Schema/Lokal freie Garbe/Einführung/Textabschnitt

Definition

Ein ${}{\mathcal {O}}_{X}$-Modul ${}{\mathcal {F}}$ auf einem beringten Raum ${}X$ heißt lokal frei vom Rang ${}r$, wenn es eine offene Überdeckung ${}X=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ und ${}{\mathcal {O}}_{U_{i}}$-Modulisomorphismen ${}{\mathcal {F}}{|}_{U_{i}}\cong {\left({\mathcal {O}}_{U_{i}}\right)}^{r}$ für jedes ${}i\in I$ gibt.

Für ${}r=1$ erhält man die invertierbaren Garben, diese sind einfach die lokal freien Garben vom Rang ${}r$. Die einfachsten lokal freien Garben sind die freien Garben ist ${}{\mathcal {O}}_{X}^{r}$ (zu $r\in \mathbb {N}$). Gemäß der Definition ist eine lokal freie Garbe lokal, also auf einer Überdeckung aus offenen Mengen, frei. Lokal lassen sich also freie Garben und lokal freie Garben nicht unterscheiden. Lokal freie Garben reflektieren daher globale Eigenschaften des beringten Raumes ${}X$.

Wir betrachten lokal freie Garben auf Schemata, wo sich enge Beziehungen zu projektiven und flachen Moduln ergeben. Lokal freie Garben sind insbesondere kohärente Moduln. Über einem lokalen Ring sind alle lokal freien Garben frei, da das Spektrum nur einen abgeschlossenen Punkt enthält und dieser nur die Gesamtmenge als offene Umgebung besitzt. Wenn man jedoch zu einem lokalen Ring das punktierte Spektrum ${}U=D({\mathfrak {m}})=\operatorname {Spek} {\left(R\right)}\setminus \{{\mathfrak {m}}\}$ betrachtet, so gibt es darauf in der Regel viele nichttriviale (nichtfreie) lokal freie Garben, die Eigenschaften des lokalen Ringes (der Singularität) widerspiegeln. Da jedes Schema durch affine Schemata überdeckt wird, muss man insbesondere zuerst die lokal freien Garben auf einem affinen Schema verstehen.

Satz

Es sei ${}R$ ein kommutativer noetherscher Ring und sei ${}M$ ein endlich erzeugter ${}R$-Modul. Sei ${}r\in \mathbb {N}$. Dann sind die folgenden Eigenschaften äquivalent.

1. Die Lokalisierungen ${}M_{\mathfrak {p}}$ sind frei vom Rang ${}r$ für jedes Primideal ${}{\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spek} {\left(R\right)}$.
2. Die Lokalisierungen ${}M_{\mathfrak {m}}$sind frei vom Rang ${}r$ für jedes maximale Ideal ${}{\mathfrak {m}}$ von ${}R$.
3. Es gibt Elemente ${}f_{1},\ldots ,f_{k}\in R$, die das Einheitsideal erzeugen derart, dass die Nenneraufnahmen ${}M_{f_{j}}$ für jedes ${}j=1,\ldots ,k$. frei vom Rang ${}r$ sind.
4. Die zu ${}M$ gehörige kohärente Garbe ${}{\widetilde {M}}$ auf ${}\operatorname {Spek} {\left(R\right)}$ ist lokal frei vom Rang ${}r$.

Beweis

${}(1)\Rightarrow (2)$. Dies ist eine Spezialisierung.
${}(2)\Rightarrow (3)$. Wir fixieren ein maximales Ideal ${}{\mathfrak {m}}$. Nach Voraussetzung gibt es einen ${}R_{\mathfrak {m}}$-Modulisomorphismus

$\varphi \colon {\left(R_{\mathfrak {m}}\right)}^{r}\longrightarrow M_{\mathfrak {m}}.$

Wir schreiben das Bild des ${}i$-ten Standardvektors ${}e_{i}$ als

${}\varphi {\left(e_{i}\right)}={\frac {m_{i}}{g_{i}}}\,$

mit ${}m_{i}\in M$ und ${}g_{i}\in R\setminus {\mathfrak {m}}$. Es sei ${}g=g_{1}{\cdots }g_{r}$ das Produkt der Nenner. Wir betrachten die Situation über ${}D(g)$. Der Isomorphismus ${}\varphi$ ist über ${}D(g)$ (auf ${}R_{g}$) definiert, d.h. wir haben einen ${}R_{g}$-Modulhomomorphismus

