int _{0}^{\pi }{\sqrt {1+\cos ^{2}t}}\,dt\leq \int _{0}^{\pi }{\sqrt {2}}\,dt={\sqrt {2}}\pi \,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79b921ac0d7a90f35e53cf1473e485885799e8b8)
Für eine stetig differenzierbare Kurve
-
gilt
-
Die Kurve
ist ebenfalls stetig differenzierbar, und nach der Kettenregel gilt
-
![{\displaystyle {}(\varphi \circ \gamma )'(t)=\left(D\varphi \right)_{\gamma (t)}(\gamma '(t))=\varphi (\gamma '(t))\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/789b3f68a13c163691670e5c89632a7e8dcd9888)
da
![{\displaystyle {}\varphi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c68e3673fc232de481dc9412268c5438ae10dd5)
linear ist. Da
![{\displaystyle {}\varphi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c68e3673fc232de481dc9412268c5438ae10dd5)
eine Isometrie ist, stimmt die Norm von
![{\displaystyle {}\gamma '(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12796eb284b59d7c6251132bb5138b62062aae43)
mit der Norm von
![{\displaystyle {}\varphi (\gamma '(t))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1538e253a8a3c48933ff541749c7588b73a5979)
überein. Daher ist
-
![{\displaystyle {}L(\varphi \circ \gamma )=\int _{a}^{b}\Vert {(\varphi \circ \gamma )'(t)}\Vert \,dt=\int _{a}^{b}\Vert {\gamma '(t)}\Vert \,dt=L(\gamma )\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/091d6027aa2510d45823a63b45ceb706eb9fcecf)
Wir machen den Ansatz
-
aufgrund der Anfangswertbedingungen ist
und
. Es ist
und
.
Aus der Gleichung
-
![{\displaystyle {}\sum _{n=2}^{\infty }n(n-1)a_{n}t^{n-2}=3{\left(\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}t^{n}\right)}\cdot {\left(\sum _{n=1}^{\infty }na_{n}t^{n-1}\right)}+{\left(\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}t^{n}\right)}^{2}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a712f2b7915a928647865f8a030e7963d03642de)
lassen sich die Koeffizienten
bestimmen.
Koeffizientenvergleich zu
ergibt
-
![{\displaystyle {}2a_{2}=3a_{0}a_{1}+a_{0}^{2}=0\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8aecc15389ea9af9654ab07d9adeccdee9ae4632)
also ist
.
Koeffizientenvergleich zu
ergibt
-
![{\displaystyle {}6a_{3}=3{\left(a_{1}a_{1}+2a_{0}a_{2}\right)}+2a_{0}a_{1}=12\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/648d9352ef3663f83f17352114bcee2a11c7248c)
also ist
.
Koeffizientenvergleich zu
ergibt
-
![{\displaystyle {}12a_{4}=3{\left(a_{2}a_{1}+2a_{1}a_{2}+3a_{0}a_{3}\right)}+2a_{0}a_{2}+a_{1}^{2}=a_{1}^{2}=4\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6492008fb0f4794d2f0a76b544222946e55b383)
also ist
.
Daher ist
-
die Lösung des Anfangswertproblems bis zur Ordnung
.
a) Das charakteristische Polynom ist
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}\chi _{A}&=\det {\begin{pmatrix}x-2&-1&2-{\mathrm {i} }\\0&x-{\mathrm {i} }&-1-{\mathrm {i} }\\0&0&x+1-2{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}\\&=(x-2)(x-{\mathrm {i} })(x+1-2{\mathrm {i} })\\&=x^{3}-(1+3{\mathrm {i} })x^{2}+(2{\mathrm {i} }-2(1-2{\mathrm {i} })-{\mathrm {i} }(1-2{\mathrm {i} }))x+2{\mathrm {i} }(1-2{\mathrm {i} })\\&=x^{3}-(1+3{\mathrm {i} })x^{2}+(-4+5{\mathrm {i} })x+4+2{\mathrm {i} }\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d60dc2bc66120649205b4a580b7e334c813200b)
und die Eigenwerte von
sind
.
b) Wir bestimmen für jeden Eigenwert einen Eigenvektor.
:
Wir müssen ein nichttriviales Element im Kern von
-
bestimmen. Da gehört
dazu.
:
Dies führt auf
-
Wir wählen
und
und erhalten
, also ist
-
ein Eigenvektor zum Eigenwert
.
:
Dies führt auf
-
Mit
und
ist die mittlere Zeile erfüllt. Die erste Zeile wird dann zu
-
und daher ist
-
![{\displaystyle {}(-3+2{\mathrm {i} })a=1+{\mathrm {i} }-(2-{\mathrm {i} })(-1+{\mathrm {i} })=1+{\mathrm {i} }-2{\mathrm {i} }+2-1-{\mathrm {i} }=2-2{\mathrm {i} }\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d42d59c4acdc0125bb97974ef1e41eaea3119ffe)
Daher ist
-
![{\displaystyle {}a=(2-2{\mathrm {i} })(-3+2{\mathrm {i} })^{-1}=(2-2{\mathrm {i} }){\frac {-3-2{\mathrm {i} }}{13}}={\frac {-10+2{\mathrm {i} }}{13}}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7591143fbad73c9c7769bbc9c5aa435f6d28ecba)
Somit ist
-
ein Eigenvektor zum Eigenwert
![{\displaystyle {}-1+2{\mathrm {i} }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e7013226c713d09e946e14a148068cdc85f7ed3)
.
c) Bezüglich einer Basis aus Eigenvektoren besitzt die beschreibende Matrix die Gestalt
-
Aus der zweiten Zeile folgt sofort
-
![{\displaystyle {}v_{2}(t)=ae^{2t}\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7a5d84f403ea671d29a6f23f16ed1fecf79c7e3)
wobei die Anfangsbedingung
durch
erfüllt wird. Für
ergibt sich daraus die inhomogene lineare Differentialgleichung in einer Variablen,
-
Die zugehörige homogene lineare Gleichung besitzt die Lösungen
. Mittels Variation der Konstanten, also dem Ansatz
-
![{\displaystyle {}v_{1}(t)=c(t)e^{3t}\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0f1375576f3dc70d1942103fe24d76ec4c6b50b)
ergibt sich die Bedingung
-
![{\displaystyle {}c'(t)=-4e^{2t}\cdot e^{-3t}=-4e^{-t}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f028647c1a5ece9142254c3306e42b186a03e70)
Also ist
mit einer Konstanten
.
