Wende das Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren auf die Basis
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des an.
Der Vektor besitzt die Norm , somit ist
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der zugehörige normierte Vektor. Der zweite Vektor muss senkrecht zu sein und zusammen mit den Untervektorraum aufspannen. Dies führt zum Ansatz
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so dass
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und ist. Der normierte Vektor dazu ist
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Der dritte Vektor muss senkrecht auf
und
stehen. Ein solcher Vektor ist offenbar . Daher kann man
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als dritten Vektor der Orthonormalbasis nehmen.
Es sei ein
metrischer Raum. Zeige, dass jede endliche Teilmenge
abgeschlossen
ist.
Die endliche Punktmenge bestehe aus . Wir müssen zeigen, dass das Komplement dieser Punktmenge offen ist. D.h. wir müssen zeigen, dass es zu jedem Punkt
, , eine offene Ballumgebung gibt, die ganz in liegt. Wegen ist . Wir setzen . Dann enthält keinen der Punkte.
Aufgabe * (8 (2+4+2) Punkte)
Wir betrachten die differenzierbare Kurve
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a) Skizziere das Bild dieser Kurve und den Streckenzug, der sich ergibt, wenn man das Definitionsintervall in vier gleichlange Teilintervalle unterteilt.
b) Berechne die Gesamtlänge des in a) beschriebenen Streckenzugs.
c) Zeige, dass für die Länge dieser Kurve die Abschätzung
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gilt.
b) Die Unterteilungspunkte sind
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Der Sinus hat dabei folgende Werte:
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Dabei ergibt sich die zweite Gleichung aus
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und der Kreisgleichung
.
Die dritte Gleichung folgt daraus aus der Symmetrie des Sinus.
Die erste Teilstrecke des Streckenzugs verbindet die beiden Punkte
und ,
deren Länge ist also
Die zweite Teilstrecke des Streckenzugs verbindet die beiden Punkte
und ,
deren Länge ist also
Die dritte Teilstrecke ist gleichlang zur zweiten und die vierte Teilstrecke ist gleichlang zur ersten. Daher ist die Gesamtlänge dieses Streckenzugs insgesamt gleich
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c) Da die Kurve stetig differenzierbar ist, ist sie auch rektifizierbar, und ihre Länge ist gleich
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Wegen ist und daher ist . Wegen der Monotonie der Quadratwurzel folgt
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Also ist
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Es sei
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eine
stetig differenzierbare Kurve
und sei
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eine
lineare Isometrie.
Beweise die Längengleichheit
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Für eine stetig differenzierbare Kurve
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gilt
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Die Kurve ist ebenfalls stetig differenzierbar, und nach der Kettenregel gilt
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da
linear ist. Da
eine Isometrie ist, stimmt die Norm von
mit der Norm von
überein. Daher ist
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Es sei
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gegeben. Berechne das
Wegintegral
längs dieses Weges zum
Vektorfeld
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Löse das
Anfangswertproblem
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durch einen
Potenzreihenansatz
bis zur vierten Ordnung.
Wir machen den Ansatz
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aufgrund der Anfangswertbedingungen ist und . Es ist
und .
Aus der Gleichung
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lassen sich die Koeffizienten bestimmen.
Koeffizientenvergleich zu ergibt
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also ist .
Koeffizientenvergleich zu ergibt
-
also ist .
Koeffizientenvergleich zu ergibt
-
also ist .
Daher ist
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die Lösung des Anfangswertproblems bis zur Ordnung .
Bestimme die Eigenwerte und die Eigenräume der durch die Matrix
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gegebenen linearen Abbildung
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Aufgabe * (6 (2+3+1) Punkte)
Wir betrachten die lineare Abbildung
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die bezüglich der Standardbasis durch die Matrix
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beschrieben wird.
a) Bestimme das charakteristische Polynom und die Eigenwerte von .
b) Berechne zu jedem Eigenwert einen Eigenvektor.
c) Stelle die Matrix für bezüglich einer Basis aus Eigenvektoren auf.
a) Das charakteristische Polynom ist
und die Eigenwerte von sind .
b) Wir bestimmen für jeden Eigenwert einen Eigenvektor.
:
Wir müssen ein nichttriviales Element im Kern von
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bestimmen. Da gehört dazu.
:
Dies führt auf
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Wir wählen und und erhalten , also ist
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ein Eigenvektor zum Eigenwert .
:
Dies führt auf
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Mit und ist die mittlere Zeile erfüllt. Die erste Zeile wird dann zu
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und daher ist
-
Daher ist
-
Somit ist
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ein Eigenvektor zum Eigenwert
.
c) Bezüglich einer Basis aus Eigenvektoren besitzt die beschreibende Matrix die Gestalt
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Löse das
lineare Anfangswertproblem
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Aus der zweiten Zeile folgt sofort
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wobei die Anfangsbedingung
durch
erfüllt wird. Für ergibt sich daraus die inhomogene lineare Differentialgleichung in einer Variablen,
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Die zugehörige homogene lineare Gleichung besitzt die Lösungen . Mittels Variation der Konstanten, also dem Ansatz
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ergibt sich die Bedingung
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Also ist
mit einer Konstanten
.
Aus
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folgt
.
Die Lösung ist also
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a) Bestimme den Lösungsraum des linearen Differentialgleichungssystems
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b) Löse das Anfangswertproblem
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mit der Anfangsbedingung
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a) Wir berechnen die Eigenwerte der Matrix. Das charakteristische Polynom davon ist
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Daher sind
und
die Eigenwerte, und daher ist die Matrix diagonalisierbar.
Zur Bestimmung eines Eigenvektors zum Eigenwert berechnen wir den Kern von
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Dies ergibt den Eigenvektor zum Eigenwert und damit die erste Fundamentallösung
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Zur Bestimmung eines Eigenvektors zum Eigenwert berechnen wir den Kern von
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Dies ergibt den Eigenvektor zum Eigenwert und damit die zweite Fundamentallösung
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Die allgemeine Lösung hat demnach die Form
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b)
Um das Anfangsproblem zu lösen müssen wir
und
so bestimmen, dass
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ist. Dies ist ein lineares Gleichungssystem, Addition führt auf
,
also
und daher
.
Die Lösung des Anfangswertproblems ist also
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Bestimme zur Funktion
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die Richtungsableitung in Richtung für jeden Punkt.
Es ist
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Bestimme die Jacobi-Matrix der Abbildung
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in jedem Punkt.
Die partiellen Ableitungen sind
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-
-
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und
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Somit ist die Jacobi-Matrix in einem Punkt gleich
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Bestätige die Kettenregel für für die beiden differenzierbaren Abbildungen
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und
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Die zusammengesetzte Abbildung ist durch
gegeben, ihre Ableitung ist
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Die Jacobi-Matrix zu ist
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und die Jacobi-Matrix zu ist
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Daher ist die Jacobi-Matrix zu in einem Punkt gleich
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Das zu bildende Matrixprodukt dieser beiden Matrizen ist
Dies stimmt natürlich mit der direkt bestimmten Ableitung überein.
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