$\psi \colon {\left(R_{g}\right)}^{r}\longrightarrow M_{g},$

der in der Lokalisierung an ${}{\mathfrak {m}}$ den Isomorphismus ${}\varphi$ induziert. Allerdings ist ${}\psi$ im Allgemeinen kein Isomorphismus. Es sei ${}v_{1},\ldots ,v_{s}$ ein Erzeugendensystem für den Modul ${}M$. Da ${}\psi$ auf ${}R_{\mathfrak {m}}$ eine Surjektion induziert, gibt es Elemente ${}u_{j}={\frac {a_{j}}{h_{j}}}\in {\left(R_{\mathfrak {m}}\right)}^{r}$, die nach ${}v_{j}$ abbilden. Die Nenner ${}h_{j}$ gehören nicht zu ${}{\mathfrak {m}}$, daher können wir ${}g$ durch ${}h=gh_{1}\cdots h_{s}$ ersetzen und erhalten

$\psi \colon {\left(R_{h}\right)}^{r}\longrightarrow M_{h}$

mit Elementen ${}u_{j}={\left(R_{h}\right)}^{r}$ derart, dass die ${}\psi (u_{j})$ in ${}M_{\mathfrak {m}}$ auf die Erzeuger ${}v_{j}$ einschränken. Dies bedeutet, dass es Elemente ${}p_{j}\notin {\mathfrak {m}}$ mit ${}p_{j}\psi (u_{j})=p_{j}v_{j}$ in ${}M_{h}$ gibt. Wenn man ${}h$ durch ${}p=hp_{1}\cdots p_{s}$ ersetzt, erhält man, dass ${}\psi$ ebenfalls surjektiv ist. Es sei ${}N$ der Kern von (diesem neuen) ${}\psi$. Da ${}\varphi$ injektiv ist, gilt ${}N_{\mathfrak {m}}=0$. Da ${}R$ noethersch ist, ist ${}N$ nach Fakt endlich erzeugt und so gibt es wiederum ein Element ${}f$, ${}f\notin {\mathfrak {m}}$, mit ${}N_{f}=0$. Indem wir weiter verkleinern erhalten wir einen Isomorphismus ${}\psi \colon {\left(R_{f}\right)}^{r}\rightarrow M_{f}$ für ein ${}f$, ${}f\notin {\mathfrak {m}}$.

Wir wissen also, dass es zu jedem maximalen Ideal ${}{\mathfrak {m}}$ eine offene Umgebung ${}{\mathfrak {m}}\in D{\left(f_{\mathfrak {m}}\right)}$ derart gibt, dass ${}M_{f_{\mathfrak {m}}}$ frei vom Rang ${}r$ ist. Daher enthält

$\bigcup _{{\mathfrak {m}}{\text{ maximal ideal }}}D{\left(f_{\mathfrak {m}}\right)}$

alle maximalen Ideale und auch alle Primideale, es liegt also eine offene Überdeckung von ${}\operatorname {Spek} {\left(R\right)}$ vor. Daher ist nach Fakt  (4) ${}{\left(f_{\mathfrak {m}}:\,{\mathfrak {m}}{\text{ maximal}}\right)}$ das Einheitsideal, und dieses wird bereits von endlich vielen der ${}f_{\mathfrak {m}}$ erzeugt.
${}(3)\Rightarrow (4)$. Da die Elemente das Einheitsideal erzeugen, überdecken die zugehörigen offenen Mengen ${}D{\left(f_{j}\right)}$, ${}j=1,\ldots ,k$, das Spektrum ${}\operatorname {Spek} {\left(R\right)}$. Da ${}M_{f_{j}}$ freie ${}R_{f_{j}}$-Moduln vom Rang ${}r$ sind, liegen ${}{\mathcal {O}}_{X}{|}_{D(f_{j})}$-Modulisomorphismen ${}{\widetilde {M}}{|}_{D(f_{j})}\cong {\widetilde {(R_{f_{j}})^{r}}}\cong {\mathcal {O}}_{D(f_{j})}^{r}$ vor. Daher ist ${}{\widetilde {M}}$ lokal frei.
${}(4)\Rightarrow (1)$. Sei ${}{\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spek} {\left(R\right)}$ ein Primideal. Die lokale Freiheit bedeutet, dass wir eine offene Überdeckung ${}X=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ derart haben, dass die ${}{\widetilde {M}}{|}_{U_{i}}$ frei vom Rang ${}r$ sind. Somit gibt es einen Index ${}i$ mit ${}{\mathfrak {p}}\in U_{i}$. Indem wir zu einer eventuell kleineren offenen Umgebung von ${}{\mathfrak {p}}$ übergehen können wir ${}U_{i}=D{\left(f\right)}$ mit ${}f\notin {\mathfrak {p}}$ übergehen. Dabei gilt, dass ${}{\widetilde {M_{f}}}\cong {\widetilde {M}}{|}_{D(f)}$ frei vom Rang ${}r$ ist. Doch dann ist erst recht die Lokalisierung ${}M_{\mathfrak {p}}$ frei vom Rang ${}r$.