Aus
-
![{\displaystyle {}(4e^{0}+b)e^{0}=5\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a55b7e7ac1a26b74866ed24eee5b230ab52dabfb)
folgt
.
Die Lösung ist also
-
![{\displaystyle {}{\begin{pmatrix}v_{1}(t)\\v_{2}(t)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}(4e^{-t}+1)e^{3t}\\e^{2t}\end{pmatrix}}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/637eec3ca9ace1bc961d4c99447a6d294e78180e)
a) Wir berechnen die Eigenwerte der Matrix. Das charakteristische Polynom davon ist
-
![{\displaystyle {}\det {\begin{pmatrix}\lambda -2&-1\\-3&\lambda -4\end{pmatrix}}=(\lambda -2)(\lambda -4)-3=\lambda ^{2}-6\lambda +5=(\lambda -1)(\lambda -5)\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b16b068eed81393992f54de8e70a5599a598bc26)
Daher sind
und
die Eigenwerte, und daher ist die Matrix diagonalisierbar.
Zur Bestimmung eines Eigenvektors zum Eigenwert
berechnen wir den Kern von
-
Dies ergibt den Eigenvektor
zum Eigenwert
und damit die erste Fundamentallösung
-
Zur Bestimmung eines Eigenvektors zum Eigenwert
berechnen wir den Kern von
-
Dies ergibt den Eigenvektor
zum Eigenwert
und damit die zweite Fundamentallösung
-
Die allgemeine Lösung hat demnach die Form
-
b)
Um das Anfangsproblem zu lösen müssen wir
und
so bestimmen, dass
-
![{\displaystyle {}{\begin{pmatrix}a+b\\-a+3b\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2\\7\end{pmatrix}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f3b3dcc4d9eace143af263577328bd139e812e8)
ist. Dies ist ein lineares Gleichungssystem, Addition führt auf
,
also
und daher
.
Die Lösung des Anfangswertproblems ist also
-
Es ist
-
![{\displaystyle {}(D_{3}f)(t)=3(D_{1}f)(t)=3f'(t)=3\cdot 2t=6t\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/114984fd056dd39ee25fc46fdb034db2d75d62e5)
Die partiellen Ableitungen sind
-
![{\displaystyle {}{\frac {\partial f_{1}}{\partial x}}={\frac {(x^{2}+y^{4})\cos x-2x\sin x}{(x^{2}+y^{4})^{2}}}\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a32d8941e06a13d517082175c8ada3f7591b1a04)
-
![{\displaystyle {}{\frac {\partial f_{1}}{\partial y}}={\frac {-4y^{3}\sin x}{(x^{2}+y^{4})^{2}}}\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/303e4b07e079c12a0f36a78686e23b1df14c1a13)
-
![{\displaystyle {}{\frac {\partial f_{2}}{\partial x}}={\frac {2xy(x^{2}+y^{2})-x^{2}y(2x)}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}={\frac {2xy^{3}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7792aae76004aa499accce0d570b32e8a550769f)
-
![{\displaystyle {}{\frac {\partial f_{2}}{\partial y}}={\frac {x^{2}(x^{2}+y^{2})-x^{2}y(2y)}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}={\frac {x^{4}-x^{2}y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0da4a5efaad0eb6a8934e7aed197973903a4dcd4)
-
![{\displaystyle {}{\frac {\partial f_{3}}{\partial x}}={\frac {2x}{x^{2}+y^{2}}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f777cde5007baec22f50655027e9b15150effc9f)
und
-
![{\displaystyle {}{\frac {\partial f_{3}}{\partial y}}={\frac {2y}{x^{2}+y^{2}}}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/177fc0dc782d77b6e1712ed0c8c11f4bf2781cd2)
Somit ist die Jacobi-Matrix in einem Punkt
gleich
-
Die zusammengesetzte Abbildung
ist durch
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}g(f(t))&=g(t^{3}-t,-t^{2})\\&=(t^{3}-t)(-t^{2})+t^{3}-t-t^{2}\\&=-t^{5}+t^{3}+t^{3}-t-t^{2}\\&=-t^{5}+2t^{3}-t^{2}-t\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/229769fb19e1c768f3cdfb521eaace12f32465c7)
gegeben, ihre Ableitung ist
-
Die Jacobi-Matrix zu
ist
-
und die Jacobi-Matrix zu
ist
-
Daher ist die Jacobi-Matrix zu
in einem Punkt
gleich
-
Das zu bildende Matrixprodukt dieser beiden Matrizen ist
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}\left(-t^{2}+1,\,t^{3}-t+1\right)\circ {\begin{pmatrix}3t^{2}-1\\-2t\end{pmatrix}}&=(-t^{2}+1)(3t^{2}-1)+(t^{3}-t+1)(-2t)\\&=-3t^{4}+4t^{2}-1-2t^{4}+2t^{2}-2t\\&=-5t^{4}+6t^{2}-2t-1.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e3902ec2480d71f31eba71b239932f3e5b2e9eb)
Dies stimmt natürlich mit der direkt bestimmten Ableitung überein.
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