$\Box$

Das Beispiel aus Aufgabe zeigt, dass es bei einem nichtnoetherschen Ring ${}R$ einem Modul ${}M$ mit ${}M_{\mathfrak {p}}=R_{\mathfrak {p}}$ geben kann, ohne dass diese Isomorphie auf eine offene Umgebung fortsetzbar ist.

Wir setzen lokal freie Moduln in Bezug zu projektiven Moduln.

Definition

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}M$ ein ${}R$-Modul. Der Modul ${}M$ heißt projektiv, wenn es zu jedem surjektiven ${}R$-Modulhomomorphismus

$\theta \colon A\longrightarrow B$

und jedem Modulhomomorphismus

$\varphi \colon M\longrightarrow B$

einen Modulhomomorphismus

$\psi \colon M\longrightarrow A$

mit

${}\varphi =\theta \circ \psi \,$

gibt.

Ein Modul ist genau dann projektiv, wenn er ein direkter Summand von einem freien Modul ist.

Lemma

Es sei ${}R$ ein kommutativer lokaler Ring und ${}M$ ein endlich erzeugter ${}R$-Modul. Dann ist ${}M$ genau dann frei, wenn ${}M$ ein projektiver Modul ist.

Beweis

Dass freie Moduln projektiv sind wurde in Fakt bewiesen. Es sei also ${}M$ projektiv. Es sei ${}m_{1},\ldots ,m_{n}$ ein minimales Erzeugendensystem von ${}M$ und sei

$p\colon R^{n}\longrightarrow M$

der zugehörige surjektive Modulhomomorphismus. Wegen der Minimalität ist

${\left(R/{\mathfrak {m}}\right)}^{n}\longrightarrow M/{\mathfrak {m}}M$

eine ${}R/{\mathfrak {m}}$-lineare bijektive Abbildung. Wegen der Projektivität gibt es einen Modulhomomorphismus ${}i\colon M\rightarrow R^{n}$ mit ${}p\circ i=\operatorname {Id} _{M}$. Dann ist

${}R^{n}\cong M\oplus N\,$

mit ${}N=\operatorname {kern} p$ und wobei wir ${}M$ mit ${}i(M)$ identifizieren. Wir betrachten nun

$R^{n}{\stackrel {\cong }{\longrightarrow }}M\oplus N\longrightarrow M$

und die induzierten ${}R/{\mathfrak {m}}$-linearen Abbildungen

${\left(R/{\mathfrak {m}}\right)}^{n}\longrightarrow M/{\mathfrak {m}}M\oplus N/{\mathfrak {m}}N\longrightarrow M/{\mathfrak {m}}M.$

Hierbei ist sowohl die Abbildung links als auch die Gesamtabbildung bijektiv. Daher muss ${}N/{\mathfrak {m}}N=0$ sein. Aus Fakt folgt ${}N=0$ und somit ist ${}R^{n}=M$ frei.

$\Box$

Lemma

Es sei ${}R$ ein noetherscher kommutativer Ring und ${}M$ ein endlich erzeugter ${}R$-Modul. Dann ist ${}M$ genau dann lokal frei, wenn ${}M$ ein projektiver Modul ist.

Beweis

Die eine Richtung folgt direkt aus Fakt unter Berücksichtigung von Aufgabe. Zum Beweis der Umkehrung sei ${}p\colon L\rightarrow M$ ein surjektiver Modulhomomorphismus mit einem endlich erzeugten freien ${}R$-Modul ${}L$. Es ist zu zeigen, dass es einen Homomorphismus ${}i\colon M\rightarrow L$ mit ${}p\circ i=\operatorname {Id} _{M}$ gibt. Dies ist insbesondere dann gesichert, wenn man zeigen kann, dass der natürliche Homomorphismus

$\operatorname {Hom} _{R}{\left(M,L\right)}\longrightarrow \operatorname {Hom} _{R}{\left(M,M\right)},\,\varphi \longmapsto p\circ \varphi ,$

surjektiv ist, da ja dann insbesondere die Identität getroffen wird. Nach Fakt kann man die Surjektivität lokal testen. Für die Homomorphismenmoduln gilt unter den gegebenen Endlichkeitsvoraussetzungen

${}{\left(\operatorname {Hom} _{R}{\left(M,L\right)}\right)}_{\mathfrak {p}}=\operatorname {Hom} _{R_{\mathfrak {p}}}{\left(M_{\mathfrak {p}},L_{\mathfrak {p}}\right)}\,.$

Die Surjektivität von

$\operatorname {Hom} _{R_{\mathfrak {p}}}{\left(M_{\mathfrak {p}},L_{\mathfrak {p}}\right)}\longrightarrow \operatorname {Hom} _{R_{\mathfrak {p}}}{\left(M_{\mathfrak {p}},M_{\mathfrak {p}}\right)}$

folgt aber für jedes Primideal ${}{\mathfrak {p}}$ aus der Freiheit von ${}M_{\mathfrak {p}}$ und Fakt.

$\Box$

Es gilt ferner der folgende Satz, den wir nicht beweisen.

Satz

Es sei ${}R$ ein kommutativer noetherscher Ring und ${}M$ ein endlich erzeugter ${}R$-Modul. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

1. ${}M$ ist lokal frei.
2. ${}M$ ist ein projektiver Modul.
3. ${}M$ ist ein flacher Modul.

Mit dem folgenden Satz erhält man viele lokal freie Garben, die im Allgemeinen nicht trivial sind.

Satz

Es sei ${}X$ ein noethersches Schema und sei

$\theta \colon {\mathcal {F}}\longrightarrow G$

ein surjektiver Garbenhomomorphismus zwischen lokal freien Garben auf ${}X$.

Dann ist der Kern von ${}\theta$ ebenfalls lokal frei.

Beweis

Da die lokale Freiheit eine lokale Eigenschaft ist, können wir direkt annehmen, dass

${}X=\operatorname {Spek} {\left(R\right)}\,$

ein affines Schema zu einem noetherschen Ring ${}R$ ist und (durch weitere Verkleinerung der offenen Menge) dass ein surjektiver Modulhomomorphismus ${}\theta \colon R^{r}\rightarrow R^{s}$ vorliegt. Nach Fakt gibt es ein ${}\varphi \colon R^{s}\rightarrow R^{r}$ mit

${}\theta \circ \varphi =\operatorname {Id} _{R^{s}}\,.$

Somit gibt es eine direkte Summenzerlegung

${}R^{r}=\operatorname {kern} \theta \oplus R^{s}\,$

und ${}\theta$ ist die Projektion auf den Summanden ${}R^{s}$. Damit ist ${}\operatorname {kern} \theta$ nach Fakt ein projektiver ${}R$-Modul und nach Fakt lokal frei.

$\Box$

Bemerkung  

Zu Elementen ${}f_{1},\ldots ,f_{n}\in R$ in einem kommutativen Ring ${}R$ gehört der Modulhomomorphismus ${}R^{n}\longrightarrow R$, ${}e_{i}\longmapsto f_{i}$. Das Bild ist das von den ${}f_{i}$ erzeugte Ideal, insbesondere ist diese Abbildung nur dann surjektiv, wenn die ${}f_{i}$ das Einheitsideal erzeugen. Der zugehörige Modulhomomorphismus ${}{\mathcal {O}}_{X}^{n}\rightarrow {\mathcal {O}}_{X}$ ist im Allgemeinen auch nicht surjektiv und der Kern ist im Allgemeinen nicht lokal frei. Wenn man allerdings die Einschränkung dieses Garbenhomomorphismus auf die offene Teilmenge ${}U=\bigcup _{i=1}^{n}D(f_{i})$ betrachtet, also ${}{\mathcal {O}}_{U}^{n}\rightarrow {\mathcal {O}}_{U}$, so erhält man einen surjektiven Garbenhomomorphismus, da auf den einzelnen ${}D(f_{i})$ wegen ${}{\frac {1}{f_{i}}}e_{i}\mapsto 1$ ein surjektiver Garbenhomomorphismus vorliegt. Der Kern ist dann nach Fakt eine lokal freie Garbe auf dem quasiaffinen Schema ${}U$, es wird mit ${}\operatorname {Syz} {\left(f_{1},\ldots ,f_{n}\right)}$ bezeichnet, man sprich von einer Syzygiengarbe oder Kerngarbe. Wenn ${}R$ ein lokaler Ring ist und die ${}f_{i}$ ein Ideal erzeugen, dass zum maximalen Ideal ${}{\mathfrak {m}}$ primär ist (d.h. die ${}f_{i}$ schneiden geometrisch den abgeschlossenen Punkt heraus), so ist die Syzygiengarbe eine lokal freie Garbe auf dem punktierten Spektrum ${}D{\left({\mathfrak {m}}\right)}$.